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Primitives et équations différentielles

Une primitive d'une fonction continue inverse la dérivation : on remonte de f à une fonction F dont F′ = f. Deux primitives ne diffèrent que d'une constante, ce qui permet d'en isoler une seule à l'aide d'une condition initiale. On s'en sert pour résoudre les équations différentielles y′ = ay puis y′ = ay + b, qui modélisent la croissance, la décroissance et de nombreux phénomènes physiques (désintégration, charge d'un condensateur, refroidissement).

5 sections~34 min de lecture4 compétencesVérifié · 08/2026

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Profil d’examen

PED-1 · Déterminer une primitive d'une fonction par lecture des formes usuelles ou reconnaissance d'une forme composée u′f(u)PED-2 · Déterminer la primitive d'une fonction vérifiant une condition initiale donnéePED-3 · Résoudre une équation différentielle y′ = ay, puis y′ = ay + b, et trouver la solution satisfaisant une condition initialePED-4 · Reconnaître et interpréter une situation modélisée par y′ = ay + b, et vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle donnée

Opérateurs :déterminercalculerrésoudrevérifierinterpréterjustifiermodéliser

niveau de base

Maîtriser le tableau des primitives usuelles et la résolution directe de y′ = ay + b avec condition initiale couvre l'essentiel des questions de cours et des premières questions d'exercice.

niveau approfondi

S'entraîner à reconnaître les formes composées (u′u^n, u′/u, u′e^u) et à bâtir, puis exploiter, un modèle y′ = ay + b dans un problème à prise d'initiative (asymptote, demi-vie, régime permanent).

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Primitives et équations différentielles

5 sections26 points clés16 formules25 pièges signalés

Primitive d'une fonction : définition, unicité à une constante près, condition initiale#

~6 min de lectureBaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Primitives-equations-differentielles

Faisceau de primitives translatées verticalement

Fig. 1Pour une même fonction f, les primitives forment un faisceau de courbes qui se déduisent les unes des autres par translation verticale (la constante k). En un point d'abscisse donnée, elles ont toutes la même pente, égale à f(x).

Définition : soit f une fonction continue sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que, pour tout x de I, F′(x) = f(x). Calculer une primitive, c'est donc « remonter » la dérivation.

Existence : toute fonction continue sur un intervalle admet au moins une primitive sur cet intervalle (résultat admis). La continuité sur un intervalle est essentielle : sans elle, l'existence n'est plus garantie.

Unicité à une constante près : si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont exactement les fonctions de la forme x ↦ F(x) + k, où k est une constante réelle. Réciproquement, deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante (car leur différence a une dérivée nulle sur un intervalle, donc est constante).

Condition initiale : pour tout point x₀ de I et tout réel y₀, il existe une unique primitive F de f telle que F(x₀) = y₀. On la détermine en écrivant F(x) = (une primitive) + k, puis en résolvant l'équation F(x₀) = y₀ pour trouver la valeur de k.

Lien fondamental : déterminer une primitive est l'opération réciproque de la dérivation ; on vérifie toujours un résultat en dérivant la primitive trouvée et en retrouvant f.

« Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante » est une DÉMONSTRATION EXIGIBLE, et elle tient en trois lignes. Soient F et G deux primitives de f sur l'intervalle I. Posons H = F − G. Alors H est dérivable sur I et H′ = F′ − G′ = f − f = 0. Or une fonction de dérivée nulle sur un INTERVALLE est constante ; il existe donc un réel k tel que F − G = k, c'est-à-dire F = G + k. L'hypothèse d'intervalle n'est pas décorative : sur ℝ privé de 0, la fonction qui vaut ln(x) + 1 pour x > 0 et ln(−x) − 3 pour x < 0 a bien 1/x pour dérivée partout, sans être égale à ln|x| plus une seule et même constante. Une primitive se cherche toujours sur un intervalle, jamais sur une réunion d'intervalles.

Chercher une primitive, c'est lire le tableau des dérivées à l'envers, puis VÉRIFIER. La vérification n'est pas une précaution facultative : elle est le seul contrôle disponible, elle coûte dix secondes, et elle transforme un résultat deviné en résultat certain — si en dérivant votre F vous retrouvez f, la réponse est juste, quel que soit le chemin suivi. Une limite mérite d'être connue : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, mais on ne sait pas toujours les ÉCRIRE avec les fonctions usuelles. La fonction x ↦ e^(−x²), centrale en probabilités, en est l'exemple type : ses primitives existent, aucune ne s'exprime à l'aide des fonctions au programme. Existence et calculabilité sont deux questions distinctes.

Vocabulaire

→ Cartes

primitiveFonction F dérivable sur un intervalle I telle que F′ = f sur I ; il en existe une infinité, différant d'une constante.
condition initialeÉgalité F(x₀) = y₀ qui fixe la constante et isole une primitive unique.
constante d’intégrationRéel k ajouté à une primitive particulière pour décrire l'ensemble de toutes les primitives.
intervalleDomaine d'un seul tenant, hypothèse indispensable à l'unicité à une constante près.

Définition d'une primitive

F \text{ primitive de } f \text{ sur } I \iff F \text{ est dérivable sur } I \text{ et } \forall x \in I,\; F'(x) = f(x)

Une primitive inverse la dérivation : sa dérivée redonne f.

Ensemble des primitives

\{\text{primitives de } f \text{ sur } I\} = \{\, x \mapsto F(x) + k \mid k \in \mathbb{R} \,\}

Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante : à partir d'une primitive F, on les obtient toutes en ajoutant une constante k.

