Dérivation et convexité

Rappels et compléments : dérivées usuelles et opérations#

~6 min de lectureBaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Derivation-et-convexite

Le nombre dérivé comme limite des taux d'accroissement

Fig. 1La sécante passant par M et M+h pivote vers la tangente (en couleur) lorsque h tend vers 0 : sa pente tend vers f′(a).

Nombre dérivé : f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement (f(a+h) − f(a)) / h admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé f′(a), qui est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.

Fonction dérivée : si f est dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout x de I associe f′(x) est la fonction dérivée f′. On retient les dérivées usuelles : (x^n)′ = n·x^(n−1), (1/x)′ = −1/x², (√x)′ = 1/(2√x), (e^x)′ = e^x, (ln x)′ = 1/x, (cos x)′ = −sin x, (sin x)′ = cos x.

Opérations sur les dérivées : (u + v)′ = u′ + v′ et (k·u)′ = k·u′ (linéarité) ; produit (uv)′ = u′v + uv′ ; quotient (u/v)′ = (u′v − uv′) / v² là où v ne s'annule pas.

Une fonction dérivable sur I est continue sur I, mais la réciproque est fausse (par exemple x ↦ |x| est continue mais non dérivable en 0). La dérivabilité se lit géométriquement comme l'existence d'une tangente non verticale.

Le taux d'accroissement mérite d'être lu avant d'être manipulé, parce que c'est lui qui donne son sens au nombre dérivé. Le quotient (f(a + h) − f(a)) / h est le coefficient directeur de la SÉCANTE passant par les points d'abscisses a et a + h : une pente moyenne sur un petit intervalle. Faire tendre h vers 0, c'est rapprocher indéfiniment le second point du premier ; si les pentes de ces sécantes se stabilisent autour d'une valeur finie, cette valeur est la pente limite, c'est-à-dire celle de la TANGENTE. D'où la formulation à retenir : le nombre dérivé est la limite des pentes des sécantes, et la tangente est la position limite des sécantes.

Une méthode de rédaction évite l'essentiel des erreurs de calcul sur les produits et les quotients, et coûte trois lignes. Écrire d'abord, séparément, u(x) puis v(x) ; en dessous, u′(x) puis v′(x) ; ensuite seulement appliquer la formule sans réfléchir, puis réduire au même dénominateur. Le désordre naît toujours de la tentative de tout faire d'un trait. Pour un quotient, une simplification s'impose presque toujours après coup : on factorise le numérateur, car c'est SON signe, et lui seul, qui décidera des variations — le dénominateur v² étant positif partout où il est défini.

La dérivabilité est plus forte que la continuité, et l'ordre de l'implication tombe régulièrement en question de cours. Dérivable en un point ⇒ continue en ce point ; la réciproque est fausse. Le contre-exemple canonique est x ↦ |x| en 0 : la fonction est continue (aucun saut), mais les taux d'accroissement valent +1 à droite et −1 à gauche, deux limites différentes, donc aucun nombre dérivé. Géométriquement, la courbe présente un point anguleux : il n'y a pas UNE tangente. Second cas de non-dérivabilité, à connaître aussi : x ↦ √x en 0, où le taux d'accroissement tend vers +∞ — la courbe admet là une tangente, mais VERTICALE, sans coefficient directeur.

Vocabulaire

→ Cartes

taux d'accroissementQuotient (f(a + h) − f(a)) / h ; coefficient directeur de la sécante joignant les points d'abscisses a et a + h.
nombre dérivéLimite finie du taux d'accroissement quand h tend vers 0 ; coefficient directeur de la tangente en a.
fonction dérivéeFonction qui à tout x d'un intervalle associe le nombre dérivé f′(x).
point anguleuxPoint où les taux d'accroissement à gauche et à droite admettent des limites finies différentes ; la fonction y est continue mais non dérivable.

Dérivée d'un produit

(uv)' = u'v + uv'

La dérivée d'un produit n'est jamais le produit des dérivées : on dérive l'un, on garde l'autre, puis on ajoute le terme symétrique.

Dérivée d'un quotient

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Valable là où v ne s'annule pas. Le numérateur commence par u′v (le numérateur dérivé fois le dénominateur) ; le dénominateur est v².

