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Limites des fonctions

Étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable tend vers l'infini ou vers un réel, repérer les asymptotes horizontales et verticales, calculer les limites par opérations, comparaison et croissances comparées. Ce thème fonde toute l'analyse de terminale : étude de fonctions, intégrales et continuité s'appuient sur la maîtrise des limites et la levée des formes indéterminées.

5 sections~30 min de lecture4 compétencesVérifié · 08/2026

T·0222 / 14

Profil d’examen

Déterminer la limite d'une fonction en un point ou à l'infini par lecture graphique, par opérations ou par comparaisonLever une forme indéterminée par factorisation, terme prépondérant, quantité conjuguée ou croissances comparéesInterpréter graphiquement une limite en termes d'asymptote horizontale ou verticaleÉtudier la limite d'une fonction composée et utiliser les croissances comparées exponentielle / puissances / logarithme

Opérateurs :déterminercalculerdémontrerinterpréterjustifierétudierencadrer

niveau de base

Hors spécialité (mathématiques complémentaires), on retient surtout la lecture graphique des limites et des asymptotes ainsi que les croissances comparées usuelles, sans toujours rédiger les démonstrations formelles.

niveau approfondi

En spécialité, on attend une rédaction rigoureuse : justification du type de forme indéterminée, choix explicite de la méthode (factorisation, conjuguée, croissances comparées), et encadrement complet pour appliquer le théorème des gendarmes.

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Limites des fonctions

5 sections25 points clés12 formules25 pièges signalés

Limites en l'infini et asymptotes horizontales#

~6 min de lectureBaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Courbe et asymptote horizontale y = L

Fig. 1À l'infini, la courbe se « colle » à la droite horizontale y = L : c'est l'asymptote horizontale.

Limite finie en +∞ : on écrit

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L

lorsque

f(x)

devient aussi proche que l'on veut de

L

dès que

x

est assez grand. On définit de même la limite en

-\infty

. Interprétation : la courbe « se colle » à la droite horizontale d'équation

y = L

Limite infinie en +∞ :

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

signifie que

f(x)

dépasse tout réel

M

fixé dès que

x

est assez grand ; la fonction « explose » vers le haut. On a de même

\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

Limites de référence en +∞ :

\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty

pour tout entier

n \geqslant 1

\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty

\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0

\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty

\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty

. En

-\infty

\lim_{x \to -\infty} e^x = 0

\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty

n

est pair,

-\infty

n

est impair.

Asymptote horizontale : si

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L

(ou en

-\infty

), la droite d'équation

y = L

est asymptote horizontale à la courbe représentative de

f

au voisinage de

+\infty

(resp.

-\infty

). Une même courbe peut admettre deux asymptotes horizontales différentes, une en

+\infty

et une en

-\infty

Pour un polynôme, la limite en

\pm\infty

est celle de son terme de plus haut degré (le terme prépondérant) ; les autres termes sont négligeables devant lui à l'infini.

Le programme fixe lui-même le niveau d'exigence, et le connaître évite de travailler dans le vide : « on explicite les définitions mais la maîtrise complète du formalisme n'est pas un attendu ». On n'attend donc de vous ni quantificateurs ni définition en ε, mais une pratique sûre des aspects opératoires — savoir DÉTERMINER une limite et savoir l'INTERPRÉTER. Deux conséquences pour la copie. D'abord, une limite ne se justifie jamais par « on voit que » : elle se justifie en nommant le résultat mobilisé, limite usuelle, opération, croissance comparée ou encadrement. Ensuite, la seule notion d'asymptote inscrite aux capacités attendues est celle d'asymptote PARALLÈLE À UN AXE de coordonnées ; les asymptotes obliques et les branches infinies figurent parmi les approfondissements possibles, jamais parmi les attendus. Une fonction de limite infinie n'a donc pas d'asymptote horizontale, et l'on s'arrête là.

La conclusion « asymptote » se rédige en trois temps, toujours les mêmes : la limite, calculée et justifiée ; la droite, donnée par son ÉQUATION y = L ; le voisinage, en +∞ ou en −∞. Le troisième temps est celui que l'on oublie, alors qu'il porte la moitié du sens : une même courbe peut suivre deux droites horizontales différentes à ses deux extrémités. Pour une fonction rationnelle, un contrôle rapide valide le résultat avant même de le rédiger — on compare le degré du numérateur à celui du dénominateur. Numérateur de degré strictement inférieur : la limite vaut 0 et l'asymptote est l'axe des abscisses. Degrés égaux : la limite vaut le rapport des coefficients dominants. Numérateur de degré supérieur : la limite est infinie et il n'y a pas d'asymptote horizontale. Ce contrôle ne remplace pas la factorisation par le terme prépondérant, qui reste la rédaction attendue ; il repère une erreur de calcul en deux secondes.

Vocabulaire

→ Cartes

asymptote horizontaleDroite d'équation y = L dont la courbe se rapproche indéfiniment lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞.
voisinage de +∞Ensemble des valeurs de x supérieures à un seuil, aussi grand que nécessaire ; c'est là que se lit un comportement « à l'infini ».
limite usuelleLimite de référence des fonctions puissance, racine, exponentielle et logarithme, admise et directement citable.
terme prépondérantTerme d'une somme qui impose son comportement à l'infini et par lequel on factorise pour lever l'indétermination.