Primitive avec condition initiale

\exists !\, F \text{ primitive de } f \text{ sur } I \text{ telle que } F(x_0) = y_0

La condition F(x₀) = y₀ fixe la constante k et sélectionne une unique primitive.

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Exemple corrigé

Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x² − 4x + 1. Déterminer l'ensemble des primitives de f sur ℝ, puis l'unique primitive F vérifiant F(1) = 5.

Reconnaître les formes usuelles
f est une somme de fonctions puissances : 3x², −4x et 1. On primitive chaque terme à l'aide de la règle x^n ↦ x^(n+1)/(n+1).
$3x^2 \mapsto 3\cdot\frac{x^3}{3} = x^3,\quad -4x \mapsto -4\cdot\frac{x^2}{2} = -2x^2,\quad 1 \mapsto x$
Écrire l'ensemble des primitives
On somme les primitives de chaque terme et on ajoute la constante d'intégration k.
$F(x) = x^3 - 2x^2 + x + k,\quad k \in \mathbb{R}$
Vérifier en dérivant
On contrôle : F′(x) = 3x² − 4x + 1 = f(x). Le calcul est correct.
$F'(x) = 3x^2 - 4x + 1 = f(x)$
Utiliser la condition initiale
On écrit F(1) = 5 et on résout en k.
$F(1) = 1 - 2 + 1 + k = k = 5 \;\Rightarrow\; k = 5$
Conclure
On reporte la valeur de k trouvée dans l'expression de F.
$F(x) = x^3 - 2x^2 + x + 5$

Résultat : L'ensemble des primitives est F(x) = x³ − 2x² + x + k (k ∈ ℝ) ; l'unique primitive vérifiant F(1) = 5 est F(x) = x³ − 2x² + x + 5.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration : écrire « une primitive de f » comme si elle était unique, ce qui fausse toute condition initiale.
Confondre primitive et dérivée (remonter au lieu de dériver, ou l'inverse).
Travailler hors d'un intervalle : sur un domaine en deux morceaux (par exemple x < 0 et x > 0 pour 1/x), la constante peut différer sur chaque intervalle.
Chercher « la » primitive sur une réunion d'intervalles : le théorème d'unicité à une constante près ne vaut que sur un intervalle, et la constante peut différer d'un morceau à l'autre.
Conclure de l'existence d'une primitive qu'elle s'écrit avec les fonctions usuelles : e^(−x²) est continue, donc admet des primitives, dont aucune n'est exprimable ainsi.

Révision active

On donne f(x) = 3x² − 4x + 1 sur ℝ. Déterminer l'ensemble des primitives de f, puis l'unique primitive F telle que F(1) = 5.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Primitives des fonctions usuelles et des formes composées#

~6 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Primitives-equations-differentielles

Tableau des primitives usuelles et des formes composées

Fig. 2Mémento des primitives : à gauche les fonctions usuelles, à droite les formes composées. Le facteur u′ (surligné) est le signal qui déclenche la reconnaissance d'une composée.

Primitives usuelles à connaître par cœur : x^n a pour primitive x^(n+1)/(n+1) (pour n entier ≠ −1) ; 1/x a pour primitive ln|x| (sur un intervalle ne contenant pas 0) ; e^x a pour primitive e^x ; cos x a pour primitive sin x ; sin x a pour primitive −cos x.

Linéarité : une primitive de a·f + b·g est a·F + b·G, où F et G sont des primitives de f et g. On primitive donc terme à terme et on sort les constantes multiplicatives.

Forme puissance composée : si u est dérivable, alors u′·u^n a pour primitive u^(n+1)/(n+1) (pour n entier ≠ −1). Le facteur u′ est exactement ce qui signale la composée — il faut le repérer (quitte à introduire un coefficient).

Forme logarithmique : u′/u a pour primitive ln|u| (là où u ne s'annule pas). C'est la clé pour primitiver les quotients dont le numérateur est, à un facteur près, la dérivée du dénominateur.

Forme exponentielle composée : u′·e^u a pour primitive e^u. Méthode générale de reconnaissance d'une forme u′·f(u) : on identifie la fonction intérieure u, on calcule u′, et on vérifie que l'expression est, à une constante multiplicative près, du type u′·f(u).

Le programme énonce la capacité attendue sous une forme unique dont les trois cas classiques ne sont que des instances : « calculer une primitive en utilisant les primitives de référence et les fonctions de la forme (v′ ∘ u) × u′ ». Traduction : dès qu'une expression s'écrit u′(x) × v′(u(x)), une primitive est v(u(x)). Prenez v′ = exp et vous obtenez u′e^u, de primitive e^u ; prenez v′(t) = tⁿ et vous obtenez u′uⁿ, de primitive u^(n+1)/(n+1) ; prenez v′(t) = 1/t et vous obtenez u′/u, de primitive ln|u|. Le geste de reconnaissance est donc toujours le même, quel que soit le cas : repérer la fonction INTÉRIEURE u, calculer u′, et vérifier que le reste de l'expression est bien u′ multiplié par une fonction de u.