Dérivées usuelles

(x^n)' = n\,x^{n-1}, \quad \left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \dfrac{1}{x}

Tableau de référence à connaître par cœur : il sert de brique de base à tous les calculs de dérivées.

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Exemple corrigé

Dérivée d'un quotient

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (2x − 1) / (x² + 1). Calculer f′(x) et simplifier.

Identifier u et v
On pose u(x) = 2x − 1 et v(x) = x² + 1, dérivables sur ℝ. Alors u′(x) = 2 et v′(x) = 2x. Comme x² + 1 > 0, f est dérivable sur ℝ.
$u(x) = 2x - 1,\quad v(x) = x^2 + 1,\quad u'(x) = 2,\quad v'(x) = 2x$
Appliquer la formule du quotient
On reporte dans (u′v − uv′)/v² puis on développe le numérateur.
$f'(x) = \dfrac{2(x^2 + 1) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
Développer et réduire
Le numérateur vaut 2x² + 2 − (4x² − 2x) = −2x² + 2x + 2.
$f'(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2}$

Résultat : f′(x) = (−2x² + 2x + 2) / (x² + 1)². Le signe de f′ est celui du trinôme −2x² + 2x + 2 (le dénominateur est strictement positif), ce qui permettra d'étudier les variations.

Objectif Bac

Calculer sans erreur la dérivée d'un produit ou d'un quotient (par exemple f(x) = (2x + 1)/(x² + 1)) en posant clairement u, v, u′ et v′.
Reconnaître la forme d'une fonction (somme, produit, quotient) pour choisir la bonne règle, puis simplifier l'expression obtenue avant d'étudier son signe.
Poser u, v, u′ et v′ en colonne avant d'appliquer une formule de produit ou de quotient : la copie est lisible et l'erreur de signe disparaît.
Après le calcul d'une dérivée quotient, factoriser le numérateur : c'est son signe seul qui commande le tableau de variations, v² étant toujours positif.
Savoir citer les deux façons dont la dérivabilité peut échouer — point anguleux (x ↦ |x| en 0) et tangente verticale (x ↦ √x en 0) — et dire dans quel cas la fonction reste continue.

Erreurs fréquentes

Croire que la dérivée d'un produit est le produit des dérivées : (uv)′ n'est PAS u′v′. Il faut écrire u′v + uv′.
Oublier le carré au dénominateur du quotient ou inverser l'ordre au numérateur : la formule est (u′v − uv′) / v², avec u′v en premier.
Dériver un quotient dont le dénominateur est une constante avec la formule du quotient : (f(x)/5)′ vaut f′(x)/5, la linéarité suffit et va cinq fois plus vite.
Écrire « f est continue donc dérivable » : l'implication ne va que dans l'autre sens.
Oublier le domaine de dérivabilité : (√x)′ = 1/(2√x) n'est valable que sur ]0 ; +∞[, la fonction n'étant pas dérivable en 0.

Révision active

Soit f(x) = (3x − 2) / (x² + 1). Calculer f′(x) en utilisant la formule du quotient et préciser l'ensemble de dérivabilité.

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Dérivée d'une fonction composée et de x ↦ f(ax + b)#

~5 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Derivation-et-convexite

Schéma de la dérivation en chaîne

Fig. 2La règle de la composée : on enchaîne x → (ax + b) → f, et la dérivée multiplie les « vitesses » de chaque étape.

Dérivée d'une composée : si u est dérivable sur I et g est dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de u, alors g∘u est dérivable et (g∘u)′(x) = u′(x)·g′(u(x)). On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur » sans oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure.

Cas particulier exigible x ↦ f(ax + b) : sa dérivée est a·f′(ax + b). Le facteur a vient de la dérivée de la fonction interne x ↦ ax + b.

Conséquences usuelles : (e^(ax+b))′ = a·e^(ax+b), (ln(ax + b))′ = a/(ax + b) sur l'intervalle où ax + b > 0, (cos(ax + b))′ = −a·sin(ax + b), (sin(ax + b))′ = a·cos(ax + b).

Pour une puissance composée, (u^n)′ = n·u′·u^(n−1) ; pour une racine composée, (√u)′ = u′ / (2√u) là où u > 0 : ce sont des cas de (g∘u)′ = u′·g′(u).

