FR · Bac

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

La continuité est la propriété qui autorise à passer de « la fonction change de signe » à « l'équation a une solution ». Le théorème des valeurs intermédiaires en fait un outil d'EXISTENCE ; la stricte monotonie y ajoute l'UNICITÉ ; la dichotomie fournit enfin l'encadrement numérique. Le même théorème permet, en fin de chapitre, de passer à la limite dans une relation de récurrence et d'identifier la limite d'une suite définie par u(n+1) = f(u(n)).

4 sections~23 min de lecture4 compétencesVérifié · 08/2026

T·0333 / 14

Profil d’examen

Étudier les solutions d'une équation du type f(x) = k : existence, unicité, encadrementAppliquer le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire aux fonctions continues strictement monotonesEncadrer une solution par balayage ou par dichotomie, et programmer l'algorithme correspondantPour une fonction continue d'un intervalle dans lui-même, étudier une suite définie par u(n+1) = f(u(n))

Opérateurs :démontrerjustifierdéterminerencadrerétudierinterpréter

niveau de base

Hors spécialité, on retient surtout l'énoncé du théorème des valeurs intermédiaires et sa lecture graphique — une courbe continue qui change de signe traverse l'axe — sans exiger la rédaction complète du corollaire de stricte monotonie.

niveau approfondi

En spécialité, la rédaction est notée ligne à ligne : continuité invoquée, stricte monotonie justifiée par le signe de la dérivée, valeurs ou limites aux bornes, appartenance de k à l'intervalle image, puis conclusion sur l'existence ET l'unicité.

Profondeur

Texte

Sommaire · 4 sections

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

4 sections16 points clés9 formules16 pièges signalés

Continuité en un point et sur un intervalle#

~6 min de lectureBaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Continuité-des-fonctions-d-une-variable-réelle

Une fonction f est continue en un réel a lorsque trois conditions sont réunies : f est définie en a, elle admet une limite en a, et cette limite vaut f(a). On écrit donc lim f(x) = f(a) quand x tend vers a. Elle est continue SUR UN INTERVALLE lorsqu'elle l'est en chacun de ses points. L'image intuitive du tracé « sans lever le crayon » est fidèle et suffisante à ce niveau : le programme précise que la notion de limite y est présentée de manière intuitive et que la maîtrise complète du formalisme n'est pas un attendu.

Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue, et la réciproque est FAUSSE. Le sens vrai se voit sur le taux d'accroissement : si f est dérivable en a, alors f(a + h) − f(a) = h × (taux d'accroissement), produit d'un facteur qui tend vers 0 par un facteur qui tend vers f′(a) ; la différence tend donc vers 0, c'est-à-dire que f(a + h) tend vers f(a). Le sens faux se réfute par un seul exemple, celui de la valeur absolue (voir Fig. 1) : elle est continue en 0, mais son taux d'accroissement vaut −1 à gauche et +1 à droite, donc elle n'y est pas dérivable. Continuité et dérivabilité sont deux exigences différentes, la seconde étant la plus forte.

Une fonction continue qui n’est pas dérivable en 0

Fig. 1La courbe de la valeur absolue se trace sans lever le crayon : la fonction est continue en 0. Mais elle y présente un angle — pente −1 à gauche, +1 à droite — donc elle n'y est pas dérivable. Dérivable entraîne continue, jamais l'inverse.

Fig. 1 ↓

Le programme accorde ici une facilité qu'il faut connaître : « la justification de la continuité ou de la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle n'est PAS un objectif du programme ». En pratique, on énonce donc sans démonstration que les fonctions polynômes, l'exponentielle, le logarithme, le sinus, le cosinus et la racine carrée sont continues sur leur ensemble de définition, et que les sommes, produits, quotients (à dénominateur non nul) et composées de fonctions continues le sont aussi. Ce qui est évalué n'est pas la preuve de la continuité, mais son USAGE — invoquer correctement l'hypothèse au moment d'appliquer un théorème.

Un résultat discret mais décisif relie continuité et suites : si une suite (u(n)) converge vers un réel ℓ et si f est continue en ℓ, alors la suite des images (f(u(n))) converge vers f(ℓ). C'est ce théorème, et lui seul, qui autorise à « passer à la limite » dans une relation de récurrence u(n+1) = f(u(n)) — la dernière section du chapitre en fait son outil principal. Retenez-le sous cette forme : une fonction continue transporte les limites.

Deux limites de programme méritent d'être signalées pour éviter un travail inutile. L'étude de la réciproque d'une fonction continue n'est PAS au programme, à la seule exception de l'exponentielle — dont la réciproque, le logarithme népérien, fait l'objet d'un chapitre entier. Et le prolongement par continuité, qui consiste à donner à f la valeur de sa limite en un point où elle n'était pas définie, figure parmi les approfondissements possibles : un sujet qui l'aborde en donnera la définition.