Le coefficient manquant se rattrape par une constante, jamais par une fonction. Devant x·e^(x²), on pose u = x², donc u′ = 2x : l'expression vaut (1/2)·u′·e^u, et une primitive est (1/2)e^(x²) — que l'on vérifie en dérivant, ce qui redonne bien x·e^(x²). Le même ajustement donne (1/3)e^(3x) pour e^(3x), et −(1/2)cos(2x) pour sin(2x). Ce qu'il ne faut PAS faire, en revanche, c'est chercher à primitiver un produit en primitivant chaque facteur : il n'existe aucune règle de ce type, et le calcul intégral y répondra par l'intégration par parties. Enfin, les puissances négatives entrent dans la règle générale puisque le programme énonce n ∈ ℤ : une primitive de 1/x² = x^(−2) est x^(−1)/(−1) = −1/x, et seul l'exposant −1 en est exclu, car il relève de ln|x|.

Vocabulaire

→ Cartes

forme composéeExpression du type (v′ ∘ u) × u′, dont une primitive est v ∘ u ; formulation du programme englobant u′uⁿ, u′/u et u′e^u.
fonction intérieureFonction u que l'on repère en premier dans une forme composée ; sa dérivée u′ doit apparaître en facteur.
linéaritéPropriété permettant de primitiver terme à terme une somme et de sortir les constantes multiplicatives.
coefficient correctifConstante multiplicative introduite pour reconstituer u′ dans une forme composée, par exemple le 1/2 de x·e^(x²).

Primitives usuelles (puissances, inverse, exponentielle)

x^n \mapsto \frac{x^{n+1}}{n+1}\;(n \neq -1),\qquad \frac{1}{x} \mapsto \ln|x|,\qquad e^x \mapsto e^x

Trois primitives fondamentales : la règle puissance, le cas particulier de 1/x donnant le logarithme, et l'exponentielle qui est sa propre primitive.

Primitives des fonctions trigonométriques

\cos x \mapsto \sin x,\qquad \sin x \mapsto -\cos x

On retrouve ces primitives en dérivant : (sin x)′ = cos x et (−cos x)′ = sin x.

Formes composées u′f(u)

u'u^n \mapsto \frac{u^{n+1}}{n+1}\;(n \neq -1),\qquad \frac{u'}{u} \mapsto \ln|u|,\qquad u'e^{u} \mapsto e^{u}

Les trois formes composées au programme : la présence du facteur u′ (la dérivée de la fonction intérieure) signale qu'on peut primitiver « en chaîne ».

Exemple corrigé

Reconnaître une forme composée u′f(u)

Déterminer une primitive sur ℝ de la fonction f définie par f(x) = 2x·(x² + 1)³, puis une primitive de g définie sur ℝ par g(x) = (2x)/(x² + 1).

Identifier la fonction intérieure
On pose u(x) = x² + 1. Alors u′(x) = 2x. Pour f, on observe que f(x) = u′(x)·u(x)³ : c'est exactement la forme u′·u^n avec n = 3.
$u(x) = x^2 + 1,\quad u'(x) = 2x,\quad f(x) = u'(x)\,u(x)^3$
Primitiver la forme u′u^n
On applique u′u^n ↦ u^(n+1)/(n+1) avec n = 3.
$F(x) = \frac{u(x)^{4}}{4} = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} \;(+\,k)$
Traiter g comme une forme u′/u
Avec le même u, g(x) = u′(x)/u(x), et u(x) = x² + 1 > 0 sur ℝ ; on applique u′/u ↦ ln|u|.
$g(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \;\Rightarrow\; G(x) = \ln\big(x^2 + 1\big) \;(+\,k)$
Vérifier en dérivant
On contrôle F′(x) = (4(x²+1)³·2x)/4 = 2x(x²+1)³ = f(x) et G′(x) = 2x/(x²+1) = g(x).
$F'(x) = f(x),\qquad G'(x) = g(x)$

Résultat : Une primitive de f est F(x) = (x² + 1)⁴/4 ; une primitive de g est G(x) = ln(x² + 1).

Erreurs fréquentes

Appliquer la règle puissance à 1/x : la primitive de 1/x est ln|x|, jamais x⁰/0 (la formule x^(n+1)/(n+1) exclut n = −1).
Oublier le facteur u′ ou le coefficient correctif : par exemple, une primitive de e^(2x) est ½e^(2x) (pas e^(2x)), car il faut diviser par la dérivée 2 de l'exposant.
Écrire ln(u) au lieu de ln|u| et ignorer le domaine où u ne s'annule pas.
Primitiver un produit facteur par facteur : aucune règle ne le permet, et le résultat est faux dès le premier terme.
Corriger un facteur manquant par une fonction plutôt que par une constante : seul un coefficient constant peut être introduit, car lui seul ressort de la dérivation inchangé.

Révision active

Déterminer une primitive de chacune des fonctions : a) f(x) = 2x·(x² + 1)³ ; b) g(x) = (2x)/(x² + 1) ; c) h(x) = 3·e^(3x). Préciser à chaque fois la forme composée reconnue.

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Rappel actif

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Équation différentielle y′ = ay : résolution et condition initiale#

~6 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Primitives-equations-differentielles

Solutions de y′ = ay : croissance (a > 0) et décroissance (a < 0)

Fig. 3Allure des solutions de y′ = ay avec la condition f(0) = 1 : pour a > 0 la solution croît exponentiellement (croissance) ; pour a < 0 elle décroît vers 0 (décroissance). L'axe y = 0 est asymptote horizontale dans le cas décroissant.

Vocabulaire : une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction y, reliée à sa (ou ses) dérivée(s). Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions y, dérivables sur ℝ, qui la vérifient.

