Fonction logarithme népérien

ln comme réciproque de l'exponentielle : définition, valeurs et premières propriétés#

~5 min de lectureBaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Symétrie des courbes de ln et exp par rapport à la droite y = x

Fig. 1Comme deux fonctions réciproques, exp et ln se déduisent l'une de l'autre par symétrie axiale d'axe la droite y = x.

La fonction exponentielle réalise une bijection de ℝ sur ]0;+∞[ : pour tout réel strictement positif a, l'équation eˣ=a admet une unique solution. La fonction logarithme népérien ln est définie comme la fonction réciproque de exp ; elle associe à tout réel a>0 l'unique réel x tel que eˣ=a.

Ensemble de définition : ln est définie sur ]0;+∞[ uniquement. Écrire ln(x) impose donc toujours la condition x>0, et ln(u(x)) impose u(x)>0. C'est la première chose à poser dans tout exercice.

Équivalence fondamentale : pour x>0 et y réel quelconque, ln(x)=y ⇔ x=eʸ. Elle découle directement de la définition et sert à transformer toute équation logarithmique en équation exponentielle (et réciproquement).

Relations de réciprocité : pour tout x>0, e^(ln x)=x ; pour tout réel x, ln(eˣ)=x. Composer ln puis exp (ou l'inverse) « annule » les deux fonctions, ce qui simplifie les expressions.

Valeurs remarquables : ln(1)=0 (car e⁰=1) et ln(e)=1 (car e¹=e). Plus généralement ln(eⁿ)=n pour tout entier n.

Lecture graphique : les courbes de exp et de ln sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation y=x, propriété générale de deux fonctions réciproques dans un repère orthonormé.

La définition par réciprocité mérite d'être posée dans l'ordre où elle se démontre, car un sujet peut demander de la justifier. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, avec pour limites 0 en −∞ et +∞ en +∞ : par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction strictement monotone, elle réalise donc une bijection de ℝ sur ]0 ; +∞[. Tout réel a strictement positif admet ainsi un unique antécédent par exp, et l'on NOMME ln(a) cet antécédent. Le domaine ]0 ; +∞[ n'est pas une convention : c'est exactement l'ensemble des valeurs atteintes par l'exponentielle, et rien d'autre ne pouvait avoir d'antécédent.

Le graphe se déduit de la réciprocité sans aucun calcul, ce qui rend le tracé rapide et sûr. Deux fonctions réciproques ont des courbes symétriques par rapport à la droite d'équation y = x : chaque point (α ; β) de la courbe de exp donne le point (β ; α) sur celle de ln. La conséquence pratique est immédiate — l'asymptote HORIZONTALE de exp en −∞ (l'axe des abscisses) devient l'asymptote VERTICALE de ln en 0⁺ (l'axe des ordonnées), et la tangente de exp en (0 ; 1), de pente 1, devient la tangente de ln en (1 ; 0), de pente 1 elle aussi. Tracer l'une, c'est tracer l'autre par pliage le long de la bissectrice.

Vocabulaire

→ Cartes

fonction réciproqueFonction qui à chaque image associe son unique antécédent ; ln est la réciproque de exp sur ]0 ; +∞[.
bijectionCorrespondance où tout élément de l'ensemble d'arrivée a un antécédent et un seul.
logarithme népérienFonction définie sur ]0 ; +∞[ par ln(a) = l'unique réel dont l'exponentielle vaut a.

Équivalence définissant ln comme réciproque de exp

\ln(x) = y \iff x = e^{y} \quad (x>0,\ y \in \mathbb{R})

Cœur de la définition : tout passage d'une écriture logarithmique à une écriture exponentielle repose sur cette équivalence.

Relations de réciprocité

e^{\ln x} = x \ \ (x>0) \qquad \ln(e^{x}) = x \ \ (x \in \mathbb{R})

ln et exp se « neutralisent » par composition ; attention aux domaines respectifs : x>0 à gauche, x quelconque à droite.

Valeurs remarquables

\ln(1) = 0, \qquad \ln(e) = 1, \qquad \ln(e^{n}) = n

Points d'ancrage indispensables : la courbe coupe l'axe des abscisses en x=1 et passe par le point (e ; 1).