La règle de la chaîne se retient comme une consigne d'ordre opératoire : dériver la couche EXTÉRIEURE en gardant l'intérieur intact, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur. Sur x ↦ e^(x²), la couche extérieure est l'exponentielle, dont la dérivée est elle-même : on écrit d'abord e^(x²), puis on multiplie par (x²)′ = 2x, d'où 2x·e^(x²). Le facteur oublié est presque toujours celui de l'intérieur, jamais celui de l'extérieur — c'est là qu'il faut porter l'attention. Un contrôle rapide sur un cas connu détecte l'oubli : si votre règle donne (e^(2x))′ = e^(2x), elle est fausse, puisque e^(2x) = (e^x)² se dérive en 2e^x·e^x = 2e^(2x).

Trois formes composées reviennent si souvent qu'il vaut mieux les reconnaître d'un coup d'œil que les redémontrer. La forme u′·e^u, dont une primitive est e^u — d'où l'intérêt de faire APPARAÎTRE u′ devant l'exponentielle. La forme u′/u, dérivée de ln|u|, qui transforme un quotient en logarithme dès que le numérateur est, à un facteur près, la dérivée du dénominateur. La forme u′·uⁿ, dérivée de u^(n+1)/(n + 1). Ces trois lectures servent d'abord à dériver, puis, lues à l'envers, à trouver des primitives : le chapitre suivant les réutilise telles quelles.

Vocabulaire

→ Cartes

fonction composéeFonction g∘u obtenue en appliquant u puis g ; sa dérivée vaut u′(x)·g′(u(x)).
règle de la chaîneFormule de dérivation d'une composée : dériver l'extérieur en gardant l'intérieur, puis multiplier par la dérivée de l'intérieur.
fonction intérieureFonction u appliquée en premier dans la composée ; c'est sa dérivée que l'on oublie le plus souvent.

Dérivée d'une fonction composée

(g \circ u)'(x) = u'(x)\,\cdot\, g'\big(u(x)\big)

On dérive la fonction extérieure g, évaluée en u(x), puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure u.

Dérivée de x ↦ f(ax + b)

\big(f(ax + b)\big)' = a\,f'(ax + b)

Cas exigible : le coefficient a, dérivée de la partie affine intérieure, apparaît en facteur.

Deux composées fréquentes

\left(e^{ax+b}\right)' = a\,e^{ax+b}, \qquad \big(\ln(ax+b)\big)' = \dfrac{a}{ax+b}

À connaître : l'exponentielle composée garde la même forme au facteur a près ; le logarithme composé donne a sur (ax + b), sur l'intervalle où ax + b > 0.

Exemple corrigé

Dérivée d'une exponentielle composée

Soit f définie sur ℝ par f(x) = (x + 2)·e^(−x). Calculer f′(x) et factoriser le résultat.

Reconnaître un produit
On a un produit u·v avec u(x) = x + 2 et v(x) = e^(−x). On dérivera v comme une composée e^(ax+b) avec a = −1.
$u(x) = x + 2,\quad v(x) = e^{-x},\quad u'(x) = 1,\quad v'(x) = -e^{-x}$
Appliquer la formule du produit
On écrit f′ = u′v + uv′.
$f'(x) = 1\cdot e^{-x} + (x + 2)\cdot(-e^{-x})$
Factoriser par e^(−x)
On met e^(−x) en facteur ; comme e^(−x) > 0, le signe de f′ est celui de (−x − 1).
$f'(x) = e^{-x}\big(1 - (x + 2)\big) = e^{-x}\,(-x - 1)$

Résultat : f′(x) = −(x + 1)·e^(−x). Comme e^(−x) > 0, f′(x) est du signe de −(x + 1) : f est croissante sur ]−∞ ; −1] puis décroissante sur [−1 ; +∞[, avec un maximum en x = −1.

Erreurs fréquentes

Oublier de multiplier par la dérivée de la fonction intérieure : (e^(−2x))′ vaut −2·e^(−2x), et non e^(−2x).
Confondre l'ordre dans la composée : dans (g∘u)′, on évalue g′ en u(x), pas en x, et on multiplie par u′(x).
Dériver ln(u) en 1/u : la dérivée est u′/u ; le facteur u′ est celui que le barème cherche.
Appliquer la règle de la composée à un produit : (x²·e^x)′ relève de la formule du produit, pas de la chaîne — la composition suppose une fonction DANS une autre.
Écrire (sin(2x))′ = cos(2x) : il manque le facteur 2, et la réponse correcte est 2cos(2x).