Résultat fondamental (au programme) : les solutions sur ℝ de l'équation y′ = ay (où a est un réel fixé) sont exactement les fonctions f définies par f(x) = C·e^(ax), où C est une constante réelle quelconque.

Interprétation de la constante : f(0) = C·e^0 = C, donc la constante C est la valeur de la solution en 0. Plus généralement, une condition initiale f(x₀) = y₀ détermine une unique solution en fixant la valeur de C.

Sens de variation et comportement : si a > 0 toutes les solutions non nulles sont strictement monotones et croissent (en valeur absolue) exponentiellement — croissance ; si a < 0 elles tendent vers 0 en +∞ — décroissance exponentielle. La fonction nulle (C = 0) est toujours solution.

Vérification : pour contrôler qu'une fonction f est solution, on calcule f′ et on vérifie l'égalité f′ = af. Pour f(x) = C·e^(ax), f′(x) = aC·e^(ax) = a·f(x), ce qui confirme directement le résultat.

La résolution de y′ = ay est une DÉMONSTRATION EXIGIBLE et la ruse tient en une multiplication. Soit f une solution sur ℝ. Posons g(x) = f(x)·e^(−ax) : cette fonction est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et g′(x) = f′(x)e^(−ax) − a f(x)e^(−ax) = (f′(x) − a f(x))·e^(−ax). Or f est solution, donc f′ − af est identiquement nulle : g′ = 0 sur ℝ, donc g est constante, égale à un réel C. En revenant à f, on obtient f(x) = C·e^(ax). Réciproquement, une telle fonction vérifie f′(x) = aC·e^(ax) = a f(x) : ce sont donc EXACTEMENT les solutions. Retenez le procédé plus que le résultat — multiplier par e^(−ax) pour fabriquer une dérivée nulle est le geste qui résout aussi y′ = ay + b.

Deux remarques du programme donnent la structure de l'ensemble des solutions, et elles se lisent directement sur la formule. D'une part, la somme de deux solutions est encore solution, et le produit d'une solution par une constante aussi : si f₁ et f₂ vérifient y′ = ay, alors (f₁ + f₂)′ = a f₁ + a f₂ = a(f₁ + f₂). D'autre part, la fonction nulle est toujours solution — elle correspond à C = 0 — ce qui interdit de dire qu'une solution « ne s'annule jamais » sans avoir écarté ce cas. Notez enfin la portée exacte du chapitre : le programme cite y′ = y² et y″ + 2y = 0 uniquement pour illustrer la NOTION d'équation différentielle, en précisant qu'aucune connaissance n'y est exigible. Si un sujet les évoque, il fournira les solutions et demandera seulement de vérifier qu'elles conviennent.

Vocabulaire

→ Cartes

équation différentielleÉquation dont l'inconnue est une fonction, reliée à ses dérivées ; la résoudre, c'est décrire toutes les fonctions qui la vérifient.
équation homogèneÉquation y′ = ay, sans second membre ; ses solutions forment le terme C·e^(ax) de toute solution générale.
taux d’évolutionCoefficient a, qui donne la vitesse de croissance (a > 0) ou de décroissance (a < 0) relative de la grandeur.
solution généraleDescription de TOUTES les solutions par une formule à constante libre, ici x ↦ C·e^(ax).

Solutions générales de y′ = ay

y' = ay \iff y = f \text{ avec } f(x) = C\,e^{ax},\quad C \in \mathbb{R}

Toutes les solutions sont des exponentielles de la forme C·e^(ax) ; la constante C parcourt ℝ.

Constante fixée par la condition initiale

f(x_0) = y_0 \;\Rightarrow\; C = y_0\, e^{-a x_0}

Une condition initiale f(x₀) = y₀ détermine une unique solution en imposant la valeur de C. Si x₀ = 0, alors C = y₀.

Vérification que f est solution

f(x) = C\,e^{ax} \;\Rightarrow\; f'(x) = a\,C\,e^{ax} = a\,f(x)

On dérive la forme proposée et on retrouve f′ = af : la fonction est bien solution.

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Exemple corrigé

Résoudre y′ = ay avec condition initiale

Résoudre sur ℝ l'équation différentielle y′ = 2y, puis déterminer l'unique solution f telle que f(0) = 3. Donner le sens de variation de f.

Identifier le coefficient a
L'équation est de la forme y′ = ay avec a = 2.
$y' = 2y \quad\text{donc}\quad a = 2$
Écrire la forme générale des solutions
Les solutions sur ℝ sont les fonctions f(x) = C·e^(ax) = C·e^(2x), où C décrit ℝ.
$f(x) = C\,e^{2x},\quad C \in \mathbb{R}$
Utiliser la condition initiale
On impose f(0) = 3 ; or f(0) = C·e^0 = C, donc C = 3.
$f(0) = C = 3 \;\Rightarrow\; C = 3$
Conclure et étudier la variation
La solution cherchée est f(x) = 3·e^(2x). Comme a = 2 > 0 et 3 > 0, f est strictement croissante sur ℝ et tend vers +∞ en +∞ : c'est une croissance exponentielle.
$f(x) = 3\,e^{2x},\qquad f'(x) = 6\,e^{2x} > 0$

Résultat : Les solutions sont f(x) = C·e^(2x) (C ∈ ℝ) ; celle vérifiant f(0) = 3 est f(x) = 3·e^(2x), strictement croissante sur ℝ.