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Exemple corrigé

Du logarithme à l'exponentiel et réciproquement

Résoudre dans ℝ les équations suivantes, en précisant à chaque fois l'ensemble de définition : a) $\ln(x) = 3$ ; b) $e^{x} = 12$ ; c) $e^{\ln x + 2} = 5$ .

a) Ensemble de définition et résolution
ln(x) n'existe que pour x>0, donc on travaille sur ]0;+∞[. L'équivalence ln(x)=y ⇔ x=eʸ donne directement x=e³.
$\ln(x)=3 \iff x = e^{3} \approx 20{,}09$
b) Inconnue en exposant
eˣ est défini pour tout réel x. On applique ln aux deux membres (12>0) : ln(eˣ)=ln(12), soit x=ln(12).
$e^{x}=12 \iff x = \ln(12) \approx 2{,}48$
c) Simplifier avant de résoudre
Condition d'existence : $x>0$ à cause de $\ln(x)$ . On utilise $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ puis $e^{\ln x}=x$ : $e^{\ln x + 2}=e^{\ln x}\cdot e^{2}=x\,e^{2}$ . L'équation devient $x\,e^{2}=5$ .
$x\,e^{2}=5 \iff x = \dfrac{5}{e^{2}} \approx 0{,}68$
Vérification du domaine
Chaque solution est strictement positive (cas a et c) ou réelle quelconque (cas b), donc compatible avec l'ensemble de définition. On conclut.

Résultat : a) S = {e³} ; b) S = {ln(12)} ; c) S = {5/e²}. Toutes les solutions respectent leur ensemble de définition.

Erreurs fréquentes

Écrire ln(x) ou ln(u(x)) sans poser la condition x>0 (ou u(x)>0) : l'ensemble de définition est omis et le raisonnement est invalidé.
Confondre e^(ln x)=x (valable seulement pour x>0) et ln(eˣ)=x (valable pour tout réel x) : inverser les domaines de validité.
Croire que ln(0) ou ln d'un nombre négatif existe : la fonction n'est pas définie sur ]−∞;0].
Écrire la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ou des ordonnées : la symétrie qui relie une fonction à sa réciproque est celle d'axe y = x.
Résoudre e^x = a sans discuter le signe de a : l'équation n'a de solution que pour a > 0, et c'est parfois toute la question.

Révision active

Résoudre dans ℝ chacune des équations e^(2x)=3, ln(x)=−1, e^(ln x + 2)=5, en précisant à chaque fois l'ensemble de définition.

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Propriétés algébriques du logarithme et résolution d'équations et d'inéquations#

~5 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Le logarithme transforme un produit en somme

Fig. 2Principe de l'échelle logarithmique : multiplier les grandeurs revient à additionner leurs logarithmes — fondement des règles à calcul et des échelles (pH, décibels, magnitudes).

Relation fonctionnelle fondamentale : pour tous réels a>0 et b>0, ln(ab)=ln(a)+ln(b). Le logarithme transforme un produit en somme — c'est la propriété qui fonde les échelles logarithmiques.

Quotient et inverse : ln(a/b)=ln(a)−ln(b) et, en particulier, ln(1/a)=−ln(a). On obtient le second cas en prenant b=a dans le premier, ou a=1 dans le quotient.

Puissance : pour tout réel a>0 et tout entier relatif n, ln(aⁿ)=n·ln(a). Cette règle s'étend aux exposants réels et permet de « faire descendre » l'inconnue d'un exposant.

Racine carrée : ln(√a)=½·ln(a), cas particulier de la règle de la puissance avec n=½ (puisque √a=a^(1/2)). Plus généralement ln(a^(1/n))=(1/n)·ln(a).

Méthode équation : isoler les ln d'un même côté, les regrouper en un seul ln à l'aide des propriétés algébriques, puis appliquer ln(A)=ln(B) ⇔ A=B (pour A>0 et B>0), ou ln(A)=k ⇔ A=eᵏ.

Méthode inéquation : la stricte croissance de ln donne ln(A)<ln(B) ⇔ A<B (pour A>0, B>0). On ne change PAS le sens de l'inégalité — contrairement à une multiplication par un nombre négatif. L'ensemble de définition restreint toujours l'ensemble solution.

La relation fonctionnelle se démontre en trois lignes à partir de la réciprocité, et cette démonstration est au programme. Soient a et b strictement positifs. On a e^(ln a + ln b) = e^(ln a) × e^(ln b) = a × b, par la relation fonctionnelle de l'exponentielle. Or ln(ab) est, par définition, l'unique réel dont l'exponentielle vaut ab. Les deux réels ln a + ln b et ln(ab) ont donc la même exponentielle ; comme exp est injective, ils sont égaux. Toutes les autres règles s'en déduisent : le quotient en écrivant a = (a/b) × b, l'inverse en prenant a = 1, la puissance entière par récurrence sur n.