Vocabulaire

→ Cartes

continuité en un pointPropriété d'une fonction définie en a dont la limite en a vaut f(a).
taux d’accroissementQuotient (f(a+h) − f(a))/h, dont la limite en 0 définit le nombre dérivé.
point anguleuxPoint où la courbe présente un angle : la fonction y est continue mais n'y est pas dérivable.
transport des limitesRésultat selon lequel une fonction continue envoie une suite convergente sur une suite convergente vers l'image de la limite.

Continuité en un point

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

f doit être définie en a, admettre une limite en a, et cette limite doit valoir exactement l'image f(a).

Dérivable entraîne continue

f \text{ dérivable sur } I \;\Longrightarrow\; f \text{ continue sur } I

L'implication ne vaut que dans ce sens : une fonction continue peut présenter un angle et n'être dérivable en aucun de ses points anguleux.

Transport des limites

u_n \to \ell \;\text{ et } f \text{ continue en } \ell \;\Longrightarrow\; f(u_n) \to f(\ell)

ℓ est la limite de la suite et f(ℓ) l'image de cette limite ; ce résultat autorise le passage à la limite dans une relation de récurrence.

La lecture charge du contenu depuis YouTube (Google).Ouvrir sur YouTube ↗

Exemple corrigé

Continue mais non dérivable : la valeur absolue en 0

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = |x|. Montrer que f est continue en 0, puis qu'elle n'y est pas dérivable.

Vérifier la définition et la limite
La fonction est définie en 0 et f(0) = 0. Pour x positif f(x) = x, pour x négatif f(x) = −x ; dans les deux cas f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0.
$\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0 = \lim_{x \to 0^+} x$
Conclure la continuité
Les deux limites latérales existent, sont égales, et leur valeur commune est bien f(0) : la fonction est donc continue en 0.
$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$
Calculer les taux d'accroissement
Le taux d'accroissement entre 0 et h vaut |h|/h. Pour h strictement positif il vaut 1 ; pour h strictement négatif il vaut −1.
$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h} = \begin{cases} 1 & \text{si } h > 0 \\ -1 & \text{si } h < 0\end{cases}$
Conclure la non-dérivabilité
Les deux limites latérales du taux d'accroissement diffèrent, donc ce taux n'admet pas de limite en 0 : le nombre dérivé n'existe pas.
$-1 \neq 1 \;\Longrightarrow\; \text{pas de nombre dérivé en } 0$

Résultat : f est continue en 0 sans y être dérivable : la courbe se trace sans lever le crayon mais présente un angle, ce qui montre que la réciproque de « dérivable entraîne continue » est fausse.

Erreurs fréquentes

Affirmer qu'une fonction continue est dérivable : la valeur absolue est continue en 0 et n'y admet pas de nombre dérivé, ses taux d'accroissement valant −1 et +1.
Perdre du temps à démontrer la continuité d'un polynôme ou d'une exponentielle : ces résultats sont admis et se citent en une ligne.
Oublier que la continuité en a exige que f SOIT DÉFINIE en a : une fonction ayant une limite finie en une valeur interdite n'y est pas continue tant qu'on ne l'y a pas prolongée.
Passer à la limite dans u(n+1) = f(u(n)) sans invoquer la continuité de f : c'est elle qui légitime l'opération, et son absence est sanctionnée.

Révision active

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = |x − 2|. Justifier que f est continue en 2, puis montrer, en calculant les taux d'accroissement à gauche et à droite, qu'elle n'y est pas dérivable.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire de stricte monotonie#

~5 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Continuité-des-fonctions-d-une-variable-réelle

Théorème des valeurs intermédiaires (admis au lycée) : si f est continue sur un intervalle [a ; b] et si k est un réel compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet AU MOINS une solution dans [a ; b]. Lisez l'énoncé avec précision : il donne l'EXISTENCE et rien d'autre. Il ne dit pas combien il y a de solutions, il n'en fournit aucune valeur, et il ne s'applique qu'à une fonction continue sur un INTERVALLE — sur une réunion d'intervalles, une fonction peut changer de signe sans jamais s'annuler.

Corollaire des fonctions strictement monotones : si f est continue ET strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet EXACTEMENT UNE solution dans [a ; b]. La continuité donne l'existence, la stricte monotonie donne l'unicité — deux hypothèses, deux conclusions, et il faut savoir dire laquelle sert à quoi. Voir Fig. 2 : la droite horizontale y = k rencontre une courbe strictement croissante en un point et un seul.

Le corollaire : une seule solution pour une fonction strictement monotone

Fig. 2La fonction cube augmentée de x est continue et strictement croissante sur [−2 ; 2] ; la droite horizontale y = 2 coupe sa courbe en un point et un seul, d'abscisse 1. Continuité seule donnerait l'existence ; c'est la stricte monotonie qui donne l'unicité.