Asymptote horizontale

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \;\Longrightarrow\; \text{la droite } y = L \text{ est asymptote horizontale en } +\infty

Une limite finie $L$ à l'infini se traduit graphiquement par une droite horizontale dont la courbe se rapproche indéfiniment.

Limites de référence

\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^n} = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0

Limites usuelles à connaître par cœur : l'inverse d'une puissance tend vers 0, l'exponentielle tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et vers 0 en $-\infty$ .

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Exemple corrigé

Limite à l'infini d'une fonction rationnelle et asymptote horizontale

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \dfrac{2x^2 + x - 5}{x^2 + 3}$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ , puis en déduire l'asymptote horizontale de la courbe $\mathcal{C}_f$ .

Identifier la forme indéterminée
Le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur aussi en $+\infty$ : on obtient la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ . On factorise donc par le terme de plus haut degré.
$\frac{2x^2 + x - 5}{x^2 + 3} \;:\; \text{forme } \tfrac{\infty}{\infty}$
Factoriser par x²
On met $x^2$ en facteur au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie.
$f(x) = \frac{x^2\left(2 + \frac{1}{x} - \frac{5}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{3}{x^2}\right)} = \frac{2 + \frac{1}{x} - \frac{5}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}}$
Passer à la limite
Quand $x \to +\infty$ , chaque terme en $\frac{1}{x}$ ou $\frac{1}{x^2}$ tend vers 0. Le même calcul vaut en $-\infty$ .
$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{2 + 0 - 0}{1 + 0} = 2$
Conclure sur l'asymptote
Les deux limites valent 2 : la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
$y = 2 \text{ est asymptote horizontale en } +\infty \text{ et } -\infty$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ ; la droite $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Objectif Bac

Objectif Bac : déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ puis EN DÉDUIRE et NOMMER l'éventuelle asymptote horizontale ( $y = L$ ), en précisant le voisinage concerné.
Objectif Bac : lire une limite à l'infini sur une courbe ou un tableau de variations fourni, et justifier le comportement asymptotique demandé dans une question d'étude de fonction.
Justifier chaque limite en NOMMANT le résultat utilisé — limite usuelle, opération, croissance comparée, encadrement : le programme évalue la pratique opératoire, pas le formalisme.
Contrôler une limite de fonction rationnelle par la comparaison des degrés, puis la rédiger par la factorisation du terme prépondérant.
Traiter +∞ et −∞ comme deux questions distinctes : puissances impaires, racines et exponentielle ne se comportent pas de la même façon aux deux bouts.

Erreurs fréquentes

Confondre « la courbe a une asymptote $y = L$ » et « la courbe ne coupe jamais $y = L$ » : une courbe peut traverser son asymptote horizontale plusieurs fois ; l'asymptote décrit seulement le comportement à l'infini.
Annoncer une asymptote horizontale alors que la limite est infinie : si $\lim f = +\infty$ , il n'y a PAS d'asymptote horizontale (mais éventuellement une branche infinie).
Conclure « asymptote y = L » sans nommer le voisinage : l'énoncé attend « en +∞ » ou « en −∞ », et une courbe peut posséder deux asymptotes horizontales distinctes.
Chercher une asymptote oblique ou une branche parabolique : ces notions ne figurent pas dans les capacités attendues de terminale ; quand la limite est infinie, on écrit qu'il n'y a pas d'asymptote horizontale, et rien de plus.
Transposer une limite de +∞ vers −∞ sans la recalculer : exp tend vers +∞ en +∞ mais vers 0 en −∞, et x³ change de signe.

Révision active

Soit $f(x) = \dfrac{3x^2 - 1}{x^2 + 2}$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ , puis en déduire l'existence et l'équation d'une asymptote horizontale.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Limites en un réel, limites à gauche et à droite, asymptotes verticales#

~6 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Asymptote verticale x = a avec limites latérales distinctes

Fig. 2Pour f(x) = (x + 2)/(x − 1), près de x = 1 le dénominateur s'annule : la limite à droite vaut +∞, la limite à gauche vaut −∞. La droite x = 1 est asymptote verticale ; y = 1 est asymptote horizontale.

Limite finie en un réel

a

\lim_{x \to a} f(x) = L

signifie que

f(x)

se rapproche de

L

lorsque

x

se rapproche de

a

. Si

f

est continue en

a

, alors

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

: c'est le cas usuel sans difficulté.

Limite infinie en un réel

a

\lim_{x \to a} f(x) = +\infty

(ou

-\infty

) lorsque

f(x)

devient arbitrairement grand au voisinage de

a

. Cela se produit typiquement quand le dénominateur d'un quotient s'annule en

a

sans que le numérateur s'annule.

Limites à gauche et à droite : on note

\lim_{x \to a^-} f(x)

(valeurs

x < a

) et

\lim_{x \to a^+} f(x)

(valeurs

x > a

). La limite

\lim_{x \to a} f(x)

existe si et seulement si les deux limites latérales existent et sont égales. Lorsqu'un dénominateur change de signe en traversant

a

, les deux limites latérales sont souvent

+\infty

-\infty

Asymptote verticale : si

\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty

(limite à gauche, à droite, ou les deux), la droite d'équation

x = a

est asymptote verticale à la courbe représentative de

f

. La valeur

a

est en général une valeur interdite (zéro du dénominateur, borne du domaine).