La résolution d'une équation logarithmique se rédige en quatre temps, et l'ordre est ce qui rapporte les points. (1) DOMAINE : résoudre les conditions d'existence de chaque ln avant tout calcul, et en donner l'intersection. (2) CONDENSER : regrouper les logarithmes en un seul de chaque côté. (3) IDENTIFIER : appliquer ln A = ln B ⟺ A = B, ce qui donne une équation algébrique. (4) FILTRER : confronter chaque solution trouvée au domaine du (1) et rejeter celles qui n'y sont pas. L'étape 4 est celle que l'on saute, et c'est celle qui coûte le point : une équation en ln fabrique presque toujours une solution parasite.

Vocabulaire

→ Cartes

relation fonctionnellePropriété ln(ab) = ln a + ln b, qui transforme un produit en somme.
solution parasiteSolution de l'équation algébrique obtenue après condensation, mais extérieure au domaine de définition, donc à rejeter.
injectivitéPropriété d'une fonction pour laquelle deux antécédents distincts ont des images distinctes ; elle autorise le passage de ln A = ln B à A = B.

Produit et quotient (a>0, b>0)

\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b

Les deux règles maîtresses : un produit devient une somme, un quotient une différence.

Inverse, puissance et racine (a>0)

\ln\!\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a \qquad \ln(a^{n}) = n\,\ln a \qquad \ln(\sqrt{a}) = \tfrac{1}{2}\ln a

L'inverse change le signe ; un exposant entier (ou réel) se place en facteur ; la racine carrée correspond à l'exposant ½.

Résolution par stricte croissance de ln

\ln A = \ln B \iff A = B \qquad \ln A < \ln B \iff A < B \quad (A>0,\ B>0)

La bijectivité et la stricte croissance de ln permettent d'« enlever » les logarithmes en conservant l'ordre.

Exemple corrigé

Équation logarithmique avec contrôle du domaine

Résoudre dans ℝ l'équation ln(x) + ln(x − 3) = ln(10).

Ensemble de définition
Les deux logarithmes imposent x>0 ET x−3>0, donc x>3. On résout sur l'intervalle ]3;+∞[.
$\mathcal{D} = \,]3\,;+\infty[$
Condenser le membre de gauche
La règle du produit ln(a)+ln(b)=ln(ab) donne ln(x)+ln(x−3)=ln(x(x−3)). L'équation devient ln(x(x−3))=ln(10).
$\ln\big(x(x-3)\big) = \ln(10)$
Supprimer les logarithmes
Par stricte croissance (donc injectivité) de ln : ln(A)=ln(B) ⇔ A=B. On obtient x(x−3)=10, soit x²−3x−10=0.
$x^{2} - 3x - 10 = 0$
Résoudre le trinôme
Le discriminant vaut Δ=9+40=49, √Δ=7. Les racines sont x=(3+7)/2=5 et x=(3−7)/2=−2.
$x = \dfrac{3 \pm 7}{2} \ \Rightarrow\ x_1 = 5,\quad x_2 = -2$
Confronter au domaine
On garde uniquement les solutions de ]3;+∞[. La valeur −2 est exclue (hors domaine) ; 5 convient (5>3).

Résultat : S = {5}. La racine −2 est rejetée car elle n'appartient pas à l'ensemble de définition ]3;+∞[.

Erreurs fréquentes

Écrire ln(a+b)=ln(a)+ln(b) : FAUX. La règle ne concerne que le produit, ln(ab)=ln(a)+ln(b). Le logarithme d'une somme ne se développe pas.
Oublier de restreindre l'ensemble solution à l'ensemble de définition : par exemple résoudre ln(x)+ln(x−2)=ln(3) et garder une solution qui rend x−2 négatif.
Inverser le sens d'une inéquation lors du « passage au logarithme » : ln étant croissante, ln(A)<ln(B) ⇔ A<B, l'ordre est conservé.
Écrire ln(a)·ln(b) = ln(a + b) ou ln(a)/ln(b) = ln(a − b) : aucune règle ne porte sur un produit ou un quotient de logarithmes.
Faire descendre l'exposant sans vérifier la positivité de la base : ln(x²) = 2 ln(x) n'est valable que pour x > 0 ; pour x < 0, l'écriture correcte est 2 ln(|x|).