Révision active

Dériver chacune des fonctions suivantes : a) g(x) = e^(−0,5x + 1) ; b) h(x) = (x² − 4x)^3 ; c) k(x) = √(2x + 5) sur ]−5/2 ; +∞[.

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Dérivée et variations : tableau de variations, extremums et tangente#

~6 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Derivation-et-convexite

f(x) = x³ − 3x et sa tangente en 0

Fig. 3Maximum local en x = −1, minimum local en x = 1 ; la tangente en 0 a pour pente f′(0) = −3.

Théorème fondamental : sur un intervalle I, f est croissante si et seulement si f′ ≥ 0 sur I, et décroissante si et seulement si f′ ≤ 0 sur I. Si f′ > 0 (sauf éventuellement en des points isolés), f est strictement croissante.

Méthode du tableau de variations : déterminer f′, étudier son signe (souvent via un trinôme ou un produit/quotient de facteurs), puis reporter le signe de f′ et le sens de variation de f, en indiquant les valeurs des extremums.

Extremum local : si f′ s'annule en a EN CHANGEANT de signe, alors f admet un extremum local en a (maximum si f′ passe de + à −, minimum si f′ passe de − à +). Une dérivée qui s'annule sans changer de signe ne donne pas d'extremum.

Tangente en a : la courbe représentative de f admet au point d'abscisse a la tangente d'équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Son coefficient directeur est le nombre dérivé f′(a).

L'étude du signe de f′ est presque toujours l'étape qui coûte les points, et elle se mène par FACTORISATION, jamais par tâtonnement. Une fois f′ obtenue, on la met sous forme de produit ou de quotient de facteurs dont le signe est immédiat : un trinôme se factorise par ses racines, une exponentielle est toujours strictement positive et se met de côté d'un mot, un carré aussi. Puis on dresse un tableau de signes à une ligne par facteur, une ligne pour le produit. Écrire « e^x > 0 pour tout réel x, donc le signe de f′ est celui de … » fait gagner une ligne et sécurise tout le reste du tableau.

Le sens exact du théorème demande une attention que les énoncés sanctionnent. L'équivalence « f croissante sur I ⟺ f′ ≥ 0 sur I » porte sur un INTERVALLE : elle est fausse sur une réunion d'intervalles. La fonction inverse x ↦ 1/x a pour dérivée −1/x² < 0 partout où elle est définie, et pourtant elle n'est pas décroissante sur ℝ* : elle l'est sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[ séparément, comme le montre le fait que 1/(−1) = −1 est inférieur à 1/1 = 1. On conclut donc toujours intervalle par intervalle, et on ne relie jamais deux branches d'un tableau par une seule flèche.

Vocabulaire

→ Cartes

tableau de variationsTableau donnant le signe de f′ et le sens de variation de f, avec les valeurs des extremums.
extremum localValeur maximale ou minimale prise par f au voisinage d'un point, obtenue quand f′ s'annule en changeant de signe.
tangenteDroite d'équation y = f′(a)(x − a) + f(a), position limite des sécantes en a.

Équation de la tangente en a

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Droite de coefficient directeur f′(a) passant par le point (a ; f(a)) de la courbe.

Signe de f′ et variations

f \text{ croissante sur } I \iff f' \ge 0 \text{ sur } I, \qquad f \text{ décroissante sur } I \iff f' \le 0 \text{ sur } I

Le sens de variation de f sur un intervalle se lit entièrement sur le signe de sa dérivée.

Exemple corrigé

Tableau de variations et tangente

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x. 1) Calculer f′(x) et étudier son signe. 2) Dresser le tableau de variations et donner les extremums. 3) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

Calculer la dérivée
f est un polynôme, dérivable sur ℝ. On dérive terme à terme.
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$
Étudier le signe de f′
Le trinôme 3(x − 1)(x + 1) s'annule en −1 et 1, est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc f′ > 0 sur ]−∞ ; −1[, f′ < 0 sur ]−1 ; 1[ et f′ > 0 sur ]1 ; +∞[.
$f'(x) > 0 \text{ sur } ]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[, \quad f'(x) < 0 \text{ sur } ]-1;1[$
Conclure les variations et les extremums
f croît, décroît puis croît. En x = −1, f′ passe de + à − : maximum local f(−1) = −1 + 3 = 2. En x = 1, f′ passe de − à + : minimum local f(1) = 1 − 3 = −2.
$f(-1) = 2 \;(\text{max local}), \qquad f(1) = -2 \;(\text{min local})$
Équation de la tangente en 0
On calcule f(0) = 0 et f′(0) = 3·0² − 3 = −3, puis on applique la formule de la tangente.
$y = f'(0)(x - 0) + f(0) = -3x$

Résultat : f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[, avec un maximum local 2 en −1 et un minimum local −2 en 1. La tangente à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation y = −3x.