Fig. 2 ↓

Extension aux intervalles ouverts ou infinis : on remplace les valeurs aux bornes par les LIMITES. Si f est continue et strictement croissante sur ]a ; b[ avec pour limites L1 en a et L2 en b, l'équation f(x) = k admet une unique solution dans ]a ; b[ pour tout k de ]L1 ; L2[. C'est cette version qui sert le plus souvent, puisque les études de fonctions du chapitre précédent fournissent précisément des limites aux bornes du domaine.

La rédaction attendue tient en quatre lignes, et chacune vaut des points. Un : « f est continue sur l'intervalle I » — avec la raison en quelques mots. Deux : « f est strictement croissante (ou décroissante) sur I », justifiée par le signe de f′. Trois : les valeurs ou limites aux bornes, puis la phrase « k appartient à l'intervalle image ». Quatre : la conclusion, « d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = k admet une unique solution dans I ». Sauter la troisième ligne est l'omission la plus fréquente, alors que c'est elle qui rend l'application légitime.

Ce que le théorème NE fournit pas mérite d'être dit : il n'indique aucune valeur, aucun procédé de calcul, aucune expression de la solution. Il affirme qu'elle existe. Obtenir une valeur approchée relève de la section suivante, par balayage ou dichotomie. Signalons enfin le statut d'un raffinement : la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires PAR dichotomie figure parmi les approfondissements possibles du programme, non parmi les attendus — au lycée, le théorème est admis.

Vocabulaire

→ Cartes

théorème des valeurs intermédiairesRésultat admis garantissant qu'une fonction continue prend toute valeur comprise entre les images des bornes.
corollaireConséquence directe d'un théorème ; ici l'ajout de la stricte monotonie, qui donne l'unicité.
stricte monotonieCroissance ou décroissance stricte sur l'intervalle, en général justifiée par le signe de la dérivée.
intervalle imageEnsemble des valeurs prises par f sur l'intervalle ; k doit lui appartenir pour que le corollaire s'applique.

Théorème des valeurs intermédiaires

f \text{ continue sur } [a\,;b],\; k \text{ entre } f(a) \text{ et } f(b) \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in [a\,;b],\; f(c) = k

c désigne une solution, dont le théorème affirme seulement l'existence ; k est la valeur visée, comprise entre les images des bornes.

Corollaire de stricte monotonie

f \text{ continue et strictement monotone sur } [a\,;b] \;\Longrightarrow\; f(x) = k \text{ a une unique solution}

La stricte monotonie interdit à la fonction de reprendre une même valeur : elle transforme l'existence en existence et unicité.

Exemple corrigé

Existence et unicité d'une solution de f(x) = 5

Soit f la fonction définie sur [0 ; 2] par f(x) = x³ + x. Démontrer que l'équation f(x) = 5 admet une unique solution α dans [0 ; 2].

Invoquer la continuité
f est une fonction polynôme, donc continue sur ℝ, en particulier sur l'intervalle [0 ; 2].
$f(x) = x^3 + x \quad \text{(fonction polynôme)}$
Justifier la stricte monotonie
La dérivée vaut 3x² + 1, somme d'un carré positif et de 1, donc strictement positive sur ℝ. La fonction est ainsi strictement croissante sur [0 ; 2].
$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$
Calculer les images des bornes
On évalue f aux deux extrémités de l'intervalle et l'on constate que 5 est compris entre ces deux valeurs.
$f(0) = 0, \qquad f(2) = 8 + 2 = 10, \qquad 0 < 5 < 10$
Conclure par le corollaire
Les trois hypothèses étant réunies, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires s'applique et donne l'unicité de la solution.
$\exists!\, \alpha \in [0\,;2], \quad f(\alpha) = 5$

Résultat : L'équation x³ + x = 5 admet une solution et une seule dans [0 ; 2]. La calculatrice donne α ≈ 1,52, valeur que le théorème ne fournit pas et qu'il faut obtenir par encadrement.

Erreurs fréquentes

Conclure à l'unicité par le seul théorème des valeurs intermédiaires : sans stricte monotonie, il ne garantit que l'existence d'au moins une solution.
Oublier de vérifier que k appartient bien à l'intervalle image : l'application du corollaire est alors non justifiée, même si la réponse est juste.
Appliquer le théorème sur un domaine en deux morceaux : l'hypothèse porte sur un INTERVALLE, et une fonction comme 1/x change de signe sans s'annuler.
Croire que le théorème fournit la solution : il en établit l'existence, la valeur approchée s'obtient ensuite par balayage ou dichotomie.