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe pour a : pour y′ + ay = 0 le coefficient est −a, pas a (réécrire d'abord sous la forme y′ = (−a)y).
Confondre C et a dans l'exponentielle : a est dans l'exposant (vitesse), C est le facteur multiplicatif (valeur en 0).
Oublier la constante C ou la fonction nulle comme solution, ou croire qu'il existe une seule solution sans condition initiale.
Oublier la réciproque dans la démonstration : montrer que toute solution s'écrit C·e^(ax) ne prouve pas encore que toutes ces fonctions sont solutions.
Affirmer qu'une solution de y′ = ay ne s'annule jamais : c'est vrai sauf pour C = 0, et la fonction nulle est bien solution.

Révision active

Résoudre sur ℝ l'équation différentielle y′ = 2y, puis déterminer la solution f vérifiant f(0) = 3. Préciser le sens de variation de cette solution.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

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Équation différentielle y′ = ay + b : solution particulière et solution générale#

~9 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Primitives-equations-differentielles

Solution de y′ = −2y + 6 tendant vers l'équilibre −b/a = 3

Fig. 4Solution de y′ = −2y + 6 vérifiant f(0) = 1 : f(x) = −2·e^(−2x) + 3. La courbe part de 1 et tend vers la valeur d'équilibre −b/a = 3 (asymptote horizontale, régime permanent).

Cadre : on considère l'équation y′ = ay + b avec a ≠ 0 et b réel fixé. C'est l'équation y′ = ay « perturbée » par le terme constant b.

Solution particulière constante : on cherche une solution constante f(x) = c. Une constante a une dérivée nulle, donc 0 = ac + b, d'où c = −b/a. La fonction constante x ↦ −b/a est donc une solution particulière de l'équation.

Solution générale : les solutions de y′ = ay + b sont exactement les fonctions f(x) = C·e^(ax) − b/a, où C est une constante réelle. On retrouve la structure « solution générale de y′ = ay » (le terme C·e^(ax)) à laquelle s'ajoute la solution particulière constante (−b/a).

Condition initiale : une condition f(x₀) = y₀ fixe la constante C. Si x₀ = 0, alors C = y₀ + b/a (car f(0) = C − b/a = y₀).

Régime permanent et asymptote : lorsque a < 0, e^(ax) tend vers 0 en +∞, donc toute solution tend vers la valeur d'équilibre −b/a : la droite horizontale y = −b/a est une asymptote (le « régime permanent » d'un système physique).

Cas général y′ = ay + f (second membre non constant) : si on connaît UNE solution particulière g de l'équation (souvent fournie par l'énoncé, par exemple une fonction affine ou polynomiale donnée), alors toutes les solutions s'obtiennent en ajoutant la solution générale de l'équation homogène y′ = ay : ce sont exactement les fonctions x ↦ g(x) + C·e^(ax), C ∈ ℝ. C'est la même structure que pour y′ = ay + b, où g est la solution constante −b/a. La condition initiale fixe ensuite C comme d'habitude.

La structure « solution particulière + solutions de l'homogène » n'est pas une recette à retenir : elle se démontre en deux lignes, et c'est cette démonstration que la capacité attendue vous demande de savoir refaire. Soit g une solution particulière de y′ = ay + b, et f une solution quelconque. Posons h = f − g. Alors h′ = f′ − g′ = (af + b) − (ag + b) = a(f − g) = a·h : la différence h est solution de l'ÉQUATION HOMOGÈNE y′ = ay, donc h(x) = C·e^(ax) d'après le paragraphe précédent. On en tire f = g + C·e^(ax). Le raisonnement ne suppose rien sur g : il vaut pour la solution constante −b/a comme pour une solution particulière quelconque fournie par un énoncé — c'est exactement le cas y′ = ay + f qui figure aussi aux capacités attendues.

Le signe de a décide du destin de la valeur d'équilibre, et les deux cas s'opposent point par point. Pour a < 0, le terme C·e^(ax) tend vers 0 : toutes les solutions convergent vers −b/a, quel que soit leur point de départ. L'équilibre attire, la droite y = −b/a est asymptote horizontale, et c'est le régime permanent des systèmes physiques du chapitre. Pour a > 0 au contraire, C·e^(ax) explose : sauf si C = 0 — c'est-à-dire sauf si la solution PART de l'équilibre et y reste — toutes les solutions s'en éloignent, vers +∞ ou vers −∞ selon le signe de C. Un même calcul, deux comportements opposés : avant d'interpréter, regardez le signe de a.

Vocabulaire

→ Cartes

solution particulièreUne solution, choisie aussi simple que possible, à partir de laquelle toutes les autres s'obtiennent en ajoutant les solutions de l'équation homogène.
valeur d’équilibreRéel −b/a annulant y′ ; la solution constante correspondante, limite de toutes les autres lorsque a < 0.
régime permanentÉtat vers lequel tend un système décrit par y′ = ay + b avec a < 0, atteint asymptotiquement.
second membreTerme b ou f(x) ajouté à ay ; il déplace les solutions sans changer la structure de l'ensemble solution.

Solution particulière constante

y' = ay + b,\; a \neq 0 \;:\; \text{solution particulière constante } x \mapsto -\frac{b}{a}

Une constante c vérifie l'équation si et seulement si 0 = ac + b, c'est-à-dire c = −b/a.

Solution générale de y′ = ay + b

y' = ay + b \iff f(x) = C\,e^{ax} - \frac{b}{a},\quad C \in \mathbb{R}

On somme la solution générale de y′ = ay (le terme C·e^(ax)) et la solution particulière constante (−b/a).