Révision active

Résoudre dans ℝ l'équation ln(x) + ln(x − 3) = ln(10), puis l'inéquation ln(2x − 1) ≤ ln(x + 4), en précisant à chaque fois l'ensemble de définition.

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Étude analytique : dérivée, sens de variation et limites en 0⁺ et en +∞#

~6 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Courbe de ln avec asymptote verticale en x = 0 et signe

Fig. 3ln est strictement croissante sur ]0;+∞[ : asymptote verticale x=0 (limite −∞), valeur nulle en x=1, croissance lente vers +∞.

Dérivée : la fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et (ln x)′=1/x. Comme 1/x>0 sur ]0;+∞[, la dérivée est strictement positive : ln est strictement croissante sur tout son domaine.

Sens de variation et conséquences : de la stricte croissance découlent l'injectivité (ln(a)=ln(b) ⇔ a=b) et la conservation de l'ordre (a<b ⇔ ln(a)<ln(b)). En particulier, ln(x)>0 pour x>1, ln(x)<0 pour 0<x<1, et ln(x)=0 ⇔ x=1.

Limite en +∞ : lim(x→+∞) ln(x)=+∞. La croissance est cependant très lente — ln tend vers l'infini moins vite que toute puissance positive de x (voir croissances comparées).

Limite en 0⁺ : lim(x→0⁺) ln(x)=−∞. La courbe « plonge » vers le bas en se rapprochant de l'axe des ordonnées : la droite d'équation x=0 (l'axe Oy) est asymptote verticale.

Tangente en x=1 : au point d'abscisse 1, ln(1)=0 et (ln)′(1)=1, donc la tangente à la courbe en (1;0) a pour équation y=x−1. Cette tangente est au-dessus de la courbe (concavité tournée vers le bas, car (ln)″(x)=−1/x²<0).

Dérivée de ln(u) : si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle, alors ln(u) est dérivable et (ln u)′=u′/u. C'est la clé de l'étude des fonctions composées avec un logarithme.

Les deux limites de ln se démontrent à partir de celles de l'exponentielle, et un sujet peut le demander. En +∞ : soit A un réel aussi grand que l'on veut ; pour tout x > e^A, la stricte croissance de ln donne ln(x) > ln(e^A) = A, donc ln(x) dépasse tout seuil fixé et tend vers +∞. En 0⁺ : on pose X = 1/x, qui tend vers +∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives ; alors ln(x) = ln(1/X) = −ln(X), qui tend vers −∞. Ce changement de variable X = 1/x est un réflexe utile bien au-delà de ce cas : il transforme systématiquement une étude en 0⁺ en une étude en +∞.

La formule (ln u)′ = u′/u sert dans les deux sens, et c'est cette réversibilité qu'il faut installer maintenant. Dans le sens direct, elle dérive : (ln(x² + 1))′ = 2x/(x² + 1). Dans le sens inverse, elle reconnaît une primitive : toute expression de la forme u′/u a pour primitive ln|u|, ce qui rend intégrable un quotient dont le numérateur est, à un coefficient près, la dérivée du dénominateur. Prenez l'habitude, devant un quotient, de dériver mentalement le dénominateur et de comparer au numérateur — le chapitre du calcul intégral repose largement sur ce réflexe.

Vocabulaire

→ Cartes

asymptote verticaleDroite d'équation x = a dont la courbe se rapproche indéfiniment lorsque la fonction tend vers ±∞ en a.
stricte croissancePropriété d'une fonction dont la dérivée est strictement positive ; elle conserve l'ordre et rend la fonction injective.
dérivée d’une composéeFormule (ln u)′ = u′/u, valable sur tout intervalle où u reste strictement positive.
changement de variableSubstitution X = 1/x qui ramène une étude en 0⁺ à une étude en +∞.

Dérivée de ln et de ln(u)

(\ln x)' = \dfrac{1}{x} \quad (x>0) \qquad (\ln u)' = \dfrac{u'}{u} \quad (u>0)

Dérivée de base, puis sa version composée : on divise la dérivée de l'argument par l'argument lui-même.

Limites aux bornes du domaine

\lim_{x \to 0^{+}} \ln(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty

À gauche, chute vers −∞ (asymptote verticale x=0) ; à droite, croissance vers +∞, mais lente.

Signe de ln

\ln(x) > 0 \iff x > 1, \qquad \ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1, \qquad \ln(x) = 0 \iff x = 1

Le signe du logarithme se lit par rapport à 1 : positif au-delà, négatif en deçà, nul en 1.