Erreurs fréquentes

Conclure à un extremum dès que f′(a) = 0, sans vérifier le CHANGEMENT de signe : par exemple x ↦ x³ a f′(0) = 0 mais aucun extremum en 0.
Se tromper de signe dans l'équation de la tangente : c'est y = f′(a)(x − a) + f(a), avec (x − a) et non (x + a).
Relier par une seule flèche deux branches séparées par une valeur interdite dans un tableau de variations : la double barre coupe le tableau.
Confondre extremum LOCAL et extremum GLOBAL : un maximum local n'est le maximum de la fonction que si le tableau complet le confirme.

Révision active

Soit f(x) = x³ − 3x sur ℝ. Calculer f′, dresser le tableau de variations, préciser les extremums, puis donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Dérivée seconde, convexité et concavité#

~7 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Derivation-et-convexite

Convexité : la courbe au-dessus de sa tangente

Fig. 4f(x) = x² est convexe (f″ = 2 > 0) : la tangente en x = 1 reste sous la courbe en tout point.

Dérivée seconde : lorsque f′ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde, notée f″. Elle mesure la variation de la pente f′, donc la façon dont la courbe se « courbe ».

Définition géométrique de la convexité : f est convexe sur un intervalle I lorsque sa courbe est entièrement située AU-DESSUS de chacune de ses tangentes sur I (et en dessous de chacune de ses cordes). Elle est concave lorsque sa courbe est en dessous de ses tangentes (au-dessus de ses cordes).

Caractérisation par f″ : sur un intervalle I, f est convexe si et seulement si f″ ≥ 0 sur I, et concave si et seulement si f″ ≤ 0 sur I. De façon équivalente, f est convexe lorsque f′ est croissante (la pente augmente) et concave lorsque f′ est décroissante.

Fonctions de référence : x ↦ x² et x ↦ e^x sont convexes sur ℝ (f″ = 2 > 0 et f″ = e^x > 0) ; x ↦ √x et x ↦ ln x sont concaves sur ]0 ; +∞[ (f″ < 0).

Trois lectures de la convexité disent la même chose, et savoir passer de l'une à l'autre permet de répondre quel que soit l'angle de la question. LECTURE PAR f″ : f est convexe sur I si et seulement si f″ ≥ 0 sur I. LECTURE PAR f′ : f est convexe si et seulement si f′ est croissante — la pente augmente à mesure qu'on avance, la courbe « se redresse ». LECTURE GÉOMÉTRIQUE : la courbe reste au-dessus de chacune de ses tangentes et en dessous de chacune de ses cordes. Un énoncé qui fournit la courbe de f′ appelle la deuxième lecture ; un énoncé qui demande de comparer la courbe à une droite appelle la troisième ; un calcul appelle la première.

Variation et courbure sont deux informations INDÉPENDANTES, et les quatre combinaisons existent — ce que les copies confondent le plus souvent. Croissante et convexe : x ↦ e^x, la montée s'accélère. Croissante et concave : x ↦ √x sur ]0 ; +∞[, la montée s'essouffle. Décroissante et convexe : x ↦ 1/x sur ]0 ; +∞[, la descente ralentit. Décroissante et concave : x ↦ −x² sur ]0 ; +∞[, la descente s'accélère. Retenez la formulation en termes de rythme : f′ dit dans quel SENS on va, f″ dit si l'on ACCÉLÈRE ou si l'on ralentit.

Vocabulaire

→ Cartes

dérivée secondeDérivée de la fonction dérivée, notée f″ ; son signe donne la convexité.
convexeSe dit d'une fonction dont la courbe reste au-dessus de chacune de ses tangentes ; équivaut à f″ ≥ 0 sur l'intervalle.
concaveSe dit d'une fonction dont la courbe reste en dessous de chacune de ses tangentes ; équivaut à f″ ≤ 0.
cordeSegment joignant deux points de la courbe ; une fonction convexe reste en dessous de ses cordes.