Étude du signe du dénominateur près de

a

: pour trouver le signe de l'infini, on étudie le signe du quotient à gauche et à droite de

a

à l'aide d'un tableau de signes ; le signe du numérateur (non nul en

a

) et celui du dénominateur déterminent

+\infty

-\infty

Les notations 0⁺ et 0⁻ ne désignent aucun nombre : elles décrivent la MANIÈRE dont une quantité tend vers zéro, par valeurs strictement positives ou strictement négatives. C'est cette manière, et elle seule, qui décide du signe de l'infini. La procédure tient en trois gestes, dans cet ordre. Un : calculer la limite du numérateur en a ; si elle est non nulle, son signe au voisinage de a est acquis. Deux : déterminer le signe du dénominateur à gauche puis à droite de a, au besoin par un tableau de signes de ses facteurs. Trois : appliquer la règle des signes du quotient, séparément de chaque côté. Sur f(x) = (x + 2)/(x − 1) près de 1 : le numérateur tend vers 3, strictement positif ; à gauche x − 1 est négatif, donc le quotient tend vers −∞ ; à droite x − 1 est positif, donc il tend vers +∞. Deux calculs, deux réponses, une seule asymptote.

Toute valeur interdite ne produit pas une asymptote verticale, et le sujet compte sur cette confusion. Si le numérateur s'annule LUI AUSSI en a, le quotient y présente une forme indéterminée 0/0 : il faut factoriser numérateur et dénominateur par (x − a), simplifier, et seulement ensuite passer à la limite. Le résultat est alors le plus souvent fini. Prenez (x² − 4)/(x − 2) en 2 : la simplification donne x + 2, dont la limite vaut 4. La droite x = 2 n'est pas asymptote ; la courbe présente un simple trou, que l'on peut boucher en posant f(2) = 4 — c'est un prolongement par continuité. Le réflexe à installer tient en une ligne : devant un dénominateur qui s'annule, TESTER d'abord le numérateur en cette valeur.

Vocabulaire

→ Cartes

valeur interditeRéel exclu du domaine de définition, en général parce qu'il annule un dénominateur ou sort du domaine d'une racine ou d'un logarithme.
limite à gaucheLimite obtenue en ne faisant approcher a que par des valeurs strictement inférieures à a, notée x → a⁻.
asymptote verticaleDroite d'équation x = a associée à une limite infinie en a, d'un côté au moins.
prolongement par continuitéAttribution à f de la valeur de sa limite finie en un point où elle n'était pas définie, ce qui rend la fonction continue en ce point.

Asymptote verticale

\lim_{x \to a} f(x) = +\infty \;\text{ ou }\; -\infty \;\Longrightarrow\; \text{la droite } x = a \text{ est asymptote verticale}

Une limite infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale d'équation $x = a$ : la courbe « monte » ou « descend » sans fin de part et d'autre de $a$ .

Limite et limites latérales

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

La limite en $a$ existe si et seulement si les deux limites latérales existent et coïncident.

Exemple corrigé

Limites latérales en une valeur interdite et asymptote verticale

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \dfrac{3}{x - 2}$ . Déterminer $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ , puis interpréter graphiquement.

Étudier le comportement du dénominateur à droite
Pour $x > 2$ , on a $x - 2 > 0$ et $x - 2 \to 0^+$ lorsque $x \to 2^+$ . Le numérateur 3 est positif constant.
$x \to 2^+ \;\Rightarrow\; x - 2 \to 0^+ \;\Rightarrow\; \frac{3}{x-2} \to +\infty$
Étudier le comportement du dénominateur à gauche
Pour $x < 2$ , on a $x - 2 < 0$ et $x - 2 \to 0^-$ lorsque $x \to 2^-$ . Le quotient d'un nombre positif par un nombre négatif proche de 0 tend vers $-\infty$ .
$x \to 2^- \;\Rightarrow\; x - 2 \to 0^- \;\Rightarrow\; \frac{3}{x-2} \to -\infty$
Comparer les limites latérales
Les deux limites latérales sont infinies de signes opposés : $\lim_{x \to 2} f(x)$ n'existe pas, mais la limite est infinie de chaque côté.
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty \neq +\infty = \lim_{x \to 2^+} f(x)$
Interpréter graphiquement
Une limite infinie en $x = 2$ traduit une asymptote verticale d'équation $x = 2$ .
$x = 2 \text{ est asymptote verticale à } \mathcal{C}_f$

Résultat : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ ; la droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale à la courbe.

Erreurs fréquentes

Oublier d'étudier séparément la limite à gauche et à droite : écrire « $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ » alors que le dénominateur change de signe, donnant en réalité $+\infty$ d'un côté et $-\infty$ de l'autre.
Conclure $\frac{1}{0} = \infty$ sans déterminer le SIGNE : il faut préciser le signe du dénominateur (qui tend vers $0^+$ ou $0^-$ ) pour conclure correctement à $+\infty$ ou $-\infty$ .
Annoncer une asymptote verticale à chaque zéro du dénominateur sans regarder le numérateur : en 2, (x² − 4)/(x − 2) tend vers 4, pas vers l'infini.
Écrire « lim f(x) = +∞ en a » alors que les deux limites latérales diffèrent : dans ce cas la limite en a N'EXISTE PAS, et la copie doit l'écrire.
Manipuler 0⁺ et 0⁻ comme des nombres : ce sont des conventions d'écriture pour un comportement, qui doivent s'accompagner d'une justification de signe.