Exemple corrigé

Étude de f(x) = x − ln(x) sur ]0 ; +∞[

Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x) = x − ln(x). Étudier les variations de f et déterminer son minimum.

Dérivée
f est dérivable sur ]0;+∞[ comme somme de fonctions dérivables. On a f′(x)=1−1/x, soit, en réduisant au même dénominateur, f′(x)=(x−1)/x.
$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$
Signe de la dérivée
Sur ]0;+∞[, le dénominateur x est strictement positif ; le signe de f′(x) est donc celui de x−1. Ainsi f′(x)<0 pour 0<x<1 et f′(x)>0 pour x>1.
$f'(x) < 0 \text{ sur } ]0;1[, \qquad f'(x) > 0 \text{ sur } ]1;+\infty[$
Variations
f est strictement décroissante sur ]0;1] puis strictement croissante sur [1;+∞[. Elle admet donc un minimum global en x=1.
Valeur du minimum
f(1)=1−ln(1)=1−0=1. Le minimum de f vaut 1 et est atteint en x=1. On en déduit que pour tout x>0, x−ln(x)≥1, c'est-à-dire ln(x)≤x−1 (la tangente est au-dessus de la courbe de ln).
$\forall x>0,\quad \ln(x) \le x - 1$

Résultat : f décroît sur ]0;1], croît sur [1;+∞[ ; minimum global f(1)=1. Conséquence : ln(x) ≤ x − 1 pour tout x>0.

Explication pas à pas4 étapes

1
Partons de la dérivée : ln est dérivable sur ]0;+∞[ et sa dérivée est 1/x. Comme 1/x est toujours strictement positif sur ce domaine, ln est strictement croissante.
2
Regardons le comportement aux bornes. Quand x tend vers 0 par valeurs positives, ln(x) plonge vers moins l'infini : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
3
À l'autre extrémité, quand x tend vers plus l'infini, ln(x) tend aussi vers plus l'infini, mais très lentement — bien plus lentement que x lui-même.
4
On rassemble tout dans la courbe : négative entre 0 et 1, nulle en 1, positive ensuite, croissante partout, avec son asymptote verticale x=0.

Erreurs fréquentes

Écrire (ln x)′ = x (au lieu de 1/x) ou (ln x)′ = ln(x)/x : la dérivée de ln est exactement 1/x.
Annoncer une limite finie en 0⁺ : ln(x) tend vers −∞ (et non vers 0), l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
Pour (ln u)′, oublier le numérateur u′ et écrire seulement 1/u : la dérivée d'une fonction composée est u′/u.
Croire que ln est bornée parce qu'elle croît lentement : elle tend bien vers +∞, simplement plus lentement que toute puissance de x.
Confondre l'asymptote verticale de ln (la droite x = 0) avec une asymptote horizontale : la courbe plonge le long de l'axe des ordonnées, elle ne s'aplatit pas.

Révision active

Soit f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=x−ln(x). Calculer f′(x), étudier son signe, dresser le tableau de variations de f et déterminer son minimum.

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Croissances comparées et asymptotes#

~5 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Comparaison des croissances de ln(x), √x et x

Fig. 4Au voisinage de +∞ : ln(x) ≪ √x ≪ x. La lenteur du logarithme se lit à l'aplatissement de sa courbe par rapport aux deux autres.

Croissance comparée en +∞ : lim(x→+∞) ln(x)/x = 0. Le logarithme croît infiniment moins vite que la fonction x ↦ x ; toute puissance positive de x finit par « écraser » ln.

Croissance comparée en 0⁺ : lim(x→0⁺) x·ln(x) = 0. Bien que ln(x)→−∞, le facteur x tend vers 0 « plus fort » et le produit tend vers 0. On lève ainsi l'indétermination « 0 × (−∞) ».

Hiérarchie des croissances : au voisinage de +∞, ln(x) ≪ √x ≪ x ≪ x² ≪ eˣ. Graphiquement, la courbe de ln finit toujours en dessous de celle de x et même de celle de √x.

Application aux limites avec indétermination : pour lever une forme « +∞ − ∞ » comme x − ln(x), on factorise par le terme dominant : x − ln(x) = x(1 − ln(x)/x). Comme ln(x)/x → 0, le facteur tend vers 1 et la limite est +∞.