Valeur d'équilibre quand a < 0

a < 0 \;\Rightarrow\; \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\frac{b}{a}\quad(\text{régime permanent / asymptote})

Lorsque a < 0, le terme C·e^(ax) s'efface en +∞ : la solution tend vers la valeur d'équilibre −b/a, qui est une asymptote horizontale.

Solution générale de y′ = ay + f (g donnée)

y' = ay + f,\; g \text{ solution particulière} \;\Rightarrow\; \{\text{solutions}\} = \{\, x \mapsto g(x) + C\,e^{ax} \mid C \in \mathbb{R} \,\}

Avec un second membre f quelconque, dès qu'une solution particulière g est connue, on obtient toutes les solutions en lui ajoutant la solution générale C·e^(ax) de l'équation homogène y′ = ay.

Exemple corrigé

Résoudre y′ = ay + b avec condition initiale

Résoudre sur ℝ l'équation différentielle y′ = −2y + 6. Déterminer ensuite l'unique solution f vérifiant f(0) = 1, puis donner la limite de f en +∞.

Identifier a et b
L'équation est de la forme y′ = ay + b avec a = −2 et b = 6.
$a = -2,\qquad b = 6$
Trouver la solution particulière constante
On cherche une constante c : sa dérivée est nulle, donc 0 = ac + b, soit c = −b/a = −6/(−2) = 3.
$0 = -2c + 6 \;\Rightarrow\; c = -\frac{b}{a} = 3$
Écrire la solution générale
On ajoute la solution générale de y′ = ay à la solution particulière.
$f(x) = C\,e^{-2x} + 3,\quad C \in \mathbb{R}$
Fixer C avec la condition initiale
On impose f(0) = 1 : f(0) = C·e^0 + 3 = C + 3 = 1, donc C = −2.
$C + 3 = 1 \;\Rightarrow\; C = -2$
Conclure et passer à la limite
La solution est f(x) = −2·e^(−2x) + 3. Comme a = −2 < 0, e^(−2x) → 0 en +∞, donc f(x) → 3 : la valeur d'équilibre −b/a est atteinte asymptotiquement.
$f(x) = -2\,e^{-2x} + 3,\qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$

Résultat : Solutions : f(x) = C·e^(−2x) + 3 (C ∈ ℝ) ; celle vérifiant f(0) = 1 est f(x) = −2·e^(−2x) + 3, qui tend vers 3 en +∞.

Exemple corrigé

Second membre non constant : toutes les solutions à partir d'une solution particulière donnée

On considère l'équation différentielle (E) : y′ = y + x sur ℝ. On admet que la fonction g définie par g(x) = −x − 1 est une solution particulière de (E). 1) Vérifier que g est bien solution de (E). 2) En déduire l'ensemble des solutions de (E). 3) Déterminer la solution f vérifiant f(0) = 0.

Vérifier la solution particulière g
On dérive g(x) = −x − 1 : g′(x) = −1. Par ailleurs g(x) + x = (−x − 1) + x = −1. On a bien g′(x) = g(x) + x, donc g est solution de (E).
$g'(x) = -1,\qquad g(x) + x = (-x - 1) + x = -1 = g'(x)$
Reconnaître la forme y′ = ay + f
Ici (E) s'écrit y′ = ay + f avec a = 1 et f(x) = x (second membre non constant). L'équation homogène associée est y′ = y, dont la solution générale est C·e^x.
$a = 1,\quad f(x) = x,\qquad y' = y \;\Rightarrow\; y = C\,e^{x}$
Écrire l'ensemble des solutions
On ajoute à la solution particulière g la solution générale de l'équation homogène : les solutions de (E) sont les fonctions x ↦ g(x) + C·e^x.
$f(x) = -x - 1 + C\,e^{x},\quad C \in \mathbb{R}$
Fixer C avec la condition initiale
On impose f(0) = 0 : f(0) = −0 − 1 + C·e^0 = C − 1 = 0, donc C = 1.
$f(0) = -1 + C = 0 \;\Rightarrow\; C = 1$
Conclure et vérifier
La solution cherchée est f(x) = e^x − x − 1. Contrôle : f′(x) = e^x − 1 et f(x) + x = e^x − x − 1 + x = e^x − 1, donc f′ = f + x.
$f(x) = e^{x} - x - 1,\qquad f'(x) = e^{x} - 1 = f(x) + x$

Résultat : Les solutions de (E) sont f(x) = −x − 1 + C·e^x (C ∈ ℝ) ; celle vérifiant f(0) = 0 est f(x) = e^x − x − 1.

Objectif Bac

Trouver la solution particulière constante −b/a, écrire la solution générale C·e^(ax) − b/a, puis fixer C avec la condition initiale.
Interpréter la valeur −b/a comme limite (équilibre / régime permanent) lorsque a < 0.
Vérifier qu'une fonction donnée est solution de y′ = ay + b en calculant f′ et en comparant à af + b.
Pour y′ = ay + f avec f non constant : à partir d'une solution particulière g fournie (la vérifier en dérivant), écrire toutes les solutions sous la forme g(x) + C·e^(ax), puis déterminer C avec la condition initiale.
Démontrer la structure des solutions en posant h = f − g et en montrant que h vérifie l'équation homogène : c'est le raisonnement attendu, pas une formule à citer.
Discuter le signe de a avant toute interprétation : l'équilibre −b/a n'est atteint en +∞ que si a est strictement négatif.