Révision active

Soit $f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ . Déterminer $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ , puis donner l'équation de l'asymptote verticale.

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Rappel actif

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Opérations sur les limites et levée des formes indéterminées#

~6 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Tableau récapitulatif des opérations sur les limites

Fig. 3Opérations sur les limites : cas calculables directement à gauche, formes indéterminées et méthode de levée à droite.

Opérations sur les limites : sous réserve qu'aucune forme indéterminée n'apparaisse, la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient s'obtient en combinant les limites des termes selon les règles usuelles (par exemple

L + M

L \times M

\frac{L}{M}

avec

M \neq 0

, et les règles avec l'infini : « fini

+ \infty = +\infty

», «

\frac{\text{fini} \neq 0}{0^+} = \pm\infty

»).

Les quatre formes indéterminées (F.I.) :

\infty - \infty

0 \times \infty

\dfrac{\infty}{\infty}

\dfrac{0}{0}

. Devant une F.I., les opérations ne suffisent pas : il faut transformer l'expression pour conclure.

Méthode du terme prépondérant (polynômes et quotients en

\pm\infty

) : on factorise par le monôme de plus haut degré. Pour un polynôme,

\lim_{\pm\infty} P(x) = \lim_{\pm\infty} a_n x^n

; pour un quotient de polynômes, le rapport des termes dominants donne la limite.

Méthode de la quantité conjuguée (F.I.

\infty - \infty

avec racines) : pour lever une indétermination du type

\sqrt{A} - \sqrt{B}

, on multiplie et divise par la quantité conjuguée

\sqrt{A} + \sqrt{B}

afin d'utiliser

(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B}) = A - B

Méthode de la factorisation (F.I.

\frac{0}{0}

en un réel) : on factorise numérateur et dénominateur par

(x - a)

(racine commune), puis on simplifie avant de passer à la limite.

Le programme précise que « les opérations sur les limites sont admises » : aucun théorème à démontrer ici, mais l'obligation de dire lequel on applique et de vérifier qu'il s'applique. La vérification est toujours la même — le cas rencontré est-il déterminé, ou l'une des quatre formes indéterminées ? Et il faut le dire clairement : une F.I. n'est PAS une réponse. Écrire « ∞ − ∞ » au bout d'un calcul ne vaut aucun point ; c'est le constat qu'il faut transformer l'expression, pas la conclusion de l'exercice. La bonne nouvelle est que la forme rencontrée désigne elle-même la transformation. Une somme ou une différence en ±∞ appelle la factorisation du terme prépondérant ; une différence de racines appelle la quantité conjuguée ; un quotient 0/0 en un réel a appelle la factorisation par (x − a) ; un mélange d'exponentielle, de puissance et de logarithme appelle une croissance comparée.

Deux pièges de signe coûtent plus de points que toutes les F.I. réunies. Le premier : en −∞, une puissance impaire est négative. Factoriser x³ − x² par x³ donne x³(1 − 1/x) ; le facteur x³ tend vers −∞, la parenthèse vers 1, et le produit vers −∞ — pas vers +∞. Le second concerne les racines : √(x²) vaut |x|, donc x si x est positif mais −x si x est négatif. Une étude de √(x² + x) − x en −∞ qui sort x de la racine sans son signe est fausse dès la première ligne, et le contraste est instructif : cette expression tend vers 1/2 en +∞ et vers +∞ en −∞. Le remède est mécanique — avant de sortir un x d'une racine, écrivez √(x²) = |x|, puis levez la valeur absolue selon le côté étudié.

Vocabulaire

→ Cartes

forme indéterminéeÉcriture du type ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ ou 0/0 qui ne permet aucune conclusion directe et impose de transformer l'expression.
quantité conjuguéeExpression √A + √B par laquelle on multiplie et divise √A − √B afin d'obtenir A − B au numérateur.
levée d’indéterminationTransformation de l'expression — factorisation, conjuguée, simplification, croissance comparée — qui rend la limite calculable.
coefficient dominantCoefficient du terme de plus haut degré d'un polynôme ; le rapport des coefficients dominants donne la limite d'un quotient de même degré.

Les quatre formes indéterminées

\text{Formes indéterminées : } \quad \infty - \infty, \quad 0 \times \infty, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \frac{0}{0}

Ces quatre situations exigent une transformation de l'expression ; les autres combinaisons d'opérations se calculent directement.

Terme prépondérant d'un quotient

\lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n + \dots + a_0}{b_p x^p + \dots + b_0} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_n x^n}{b_p x^p}

À l'infini, seuls les termes de plus haut degré comptent : la limite d'un quotient de polynômes est celle du rapport des termes dominants.

Quantité conjuguée

\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} = \frac{A - B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}

Multiplier par la quantité conjuguée transforme une différence de racines (F.I. $\infty-\infty$ ) en un quotient calculable.

Interaktive Grafik lädt…

Exemple corrigé

Lever une forme indéterminée ∞ − ∞ par la quantité conjuguée

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right)$ .