Asymptote oblique éventuelle : une fonction du type f(x)=x+ln(x) n'a pas d'asymptote oblique (l'écart ln(x) n'est pas borné), mais ln(x)/x → 0 garantit qu'elle se comporte « comme x » à grande échelle ; pour une asymptote, l'écart f(x)−(ax+b) doit tendre vers 0.

Lien avec la dérivée et le tracé : la lenteur de ln (dérivée 1/x → 0) explique l'aplatissement de la courbe en +∞ ; comparée à √x et x, sa croissance comparée se visualise directement.

La démonstration de lim ln(x)/x = 0 en +∞ se ramène à la croissance comparée de l'exponentielle, et l'astuce vaut d'être retenue. On pose X = ln(x), de sorte que x = e^X et que X tend vers +∞ avec x. Le quotient s'écrit alors ln(x)/x = X/e^X, dont la limite en +∞ est 0 par la croissance comparée exponentielle/puissance déjà établie. La limite en 0⁺ de x·ln(x) se traite par le même changement : en posant x = e^X avec X tendant vers −∞, le produit devient X·e^X, dont la limite est 0. Retenez le geste : toute croissance comparée faisant intervenir ln se ramène, par x = e^X, à une croissance comparée de l'exponentielle.

Vocabulaire

→ Cartes

croissance comparéeThéorème comparant la vitesse de croissance de deux fonctions ; en +∞, ln croît moins vite que toute puissance positive de x.
forme indéterminéeÉcriture du type ∞ − ∞, 0 × ∞ ou ∞/∞ qui ne permet pas de conclure directement et impose une transformation.
terme dominantTerme qui impose le comportement d'une expression à l'infini et par lequel on factorise pour lever l'indétermination.

Croissances comparées de référence

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^{+}} x\,\ln(x) = 0

Les deux limites exigibles : ln est dominé par x en +∞, et x domine ln en 0⁺.

Lever une indétermination +∞ − ∞ par factorisation

x - \ln(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln(x)}{x}\right) \ \xrightarrow[x \to +\infty]{}\ +\infty

On factorise par le terme dominant x ; le crochet tend vers 1 car ln(x)/x → 0, donc le produit tend vers +∞.

Exemple corrigé

Lever des indéterminations grâce aux croissances comparées

Déterminer a) lim(x→+∞) (x − ln(x)) et b) lim(x→0⁺) x²·ln(x).

a) Forme indéterminée +∞ − ∞
En +∞, x → +∞ et ln(x) → +∞ : la différence est indéterminée. On factorise par le terme dominant x.
$x - \ln(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln(x)}{x}\right)$
a) Conclusion par croissance comparée
Comme ln(x)/x → 0, le crochet tend vers 1 ; le produit d'un facteur tendant vers +∞ par un facteur tendant vers 1 tend vers +∞.
$\lim_{x \to +\infty} \big(x - \ln(x)\big) = +\infty$
b) Forme indéterminée 0 × (−∞)
En 0⁺, x² → 0 et ln(x) → −∞. On écrit x²·ln(x) = x·(x·ln(x)) et on utilise la croissance comparée x·ln(x) → 0.
$x^{2}\ln(x) = x \cdot \big(x\,\ln(x)\big)$
b) Conclusion
Le facteur x → 0 et le facteur x·ln(x) → 0 ; le produit de deux facteurs tendant vers 0 tend vers 0.
$\lim_{x \to 0^{+}} x^{2}\,\ln(x) = 0$

Résultat : a) lim(x→+∞) (x − ln(x)) = +∞ ; b) lim(x→0⁺) x²·ln(x) = 0.

Erreurs fréquentes

Conclure que x·ln(x) → −∞ en 0⁺ « parce que ln(x) → −∞ » : on oublie que le facteur x → 0 l'emporte, et la limite est 0 (forme indéterminée 0 × ∞).
Affirmer que ln(x)/x → +∞ : c'est l'inverse, ln croît moins vite que x donc le quotient tend vers 0.
Distribuer une limite sur une forme indéterminée +∞ − ∞ sans factoriser par le terme dominant.
Retenir la hiérarchie des croissances sans l'ordonner correctement : en +∞, ln x ≪ √x ≪ x ≪ x² ≪ e^x, et c'est la position de ln tout en bas qui décide de la plupart des limites.
Appliquer une croissance comparée en 0⁺ comme si elle valait en +∞ : les deux résultats sont distincts et se démontrent séparément.