Convexité et signe de f″

f \text{ convexe sur } I \iff f'' \ge 0 \text{ sur } I, \qquad f \text{ concave sur } I \iff f'' \le 0 \text{ sur } I

Critère central : on calcule f″ et on lit la convexité directement sur son signe.

Lecture par la dérivée première

f \text{ convexe} \iff f' \text{ croissante}, \qquad f \text{ concave} \iff f' \text{ décroissante}

La convexité revient à dire que la pente de la courbe augmente le long de l'intervalle.

Une fonction concave : x ↦ ln x

Fig. 5f(x) = ln x est concave sur ]0 ; +∞[ (f″ = −1/x² < 0) : la courbe reste sous chacune de ses tangentes.

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Exemple corrigé

Démonstration exigible : une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes

Soit f deux fois dérivable sur un intervalle I, telle que f″ ≥ 0 sur I (f est convexe). Soit a un point de I et T la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. Démontrer que, pour tout x de I, la courbe de f est au-dessus de T, c'est-à-dire f(x) ≥ f′(a)(x − a) + f(a).

Introduire l'écart à la tangente
L'équation de T est y = f′(a)(x − a) + f(a). On étudie le signe de la fonction d définie sur I par d(x) = f(x) − [f′(a)(x − a) + f(a)], qui mesure l'écart vertical entre la courbe et sa tangente. Montrer que la courbe est au-dessus de T revient à montrer que d(x) ≥ 0 sur I.
$d(x) = f(x) - \big[f'(a)(x - a) + f(a)\big]$
Dériver d
La fonction d est dérivable sur I comme différence de fonctions dérivables. En dérivant par rapport à x (a est fixé), le terme f(a) disparaît et la dérivée de f′(a)(x − a) vaut f′(a).
$d'(x) = f'(x) - f'(a)$
Utiliser la convexité : f′ est croissante
Comme f″ ≥ 0 sur I, la dérivée f′ est croissante sur I. Donc : pour x ≥ a, f′(x) ≥ f′(a), d'où d′(x) ≥ 0 ; pour x ≤ a, f′(x) ≤ f′(a), d'où d′(x) ≤ 0. La fonction d est donc décroissante sur la partie de I à gauche de a et croissante à droite de a.
$d'(x) \le 0 \text{ pour } x \le a, \qquad d'(x) \ge 0 \text{ pour } x \ge a$
Conclure par le minimum en a
D'après ses variations, d admet un minimum sur I au point a. Or d(a) = f(a) − [f′(a)·0 + f(a)] = 0. Donc d(x) ≥ d(a) = 0 pour tout x de I : la courbe de f est au-dessus de sa tangente T.
$\forall x \in I, \quad d(x) \ge d(a) = 0 \;\Longrightarrow\; f(x) \ge f'(a)(x - a) + f(a)$

Résultat : L'écart d(x) = f(x) − [f′(a)(x − a) + f(a)] a pour dérivée d′(x) = f′(x) − f′(a). La convexité (f″ ≥ 0) rend f′ croissante, donc d′ est négative avant a et positive après a : d atteint son minimum en a, où d(a) = 0. Ainsi d(x) ≥ 0 sur I, ce qui prouve que la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de chacune de ses tangentes. (En remplaçant les inégalités par l'inégalité stricte, une fonction concave, pour laquelle f″ ≤ 0, est de même en dessous de ses tangentes.)

Exemple corrigé

Étude de la convexité

Soit f définie sur ℝ par f(x) = x³ − 3x. Déterminer les intervalles de convexité et de concavité de f.

Calculer f′ puis f″
On dérive deux fois le polynôme.
$f'(x) = 3x^2 - 3, \qquad f''(x) = 6x$
Étudier le signe de f″
6x est négatif pour x < 0 et positif pour x > 0.
$f''(x) < 0 \text{ sur } ]-\infty;0[, \qquad f''(x) > 0 \text{ sur } ]0;+\infty[$
Conclure
Là où f″ ≤ 0 la fonction est concave, là où f″ ≥ 0 elle est convexe.
$f \text{ concave sur } ]-\infty;0], \qquad f \text{ convexe sur } [0;+\infty[$

Résultat : f est concave sur ]−∞ ; 0] et convexe sur [0 ; +∞[. Sur [0 ; +∞[ la courbe est donc au-dessus de chacune de ses tangentes ; sur ]−∞ ; 0] elle est en dessous. Le changement de convexité a lieu en x = 0.