Reconnaître la forme indéterminée
Quand $x \to +\infty$ , $\sqrt{x^2 + 3x} \to +\infty$ et $x \to +\infty$ : on a la forme indéterminée $\infty - \infty$ .
$\sqrt{x^2 + 3x} - x \;:\; \text{forme } \infty - \infty$
Multiplier par la quantité conjuguée
On multiplie et divise par $\sqrt{x^2 + 3x} + x$ ; au numérateur, $(\sqrt{x^2+3x})^2 - x^2 = 3x$ .
$\sqrt{x^2+3x} - x = \frac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2+3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x}$
Factoriser par x au dénominateur
Comme $x > 0$ , $\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + \frac{3}{x}}$ . On factorise alors par $x$ haut et bas.
$\frac{3x}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}} + x} = \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}} + 1}$
Passer à la limite
Quand $x \to +\infty$ , $\frac{3}{x} \to 0$ donc $\sqrt{1 + \frac{3}{x}} \to 1$ .
$\lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right) = \dfrac{3}{2}$ .

Objectif Bac

Objectif Bac : reconnaître le type de forme indéterminée et choisir la méthode adaptée (facteur dominant, conjuguée, factorisation) en rédigeant clairement la transformation.
Objectif Bac : calculer la limite d'un quotient de polynômes en $\pm\infty$ en justifiant par la factorisation par le terme prépondérant, sans simplement « regarder le degré » sans rédaction.
Nommer la forme indéterminée AVANT de transformer : le type de F.I. désigne la méthode, et l'énoncé attend cette phrase de diagnostic.
Factoriser le terme prépondérant « dans une somme » — c'est la capacité attendue telle qu'elle est écrite au programme — plutôt que d'invoquer les degrés sans rédaction.
Écrire √(x²) = |x| avant toute simplification, puis lever la valeur absolue selon le signe de x sur l'intervalle étudié.

Erreurs fréquentes

Écrire $\infty - \infty = 0$ ou $\frac{\infty}{\infty} = 1$ : ce sont des formes INDÉTERMINÉES, il faut transformer l'expression avant de conclure.
Simplifier abusivement un quotient $\frac{0}{0}$ en remplaçant directement $x$ par $a$ sans avoir factorisé : on perd la valeur de la limite ou on écrit une expression non définie.
Conclure sur une F.I. par analogie avec un cas déjà vu : ∞ − ∞ peut valoir 0, 1/2, +∞ ou n'importe quel réel — √(x² + x) − x tend vers 1/2 en +∞ et vers +∞ en −∞.
Sortir x d'une racine en −∞ sans changer le signe : pour x < 0, √(x² + x) = −x·√(1 + 1/x).
Transformer l'expression APRÈS être passé à la limite : la factorisation, la conjuguée et la simplification portent sur l'expression, jamais sur des écritures du type ∞/∞ qui n'ont pas de sens.

Révision active

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + x} - x \right)$ en utilisant la quantité conjuguée.

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Limites et comparaison : théorème des gendarmes et croissances comparées#

~6 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Croissances comparées : ln(x), x et e^x superposées

Fig. 4À l'infini, ln(x) croît plus lentement que x, qui croît plus lentement que e^x : ln(x) ≪ x ≪ e^x.

Théorèmes de comparaison : si

f(x) \geqslant g(x)

au voisinage de

+\infty

\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty

, alors

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

. De même, si

f(x) \leqslant g(x)

\lim g = -\infty

, alors

\lim f = -\infty

. On minore (resp. majore) par une fonction de limite connue.

Théorème des gendarmes (encadrement) : si, au voisinage de

a

(ou de

\pm\infty

), on a

u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x)

avec

\lim u = \lim v = L

(limite finie commune), alors

\lim f(x) = L

. L'encadrement « prend en étau » la fonction et lui impose la limite commune.

Croissances comparées — à l'infini :

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty

\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0

pour tout entier

n

(l'exponentielle l'emporte sur toute puissance) ;

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0

(la puissance l'emporte sur le logarithme).

Croissances comparées — en 0 :

\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0

(la puissance l'emporte sur le logarithme aussi près de 0, en levant la F.I.

0 \times \infty

). Plus généralement

\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0

Démonstration exigible (croissance comparée de

e^x

sur les puissances) : le programme demande de savoir démontrer

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty

, puis

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty

. On pose

\varphi(x) = e^x - \dfrac{x^2}{2}

: alors

\varphi'(x) = e^x - x

\varphi''(x) = e^x - 1 > 0

sur

]0\,; +\infty[

, donc

\varphi'

croît ; comme

\varphi'(0) = 1 > 0

, on a

\varphi'(x) > 0

puis

\varphi

croissante avec

\varphi(0) = 1 > 0

, d'où

e^x > \dfrac{x^2}{2}

pour

x > 0

. On en déduit

\dfrac{e^x}{x} > \dfrac{x}{2} \to +\infty

, donc par comparaison

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty

. Le cas

\dfrac{e^x}{x^n}

s'obtient en écrivant

\dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{1}{n^n}\left(\dfrac{e^{x/n}}{x/n}\right)^n

, produit de termes tendant vers

+\infty

Hiérarchie à retenir : au voisinage de

+\infty

\ln(x) \ll x^n \ll e^x

: le logarithme croît plus lentement que toute puissance, qui croît elle-même plus lentement que l'exponentielle.