Révision active

Déterminer les limites suivantes : a) lim(x→+∞) (x − ln(x)) ; b) lim(x→+∞) ln(x)/x² ; c) lim(x→0⁺) x²·ln(x). Justifier en utilisant les croissances comparées.

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Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Fonctions de la forme ln(u) et problèmes de modélisation#

~5 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Fonction-logarithme

Tableau de variations d'une fonction ln(u) : g(x) = ln(x² + 1)

Fig. 5Étude de g(x)=ln(x²+1) : comme x²+1>0 partout, g est définie sur ℝ ; g′(x)=2x/(x²+1) a le signe de x ; minimum g(0)=ln(1)=0.

Domaine d'une fonction ln(u) : ln(u(x)) n'est défini que là où u(x)>0. La première étape d'une étude est donc la résolution de l'inéquation u(x)>0 (tableau de signes).

Dérivée et variations de ln(u) : (ln u)′=u′/u. Comme u>0 sur le domaine, le signe de la dérivée est celui de u′. Les variations de ln(u) reproduisent donc celles de u sur le domaine où u>0.

Limites par composition : on calcule la limite de u, puis on compose avec ln (lim ln=−∞ en 0⁺, +∞ en +∞). Une limite de u vers 0⁺ donne ln(u)→−∞ (asymptote verticale possible) ; une limite de u vers +∞ donne ln(u)→+∞.

Modélisation — temps de doublement : pour une grandeur évoluant selon N(t)=N₀·qᵗ (croissance multiplicative de raison q>1) ou N₀·e^{kt}, le temps de doublement se trouve en résolvant 2=qᵗ, soit t=ln(2)/ln(q) (ou t=ln(2)/k). L'inconnue, placée en exposant, se libère grâce au logarithme.

Ouverture (hors-programme, culture scientifique) : les échelles logarithmiques usuelles — pH=−log₁₀([H₃O⁺]), magnitude sismique, niveau sonore en décibels — reposent sur le logarithme décimal log (lié à ln par log(x)=ln(x)/ln(10)). Le logarithme décimal n'est plus au programme de spécialité de terminale, qui ne traite que ln ; ce point est donné à titre de culture pour illustrer la « résolution de problème ». Idée à retenir : multiplier la grandeur par 10 ajoute une unité à l'échelle.

Méthode générale d'étude d'une fonction avec ln : (1) domaine via u>0 ; (2) limites aux bornes et asymptotes ; (3) dérivée u′/u et tableau de signes ; (4) tableau de variations ; (5) tracé et interprétation.

Le temps de doublement se calcule une fois pour toutes et se réutilise, quel que soit l'habillage de l'énoncé. Pour un modèle N(t) = N₀·q^t avec q > 1, doubler signifie q^t = 2, donc t·ln(q) = ln(2), donc t = ln(2)/ln(q). Pour un modèle continu N(t) = N₀·e^(kt) avec k > 0, la même manipulation donne t = ln(2)/k. Le résultat frappant, et qui fait souvent l'objet d'une question de commentaire, est que ce temps NE DÉPEND PAS de N₀ : une population double au bout du même temps qu'elle parte de cent ou de cent mille individus. Pour une décroissance (q < 1, ou k < 0), le même calcul avec 1/2 au lieu de 2 donne la demi-vie.

Vocabulaire

→ Cartes

temps de doublementDurée au bout de laquelle une grandeur à croissance multiplicative est multipliée par deux ; elle vaut ln(2)/ln(q) et ne dépend pas de la valeur initiale.
demi-vieDurée au bout de laquelle une grandeur décroissante est divisée par deux.
logarithme décimalFonction log = ln/ln(10), utilisée dans les échelles pH, décibels et magnitudes ; à ne pas confondre avec ln.

Dérivée d'une composée ln(u)

\big(\ln(u)\big)' = \dfrac{u'}{u} \quad \text{sur } \{x \mid u(x) > 0\}

Le signe de la dérivée se ramène à celui de u′ puisque u>0 ; les variations suivent celles de u.

Temps de doublement

N(t) = N_0\, e^{kt} = 2N_0 \iff e^{kt} = 2 \iff t = \dfrac{\ln 2}{k}

On isole l'exposant en appliquant ln : le temps de doublement ne dépend que du taux k, pas de la valeur initiale.