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe dans la solution particulière : c'est −b/a, pas b/a (résoudre proprement ac + b = 0).
Calculer C avant d'avoir ajouté −b/a : il faut utiliser la condition initiale sur la solution COMPLÈTE f(x) = C·e^(ax) − b/a, donc f(0) = C − b/a.
Confondre la valeur d'équilibre −b/a avec la valeur initiale y₀ : la solution part de y₀ et tend vers −b/a (quand a < 0), ce sont deux choses distinctes.
Appliquer « les solutions tendent vers −b/a » sans regarder le signe de a : pour a > 0 elles s'en éloignent, sauf la solution constante.
Chercher une solution particulière non constante alors que l'équation a un second membre constant : c'est la constante −b/a qui convient, et elle s'obtient en résolvant ac + b = 0.

Révision active

Résoudre sur ℝ l'équation y′ = −2y + 6, déterminer la solution f vérifiant f(0) = 1, puis donner sa limite en +∞.

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Modélisation par des équations différentielles (applications)#

~7 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Primitives-equations-differentielles

Charge d'un condensateur : schéma et courbe de tension

Fig. 5Charge d'un condensateur (circuit RC) : modèle u′ = au + b avec a < 0. La tension part de 0 et croît vers la tension limite −b/a (régime permanent), ici E. Le terme C·e^(at) décrit le régime transitoire qui s'efface.

Principe de modélisation : une équation différentielle traduit une loi d'évolution. Quand le taux de variation d'une grandeur est proportionnel à sa valeur, on obtient y′ = ay ; quand s'ajoute un apport ou une perte constante, on obtient y′ = ay + b.

Croissance et décroissance exponentielles (y′ = ay) : population à taux constant, intérêts composés en temps continu (a > 0) ; désintégration radioactive et refroidissement vers 0 (a < 0). La constante a est le taux d'évolution instantané ; sa demi-vie (cas a < 0) est le temps au bout duquel la quantité est divisée par 2.

Phénomènes avec apport/perte constant (y′ = ay + b) : charge d'un condensateur, refroidissement vers une température ambiante non nulle (loi de Newton), réservoir avec débit constant. La valeur d'équilibre −b/a (atteinte quand a < 0) est le régime permanent vers lequel le système tend.

Démarche attendue : (1) nommer la grandeur et la variable (souvent le temps t) ; (2) écrire l'équation à partir de l'énoncé physique ; (3) résoudre (forme générale C·e^(at) ou C·e^(at) − b/a) ; (4) utiliser la condition initiale ; (5) interpréter (limite, demi-vie, temps caractéristique, valeur d'équilibre).

Vérification systématique : on contrôle qu'une fonction proposée modélise bien le phénomène en vérifiant qu'elle satisfait l'équation différentielle (f′ = af ou f′ = af + b) ET la condition initiale donnée.

Deux temps caractéristiques suffisent à commenter n'importe quel modèle du chapitre, et ils se calculent une fois pour toutes. Pour une décroissance pure y′ = ay avec a < 0, la demi-vie est le temps au bout duquel la quantité est divisée par deux : e^(at) = 1/2 donne t = ln(2)/|a|. Elle ne dépend pas de la quantité initiale, ce qui est le point que les énoncés font systématiquement interpréter. Pour un système tendant vers un équilibre, y′ = ay + b avec a < 0, on utilise plutôt le temps caractéristique τ = 1/|a| : au bout de τ, l'écart à l'équilibre a été réduit d'un facteur e, soit environ 63 % du chemin parcouru ; au bout de 3τ, plus de 95 % ; et l'équilibre n'est jamais atteint exactement, seulement approché. Une valeur numérique de temps qui contredit ces ordres de grandeur signale une erreur de signe sur a.

Quand aucune formule explicite n'est disponible, le programme propose une sortie algorithmique : la méthode d'Euler. Le principe est celui de l'approximation affine — sur un petit pas h, la courbe est assimilée à sa tangente, donc y(x + h) ≈ y(x) + h·y′(x). Pour y′ = ay + b, cela donne la relation de récurrence yₙ₊₁ = yₙ + h(a·yₙ + b), avec xₙ₊₁ = xₙ + h et y₀ fixé par la condition initiale : quelques lignes de Python suffisent à tracer une solution approchée. Le lien avec le chapitre d'algorithmique est direct, et l'intérêt est réel — l'équation logistique, citée par le programme comme approfondissement possible, se traite ainsi alors qu'aucune de ses solutions n'est au programme.

Vocabulaire

→ Cartes

demi-vieDurée ln(2)/|a| au bout de laquelle une grandeur en décroissance exponentielle est divisée par deux, indépendante de la valeur initiale.
temps caractéristiqueDurée τ = 1/|a| au bout de laquelle l'écart à l'équilibre est réduit d'un facteur e, soit environ 63 % du chemin.
méthode d’EulerApproximation pas à pas d'une solution par yₙ₊₁ = yₙ + h·y′(xₙ), fondée sur l'approximation affine.
modélisationTraduction d'un énoncé physique ou biologique en équation différentielle, suivie de la résolution puis de l'interprétation du résultat.

Modèle de croissance / décroissance exponentielle

\text{Évolution proportionnelle :}\quad y'(t) = a\,y(t) \;\Rightarrow\; y(t) = y(0)\,e^{at}

Quand la vitesse d'évolution est proportionnelle à la quantité présente, la solution est une exponentielle ; y(0) est la valeur initiale.