Construire l'encadrement est le vrai travail ; l'appliquer ne prend qu'une ligne. Le point de départ est presque toujours un encadrement GRATUIT, valable pour tout réel : −1 ⩽ sin(x) ⩽ 1, −1 ⩽ cos(x) ⩽ 1, ou encore 0 ⩽ e^(−x²) ⩽ 1. On le transporte ensuite jusqu'à l'expression étudiée en n'effectuant que des opérations dont on maîtrise l'effet sur l'ordre. Diviser par x conserve l'ordre si x est positif et le RENVERSE s'il est négatif : c'est pourquoi une étude en +∞ écrit « pour x > 0 » avant de diviser, et pourquoi le même encadrement ne se recopie pas tel quel en −∞. Retenez enfin la répartition des rôles entre les deux théorèmes : les gendarmes concluent à une limite FINIE et exigent deux bornes de même limite ; les théorèmes de comparaison concluent à une limite INFINIE et n'en demandent qu'une seule, celle qui pousse.

Vocabulaire

→ Cartes

encadrementDouble inégalité u(x) ⩽ f(x) ⩽ v(x) valable au voisinage du point étudié, base du théorème des gendarmes.
minorationInégalité f(x) ⩾ g(x) utilisée pour pousser f vers +∞ lorsque g y tend déjà.
croissance comparéeThéorème comparant les vitesses de croissance : en +∞, exp domine toute puissance, qui domine le logarithme.
négligeable devantSe dit d'une fonction dont le rapport à une autre tend vers 0 ; ln(x) est négligeable devant x, et x devant e^x.

Théorème des gendarmes

u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x) \;\text{ et }\; \lim u(x) = \lim v(x) = L \;\Longrightarrow\; \lim f(x) = L

Encadrer $f$ par deux fonctions de même limite $L$ force la limite de $f$ à valoir $L$ .

Croissances comparées à l'infini

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0

L'exponentielle domine toute puissance ; toute puissance domine le logarithme. Résultats au cœur de la levée des indéterminations.

Limites usuelles à connaître

\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty

Près de 0, $x$ l'emporte sur $\ln(x)$ (F.I. $0 \times \infty$ ) ; en $+\infty$ , l'exponentielle domine la puissance — résultat à savoir démontrer (croissance comparée exigible).

Théorème des gendarmes : encadrement de (sin x)/x à l'infini

Fig. 5Encadrement −1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x : les deux « gendarmes » tendent vers 0, donc la fonction encadrée tend vers 0.

Exemple corrigé

Limite par encadrement (théorème des gendarmes)

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x}$ en utilisant le théorème des gendarmes.

Encadrer le sinus
Pour tout réel $x$ , on a $-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$ .
$-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$
Diviser par x > 0
Pour $x > 0$ , on divise l'encadrement par $x$ (qui est positif, le sens des inégalités est conservé).
$-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant \frac{1}{x}$
Limites des deux gendarmes
Les deux fonctions encadrantes ont la même limite 0 en $+\infty$ .
$\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0 = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}$
Conclure par le théorème des gendarmes
La fonction est encadrée par deux fonctions de limite commune 0 : sa limite est donc 0.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sin(x)}{x} = 0$ .

Exemple corrigé

Croissance comparée exponentielle / puissance

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x^3}{x^2}$ .

Reconnaître la forme indéterminée
Le numérateur est une F.I. $\infty - \infty$ ; le quotient est de la forme $\frac{\infty}{\infty}$ . On sépare en deux quotients.
$\frac{e^x - x^3}{x^2} = \frac{e^x}{x^2} - \frac{x^3}{x^2} = \frac{e^x}{x^2} - x$
Appliquer la croissance comparée
Par croissance comparée, l'exponentielle l'emporte sur la puissance $x^2$ .
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} = +\infty$
Comparer la croissance des deux termes
On factorise par $\frac{e^x}{x^2}$ , qui domine. On écrit $\frac{e^x}{x^2} - x = \frac{e^x}{x^2}\left(1 - \frac{x^3}{e^x}\right)$ ; or $\frac{x^3}{e^x} = x^3 e^{-x} \to 0$ .
$\frac{e^x}{x^2} - x = \frac{e^x}{x^2}\left(1 - \frac{x^3}{e^x}\right), \quad \frac{x^3}{e^x} \to 0$
Passer à la limite
Le facteur entre parenthèses tend vers 1 et $\frac{e^x}{x^2} \to +\infty$ , donc le produit tend vers $+\infty$ .
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - x^3}{x^2} = +\infty$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - x^3}{x^2} = +\infty$ : l'exponentielle l'emporte sur les puissances.