Logarithme décimal et échelle de pH (ouverture, hors-programme)

\log(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(10)} \qquad \text{pH} = -\log\big([\mathrm{H_3O^+}]\big)

Hors-programme de spécialité de terminale (seul ln est exigible) : donné en ouverture. Le logarithme décimal se déduit du népérien par division par ln(10) ; il fonde les échelles multiplicatives (pH, décibels, magnitudes).

Exemple corrigé

Temps de doublement d'une population modélisée par une exponentielle

Une culture de bactéries est modélisée par N(t) = 500·e^{0,12 t}, où t est exprimé en heures. Déterminer, à l'heure près, le temps au bout duquel la population a doublé.

Traduire « avoir doublé »
La population a doublé lorsque N(t)=2×500=1000. On résout donc 500·e^{0,12t}=1000, soit e^{0,12t}=2.
$500\,e^{0{,}12\,t} = 1000 \iff e^{0{,}12\,t} = 2$
Libérer l'exposant avec ln
On applique ln aux deux membres (qui sont strictement positifs) et on utilise ln(eˣ)=x : 0,12 t = ln(2).
$\ln\!\big(e^{0{,}12\,t}\big) = \ln(2) \iff 0{,}12\,t = \ln(2)$
Isoler t
On divise par 0,12 : t = ln(2)/0,12. Numériquement, ln(2)≈0,693, donc t ≈ 0,693/0,12 ≈ 5,78.
$t = \dfrac{\ln(2)}{0{,}12} \approx 5{,}78 \text{ h}$
Interpréter
Le temps de doublement vaut environ 5,78 heures, soit à peu près 5 h 47 min. Remarque : il ne dépend pas de la population initiale 500, seulement du taux 0,12.

Résultat : La population double au bout de t = ln(2)/0,12 ≈ 5,78 heures (≈ 5 h 47 min).

Objectif Bac

Objectif Bac : étudier complètement une fonction de la forme f(x)=ln(u(x)) — domaine, dérivée u′/u, variations, limites, asymptote verticale éventuelle.
Objectif Bac : résoudre un problème concret de croissance/décroissance exponentielle en isolant le temps avec ln (temps de doublement, demi-vie, seuil atteint).
Ouverture (hors-programme) : interpréter une échelle logarithmique (pH, décibels) et, le cas échéant, convertir entre logarithme décimal et logarithme népérien via log(x)=ln(x)/ln(10) — donné en culture, le log décimal n'étant pas exigible au Bac.
Établir t = ln(2)/ln(q) plutôt que de le citer, et commenter l'indépendance vis-à-vis de la valeur initiale — c'est le point que l'énoncé fait interpréter.
Contrôler l'ordre de grandeur d'un temps de doublement obtenu : une raison proche de 1 donne un temps long, une raison grande un temps court.

Erreurs fréquentes

Oublier de restreindre le domaine de ln(u) à {u>0} et étudier la fonction sur tout ℝ.
Pour résoudre qᵗ=2, diviser au lieu de prendre le logarithme : seul le passage à ln (ou log) libère l'exposant t.
Confondre le logarithme népérien ln (base e) et le logarithme décimal log (base 10) dans un problème d'échelle, sans conversion log(x)=ln(x)/ln(10) (le log décimal est hors-programme, mentionné ici en ouverture).
Écrire t = ln(2/q) au lieu de ln(2)/ln(q) : le logarithme ne se distribue pas sur un quotient de cette façon.
Interpréter un temps de doublement comme un temps de triplement en changeant le 2 en 3 dans la mauvaise position : le numérateur devient ln(3), le dénominateur ne bouge pas.

Révision active

Une population de bactéries suit N(t)=500·e^{0,12t} (t en heures). Déterminer le temps au bout duquel la population a doublé, puis triplé. Étudier ensuite la fonction g(x)=ln(x²+1) sur ℝ (domaine, dérivée, variations, limites).

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Points clés

Du logarithme à l'exponentiel et réciproquement

Points clés

Équation logarithmique avec contrôle du domaine

Points clés

Étude de f(x) = x − ln(x) sur ]0 ; +∞[

Points clés

Lever des indéterminations grâce aux croissances comparées

Points clés

Temps de doublement d'une population modélisée par une exponentielle

Sources

Fonction logarithme népérien

Points clés

Du logarithme à l'exponentiel et réciproquement

Points clés

Équation logarithmique avec contrôle du domaine

Points clés

Étude de f(x) = x − ln(x) sur ]0 ; +∞[

Points clés

Lever des indéterminations grâce aux croissances comparées

Points clés

Temps de doublement d'une population modélisée par une exponentielle

Sources