Erreurs fréquentes

Confondre les variations et la convexité : le signe de f′ donne le SENS DE VARIATION, le signe de f″ donne la CONVEXITÉ. Une fonction peut être croissante et concave (par exemple x ↦ √x).
Croire que « convexe » signifie « croissante » : la convexité décrit la courbure (f″ ≥ 0), pas le sens de variation.
Lire un tableau de signes de f″ comme un tableau de variations de f : les flèches d'un tableau de convexité décrivent la courbure, pas la montée ou la descente.
Croire qu'une fonction convexe est positive : x ↦ x² − 4 est convexe et prend des valeurs négatives ; la convexité ne dit rien du signe de f.

Révision active

Soit f(x) = x³ − 3x. Calculer f″(x), déterminer les intervalles de convexité et de concavité de f, puis préciser sur lequel la courbe est au-dessus de ses tangentes.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Points d'inflexion, position courbe / tangentes et inégalités#

~6 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Derivation-et-convexite

Point d'inflexion de x ↦ x³

Fig. 6f(x) = x³ : f″(x) = 6x s'annule en changeant de signe en 0 ; la courbe traverse sa tangente (l'axe des abscisses) en ce point d'inflexion.

Point d'inflexion : un point de la courbe en lequel la fonction change de convexité (passage de concave à convexe ou inversement). En un tel point, la courbe traverse sa tangente.

Caractérisation par f″ : si f″ s'annule EN CHANGEANT de signe en a, alors le point d'abscisse a est un point d'inflexion. Attention : f″(a) = 0 ne suffit pas — il faut le changement de signe (par exemple pour x ↦ x⁴, f″(0) = 0 mais il n'y a pas d'inflexion).

Position courbe / tangente : sur un intervalle où f est convexe, la courbe est au-dessus de chaque tangente ; où f est concave, elle est en dessous. Pour comparer C et une tangente T au point a, on étudie le signe de d(x) = f(x) − [f′(a)(x − a) + f(a)].

Inégalités de convexité : f convexe ⇒ la courbe est au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes. En appliquant cela à x ↦ e^x (convexe) avec la tangente en 0, on obtient l'inégalité classique e^x ≥ 1 + x pour tout réel x.

Démontrer une inégalité par la convexité suit un plan invariable, qui vaut pour toutes celles que le bac demande. On identifie la fonction f et le point a où l'on prendra la tangente — presque toujours celui où l'inégalité devient une égalité. On établit la convexité (ou la concavité) de f sur l'intervalle par le signe de f″. On écrit l'équation de la tangente en a. On conclut par la propriété : une fonction convexe reste au-dessus de ses tangentes, une fonction concave reste en dessous. Sur e^x ≥ 1 + x, on prend f(x) = e^x et a = 0 : f″ = e^x > 0 donc f est convexe sur ℝ, sa tangente en 0 a pour équation y = x + 1, et la courbe est au-dessus. Sur ln(1 + x) ≤ x, on prend le logarithme, concave, avec la même tangente en 0.

Le passage par les CORDES sert dans les questions qui comparent une fonction à une droite passant par deux points de la courbe, et non par un seul. Sur un intervalle où f est convexe, pour tous réels u et v de cet intervalle, la corde joignant (u ; f(u)) à (v ; f(v)) reste au-dessus de la courbe : entre u et v, f est en dessous du segment. C'est la lecture qui justifie qu'une moyenne d'images est supérieure à l'image de la moyenne pour une fonction convexe — l'énoncé le fait souvent établir sur un cas particulier, sans nommer le résultat.

Vocabulaire

→ Cartes

point d'inflexionPoint où la fonction change de convexité ; la courbe y traverse sa tangente et f″ s'y annule en changeant de signe.
inégalité de convexitéInégalité obtenue en comparant une courbe convexe ou concave à l'une de ses tangentes ou de ses cordes.
point d’inflexionPoint où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la dérivée seconde s'annule EN CHANGEANT de signe.
tangenteDroite d'équation y = f′(a)(x − a) + f(a), qui approche la courbe au voisinage du point d'abscisse a.