Explication pas à pas4 étapes

1
On veut comprendre pourquoi sin(x)/x tend vers 0 à l'infini. L'idée clé : on ne calcule pas directement, on ENCADRE la fonction entre deux « gendarmes ».
$-1 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$
2
Comme le sinus reste toujours entre −1 et 1, en divisant par x positif on obtient un encadrement de sin(x)/x par −1/x et 1/x.
$-\frac{1}{x} \leqslant \frac{\sin(x)}{x} \leqslant \frac{1}{x}$
3
Les deux gendarmes, −1/x et 1/x, tendent tous deux vers 0 quand x tend vers l'infini. La fonction prise en étau entre eux n'a pas le choix.
Encadrement de sin(x)/x
4
Conclusion par le théorème des gendarmes : la limite commune des bornes étant 0, la limite de sin(x)/x est elle aussi 0.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0$

Objectif Bac

Objectif Bac : construire un encadrement $u(x) \leqslant f(x) \leqslant v(x)$ adapté (souvent à partir de $-1 \leqslant \sin \leqslant 1$ ) et appliquer le théorème des gendarmes pour conclure.
Objectif Bac : lever une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$ ou $0 \times \infty$ mêlant exponentielle, puissance et logarithme en invoquant la croissance comparée pertinente, avec justification explicite.
Partir d'un encadrement valable pour tout x, puis le transporter par des opérations dont l'effet sur l'ordre est contrôlé, en précisant le signe de x avant toute division.
Restituer la démonstration de la croissance comparée de x ↦ xⁿ et de exp en +∞ : elle est nommément exigible dans ce chapitre.
Choisir le théorème d'après la conclusion visée : deux gendarmes pour une limite finie, une seule minoration pour une limite infinie.

Erreurs fréquentes

Appliquer le théorème des gendarmes avec des bornes de limites DIFFÉRENTES ( $\lim u \neq \lim v$ ) : l'encadrement ne conclut que si les deux gendarmes ont la MÊME limite finie.
Mémoriser les croissances comparées à l'envers (croire que la puissance l'emporte sur l'exponentielle) : c'est toujours $e^x$ qui domine $x^n$ , et $x^n$ qui domine $\ln(x)$ , à l'infini.
Diviser un encadrement par x sans discuter son signe : pour x < 0 les inégalités changent de sens et l'encadrement obtenu est faux.
Écrire −1/x ⩽ sin(x)/x ⩽ 1/x sans préciser que cet encadrement ne vaut que pour x > 0.
Invoquer une croissance comparée là où elle ne s'applique pas : elle départage exponentielle, puissance et logarithme, jamais deux polynômes entre eux — là, c'est le terme prépondérant.

Révision active

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos(x)}{x}$ à l'aide du théorème des gendarmes, puis $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2}$ par croissance comparée.

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Limite d'une fonction composée et synthèse graphique#

~6 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Limites-de-fonctions

Schéma de la composition des limites

Fig. 6Composition : on enchaîne x → a, puis g(x) → b, puis f → L. La fonction interne g agit d'abord, la fonction externe f ensuite.

Théorème de composition des limites : soit

g

une fonction telle que

\lim_{x \to a} g(x) = b

, et

f

telle que

\lim_{X \to b} f(X) = L

. Alors, sous ces hypothèses,

\lim_{x \to a} f\bigl(g(x)\bigr) = L

. Ici

a

b

L

peuvent être finis ou infinis.

Mode d'emploi pratique (méthode du changement de variable) : on pose

X = g(x)

, on détermine vers quoi tend

X

quand

x \to a

(c'est

b

), puis on calcule la limite de

f(X)

quand

X \to b

. On « enchaîne » les deux limites.

Exemples typiques :

\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}

(on pose

X = -x^2 \to -\infty

, puis

e^X \to 0

) ;

\lim_{x \to +\infty} \ln\!\left(1 + \tfrac{1}{x}\right)

(on pose

X = 1 + \tfrac{1}{x} \to 1

, puis

\ln(X) \to \ln 1 = 0

Synthèse graphique : déterminer les limites aux bornes du domaine permet de tracer le tableau de variations complet et de repérer toutes les asymptotes (horizontales en

\pm\infty

, verticales aux valeurs interdites) ; c'est l'étape finale d'une étude de fonction.

Lecture graphique : sur une courbe ou un tableau de variations fourni, on lit directement les limites aux bornes — une flèche vers

\pm\infty

ou vers une valeur finie — et on en déduit asymptotes et comportement de la fonction.

Le programme indique que « l'utilisation de la composition des limites se fait en contexte » : on n'attend pas l'énoncé du théorème, on attend le geste. Ce geste tient en une phrase, écrite telle quelle sur la copie — on pose X = g(x) ; quand x tend vers a, X tend vers b ; or f(X) tend vers L quand X tend vers b ; donc f(g(x)) tend vers L. Une précision décide pourtant du résultat dans la moitié des cas : lorsque la limite intermédiaire b est finie et que la fonction externe n'est pas définie en b, il faut savoir de QUEL CÔTÉ X approche b. Sur f(x) = 1/(1 − e^x) en 0, la quantité 1 − e^x tend vers 0, mais par valeurs négatives lorsque x → 0⁺ et positives lorsque x → 0⁻ : la limite vaut −∞ à droite et +∞ à gauche. Écrire seulement « X → 0 » ne permet pas de conclure ; il faut écrire X → 0⁻ ou X → 0⁺.

L'étude complète d'une fonction suit toujours le même ordre, et chaque étape fournit le matériau de la suivante. Un : le domaine de définition, en écartant les valeurs interdites. Deux : les limites aux BORNES de ce domaine — aux infinis quand il n'est pas borné, à gauche et à droite de chaque valeur interdite. Trois : la dérivée, puis son signe. Quatre : le tableau de variations, dans lequel les limites de l'étape deux se placent aux extrémités des flèches et où une double barre verticale marque chaque valeur interdite. Cinq : les asymptotes, qui se lisent alors directement dans le tableau — limite finie à l'infini pour une horizontale, limite infinie en un réel pour une verticale. Six : les points remarquables et le tracé. Les questions d'un sujet suivent presque toujours cette progression, ce qui explique qu'on ne gagne rien à sauter une étape dont on croit connaître la réponse.