Demi-vie d'une décroissance exponentielle

\text{Désintégration }(a<0)\;:\quad \frac{1}{2}\,y(0) = y(0)\,e^{a t_{1/2}} \;\Rightarrow\; t_{1/2} = \frac{\ln 2}{-a}

La demi-vie est le temps au bout duquel la quantité est divisée par 2 ; elle se déduit de e^(a·t₁ᐟ₂) = 1/2.

Régime permanent (charge, refroidissement)

\text{Apport constant }(a<0)\;:\quad y'(t) = a\,y(t) + b \;\Rightarrow\; y(t) \xrightarrow[t \to +\infty]{} -\frac{b}{a}

Avec un apport ou une perte constante et a < 0, le système tend vers l'état d'équilibre −b/a (tension finale, température ambiante).

Exemple corrigé

Désintégration radioactive : modèle, résolution, demi-vie

La masse N(t) (en mg) d'un échantillon radioactif décroît selon N′(t) = −0,1·N(t), où t est le temps en jours, avec N(0) = 200 mg. 1) Déterminer N(t). 2) Calculer la masse au bout de 10 jours. 3) Déterminer la demi-vie t₁ᐟ₂ de cet échantillon.

Reconnaître le modèle
Le taux de variation est proportionnel à la masse présente : c'est une équation y′ = ay avec a = −0,1 (a < 0 : décroissance).
$N'(t) = -0{,}1\,N(t),\qquad a = -0{,}1$
Résoudre avec la condition initiale
Les solutions sont N(t) = C·e^(−0,1t) ; la condition N(0) = 200 donne C = 200.
$N(t) = 200\,e^{-0{,}1\,t}$
Calculer N(10)
On évalue la masse à t = 10 jours.
$N(10) = 200\,e^{-1} \approx 200 \times 0{,}368 \approx 73{,}6\;\text{mg}$
Déterminer la demi-vie
La demi-vie t₁ᐟ₂ vérifie N(t₁ᐟ₂) = N(0)/2 = 100, soit e^(−0,1·t₁ᐟ₂) = 1/2 ; on passe au logarithme.
$e^{-0{,}1\,t_{1/2}} = \tfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0{,}1} \approx 6{,}93\;\text{jours}$

Résultat : N(t) = 200·e^(−0,1t) ; N(10) ≈ 73,6 mg ; demi-vie t₁ᐟ₂ = ln 2 / 0,1 ≈ 6,93 jours.

Explication pas à pas5 étapes

1
Partons d'une situation concrète : un liquide à 90 °C dans une pièce à 20 °C. La loi de refroidissement de Newton dit que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart entre la température du liquide et celle de la pièce. On écrit donc T′(t) = −0,2·(T(t) − 20).
$T'(t) = -0{,}2\,\big(T(t) - 20\big)$
2
On développe pour reconnaître la forme du cours : T′ = ay + b. En distribuant le −0,2, on obtient a = −0,2 et b = 4. C'est bien une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
$T' = -0{,}2\,T + 4,\qquad a = -0{,}2,\; b = 4$
3
On cherche d'abord la solution constante d'équilibre : −b/a vaut 20. C'est rassurant, c'est exactement la température de la pièce. La solution générale est donc C·e^(−0,2t) + 20.
$f_{\text{part}} = -\frac{b}{a} = 20,\qquad T(t) = C\,e^{-0{,}2t} + 20$
4
La condition initiale T(0) = 90 fixe la constante : C + 20 = 90, donc C = 70. La solution complète est T(t) = 70·e^(−0,2t) + 20.
$T(0) = C + 20 = 90 \;\Rightarrow\; C = 70,\quad T(t) = 70\,e^{-0{,}2t} + 20$
5
On visualise enfin la courbe : elle part de 90 °C et décroît en se rapprochant de l'asymptote horizontale y = 20. La valeur d'équilibre −b/a est le régime permanent, atteint lorsque le terme exponentiel s'est effacé.
Refroidissement T(t) = 70·e^(−0,2t) + 20

Erreurs fréquentes

Oublier de définir la variable et l'origine du temps, ce qui rend la condition initiale ambiguë.
Choisir un mauvais signe pour a : une décroissance impose a < 0, une croissance a > 0 ; un signe erroné inverse complètement le comportement.
Confondre le taux a (vitesse d'évolution) et la valeur d'équilibre −b/a (état final) lors de l'interprétation physique.
Écrire la demi-vie ln(2)/a avec a négatif, ce qui donne un temps négatif : c'est ln(2)/|a|, et un temps négatif doit immédiatement alerter.
Affirmer qu'un système atteint son équilibre à une date finie : il ne fait que s'en approcher, et l'on répond en donnant le temps pour atteindre une fraction fixée de l'écart.

Révision active

Un condensateur se charge selon u′(t) = −5u(t) + 50, où u(t) est la tension (en V) à l'instant t (en s) et u(0) = 0. Déterminer u(t), la tension limite, et le sens de variation de u.

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Références et sources

Sources

Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel

Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A)

Voir aussi

Primitives et équations différentielles

Points clés

Déterminer la primitive vérifiant une condition initiale

Points clés

Reconnaître une forme composée u′f(u)

Points clés

Résoudre y′ = ay avec condition initiale

Points clés

Résoudre y′ = ay + b avec condition initiale

Second membre non constant : toutes les solutions à partir d'une solution particulière donnée

Points clés

Désintégration radioactive : modèle, résolution, demi-vie

Sources