Caractérisation d'un point d'inflexion

a \text{ point d'inflexion} \iff f'' \text{ s'annule en } a \text{ en changeant de signe}

La courbe change de convexité : la condition f″(a) = 0 est nécessaire mais doit s'accompagner d'un changement de signe de f″.

Inégalité de convexité

\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^{x} \ge 1 + x

Conséquence directe de la convexité de l'exponentielle : la courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = 1 + x.

L'inégalité e^x ≥ 1 + x

Fig. 7La courbe de l'exponentielle (convexe) reste au-dessus de sa tangente en 0, d'équation y = 1 + x : on lit e^x ≥ 1 + x.

Exemple corrigé

Démontrer une inégalité par convexité

On admet que la fonction exponentielle est convexe sur ℝ. 1) Déterminer l'équation de la tangente T à sa courbe au point d'abscisse 0. 2) En déduire que pour tout réel x, e^x ≥ 1 + x. 3) Retrouver le résultat en étudiant les variations de g(x) = e^x − 1 − x.

Équation de la tangente en 0
Pour f(x) = e^x, on a f(0) = 1 et f′(0) = e^0 = 1. La tangente en 0 a donc pour équation y = f′(0)(x − 0) + f(0).
$T : \; y = 1\cdot(x - 0) + 1 = 1 + x$
Utiliser la convexité
Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de chacune de ses tangentes. Comme l'exponentielle est convexe, sa courbe est au-dessus de T.
$\forall x \in \mathbb{R}, \quad e^x \ge 1 + x$
Vérifier par une étude de fonction
Posons g(x) = e^x − 1 − x. Alors g′(x) = e^x − 1, négative pour x < 0 et positive pour x > 0 : g admet un minimum en 0, égal à g(0) = 0. Donc g(x) ≥ 0 partout.
$g'(x) = e^x - 1, \quad g(0) = 0 = \min g \;\Rightarrow\; g(x) \ge 0$

Résultat : La tangente à la courbe de l'exponentielle en 0 est y = 1 + x ; la convexité place la courbe au-dessus de cette tangente, d'où e^x ≥ 1 + x pour tout réel x. L'étude de g(x) = e^x − 1 − x, de minimum nul en 0, confirme l'inégalité.

Explication pas à pas4 étapes

1
On part de la fonction exponentielle, dont on admet la convexité sur ℝ. L'objectif est d'encadrer la courbe par une droite simple.
$f(x) = e^x \quad (\text{convexe sur } \mathbb{R})$
2
On calcule la tangente au point d'abscisse 0 : la valeur f(0) = 1 et la pente f′(0) = 1 donnent l'équation y = 1 + x.
$T : y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 1 + x$
3
Comme une fonction convexe reste au-dessus de ses tangentes, la courbe de l'exponentielle est au-dessus de la droite y = 1 + x. On le visualise nettement sur le graphique.
e^x au-dessus de sa tangente
4
On conclut : pour tout réel x, e^x est supérieur ou égal à 1 + x, avec égalité seulement en x = 0. C'est une inégalité de convexité de référence.
$\forall x \in \mathbb{R}, \; e^x \ge 1 + x \;\; (\text{égalité si } x = 0)$

Erreurs fréquentes

Affirmer un point d'inflexion dès que f″ s'annule, sans contrôler le changement de signe (cas de x ↦ x⁴ en 0).
Confondre point d'inflexion (changement de COURBURE, lié à f″) et extremum (changement de VARIATION, lié à f′).
Écrire l'inégalité dans le mauvais sens pour une fonction concave : concave signifie EN DESSOUS de la tangente, donc ln(1 + x) ≤ x et non l'inverse.
Chercher un point d'inflexion là où f′ s'annule : f′ commande les extremums, f″ commande l'inflexion.

Révision active

On admet que la fonction exponentielle est convexe sur ℝ. En utilisant la tangente à sa courbe au point d'abscisse 0, démontrer que pour tout réel x, e^x ≥ 1 + x.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Points clés

Dérivée d'un quotient

Points clés

Dérivée d'une exponentielle composée

Points clés

Tableau de variations et tangente

Points clés

Démonstration exigible : une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes

Étude de la convexité

Points clés

Démontrer une inégalité par convexité

Sources