Vocabulaire

→ Cartes

fonction composéeFonction obtenue en appliquant g puis f, notée f ∘ g ; la limite s'obtient en enchaînant la limite interne et la limite externe.
changement de variableSubstitution X = g(x) qui ramène l'étude d'une composée à celle d'une fonction de référence.
tableau de variationsTableau portant le signe de la dérivée, le sens de variation et les limites aux bornes du domaine.
bornes du domaineExtrémités des intervalles composant le domaine de définition, y compris les valeurs interdites, où les limites doivent être calculées.

Limite d'une composée

\lim_{x \to a} g(x) = b \;\text{ et }\; \lim_{X \to b} f(X) = L \;\Longrightarrow\; \lim_{x \to a} f\bigl(g(x)\bigr) = L

On enchaîne la limite interne ( $g(x) \to b$ ) puis la limite externe ( $f(X) \to L$ ) ; les valeurs $a$ , $b$ , $L$ peuvent être finies ou infinies.

Exemple de composée

\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2} = 0 \quad \text{car} \quad X = -x^2 \to -\infty \;\text{ et }\; \lim_{X \to -\infty} e^X = 0

On pose $X = -x^2$ : la fonction interne tend vers $-\infty$ , et l'exponentielle de $X$ tend alors vers 0.

Exemple corrigé

Limite d'une fonction composée par changement de variable

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{-x^2 + 1}$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Identifier la fonction interne
On pose $X = -x^2 + 1$ : c'est la fonction interne. On détermine sa limite quand $x \to +\infty$ .
$X = -x^2 + 1, \qquad \lim_{x \to +\infty} (-x^2 + 1) = -\infty$
Identifier la fonction externe
La fonction externe est l'exponentielle : $f(x) = e^{X}$ . On utilise la limite de l'exponentielle en $-\infty$ .
$\lim_{X \to -\infty} e^{X} = 0$
Composer les deux limites
Quand $x \to +\infty$ , $X \to -\infty$ , donc $e^X \to 0$ par le théorème de composition des limites.
$\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2 + 1} = 0$
Interpréter graphiquement
La limite étant finie et nulle, la droite $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ (et par symétrie en $-\infty$ ).
$y = 0 \text{ est asymptote horizontale en } \pm\infty$

Résultat : $\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2 + 1} = 0$ ; la droite $y = 0$ est asymptote horizontale à la courbe.

Objectif Bac

Objectif Bac : déterminer la limite d'une composée du type $e^{u(x)}$ , $\ln\bigl(u(x)\bigr)$ ou $\sqrt{u(x)}$ en explicitant la limite intermédiaire $u(x) \to b$ puis la limite externe.
Objectif Bac : à partir des limites calculées aux bornes, dresser le tableau de variations et nommer toutes les asymptotes de la courbe dans une étude complète de fonction.
Rédiger la composition en nommant X = g(x), sa limite b, puis la limite externe — et préciser 0⁺ ou 0⁻ dès que la fonction externe n'est pas définie en b.
Placer les limites aux extrémités des flèches du tableau de variations et marquer chaque valeur interdite d'une double barre : le tableau doit se lire sans le reste de la copie.
Mener l'étude dans l'ordre domaine → limites aux bornes → dérivée → tableau → asymptotes, l'ordre même dans lequel le sujet pose ses questions.

Erreurs fréquentes

Composer les limites sans vérifier l'ordre : il faut d'abord la limite INTERNE $g(x) \to b$ , puis la limite de $f$ EN $b$ ; intervertir les deux conduit à une erreur.
Oublier que $b$ peut être infini : par exemple pour $e^{-x^2}$ , la limite interne $-x^2 \to -\infty$ , et il faut connaître $\lim_{X \to -\infty} e^X = 0$ , pas la valeur en un réel.
Écrire « X → 0 » sans le côté alors que la fonction externe explose en 0 : la limite de 1/(1 − e^x) en 0 vaut −∞ à droite et +∞ à gauche.
Ne chercher les limites qu'en ±∞ et oublier les bornes finies du domaine : chaque valeur interdite exige ses deux limites latérales.
Écrire « e^(−∞) = 0 » comme un calcul : la notation n'a pas de sens ; on pose X = −x², on dit que X tend vers −∞, puis on invoque la limite de exp en −∞.

Révision active

Déterminer $\lim_{x \to +\infty} e^{\frac{1}{x} - 1}$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ en identifiant clairement la fonction interne et la fonction externe.

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Références et sources

Sources

Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel

Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A)

Voir aussi

Limites des fonctions

Points clés

Limite à l'infini d'une fonction rationnelle et asymptote horizontale

Points clés

Limites latérales en une valeur interdite et asymptote verticale

Points clés

Lever une forme indéterminée ∞ − ∞ par la quantité conjuguée

Points clés

Limite par encadrement (théorème des gendarmes)

Croissance comparée exponentielle / puissance

Points clés

Limite d'une fonction composée par changement de variable

Sources