Révision active

Soit f définie sur [0 ; 2] par f(x) = x³ + x. Justifier que l'équation f(x) = 5 admet une unique solution sur [0 ; 2], en rédigeant les quatre lignes attendues.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Résolution approchée d'une équation : balayage et dichotomie#

~5 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Continuité-des-fonctions-d-une-variable-réelle

La capacité attendue du chapitre s'énonce en trois mots : existence, unicité, ENCADREMENT. Une fois établi qu'une équation f(x) = k possède une solution unique, l'énoncé demande presque toujours d'en donner un encadrement à une précision fixée, souvent 10⁻¹ ou 10⁻². Le théorème n'y aide pas ; il faut un procédé numérique, et le programme en nomme deux — le balayage et la dichotomie — auxquels s'ajoutent, comme exemples d'algorithme, les méthodes de Newton et de la sécante.

BALAYAGE : on parcourt l'intervalle par pas constant depuis a et l'on s'arrête au premier changement de signe de f. Avec un pas de 0,1 on obtient un encadrement d'amplitude 0,1 ; avec un pas de 0,01 un encadrement au centième. C'est exactement ce que fait la fonction « table » d'une calculatrice, et c'est la méthode attendue quand l'énoncé dit « à l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude 0,01 ». Son défaut est le coût : diviser le pas par dix multiplie par dix le nombre d'évaluations.

DICHOTOMIE : on part d'un intervalle [a ; b] sur lequel f change de signe, on calcule l'image du milieu m, et l'on conserve celle des deux moitiés sur laquelle le changement de signe subsiste. L'amplitude est divisée par deux à chaque étape, donc vaut (b − a)/2ⁿ après n étapes. Sur [0 ; 1], dix étapes donnent déjà une amplitude inférieure à 10⁻³, et vingt étapes descendent sous 10⁻⁶ — là où le balayage au même niveau demanderait un million d'évaluations. Voir Fig. 3 pour les premières étapes sur x³ + x − 1 = 0.

Encadrer la solution de x³ + x − 1 = 0 par dichotomie

Fig. 3La fonction change de signe entre 0 et 1 : f(0) = −1 et f(1) = 1. Chaque étape de dichotomie divise l'intervalle par deux — [0 ; 1], puis [0,5 ; 1], puis [0,5 ; 0,75], puis [0,625 ; 0,75] — et resserre l'encadrement autour de la solution, voisine de 0,68.

Fig. 3 ↓

Le test de conservation s'écrit toujours sur un PRODUIT : si f(a) × f(m) est strictement négatif, les deux images sont de signes contraires et la solution se trouve dans [a ; m], que l'on conserve ; sinon elle est dans [m ; b]. Écrire le test sous cette forme évite de discuter les signes au cas par cas et se programme directement. On répète tant que b − a dépasse la précision voulue, et l'on renvoie l'encadrement final — jamais une valeur unique, puisque la méthode produit un intervalle.

Rédiger un encadrement demande une précision de langage. « α appartient à [0,68 ; 0,69] » est un encadrement d'amplitude 0,01 ; « α vaut environ 0,68 » n'en est pas un et ne répond pas à la question posée. Lorsqu'un arrondi est demandé, on précise le nombre de décimales et l'on vérifie que l'encadrement obtenu permet effectivement de conclure : un encadrement [0,684 ; 0,686] ne permet pas de donner l'arrondi au centième, puisque les deux bornes ne s'arrondissent pas de la même façon.

Vocabulaire

→ Cartes

balayageParcours de l'intervalle par pas constant jusqu'au premier changement de signe ; simple mais coûteux.
dichotomieMéthode divisant l'intervalle en deux à chaque étape ; l'amplitude après n étapes vaut (b − a)/2ⁿ.
encadrementCouple de bornes entre lesquelles se situe la solution ; c'est la réponse attendue, et non une valeur approchée isolée.
amplitudeLongueur de l'intervalle d'encadrement, qui mesure la précision obtenue.

Vitesse de la dichotomie

\text{amplitude après } n \text{ étapes} = \frac{b-a}{2^{\,n}}

b − a est l'amplitude de départ et n le nombre d'étapes ; chaque étape divise l'amplitude par deux.

Test de conservation

f(a) \times f(m) < 0 \;\Longrightarrow\; \alpha \in [a\,;m]

m désigne le milieu de l'intervalle ; un produit d'images strictement négatif signale des signes contraires, donc la présence de la solution.

Exemple corrigé

Trois étapes de dichotomie sur x³ + x − 1 = 0

Soit f définie sur [0 ; 1] par f(x) = x³ + x − 1. Après avoir vérifié le changement de signe, appliquer trois étapes de dichotomie pour encadrer la solution α.

Vérifier le changement de signe
On évalue f aux deux bornes : les images sont de signes contraires, donc la solution appartient bien à l'intervalle de départ.
$f(0) = -1 < 0, \qquad f(1) = 1 > 0$
Couper en 0,5
L'image du milieu est négative, du même signe que f(0) : la solution se trouve donc dans la moitié droite.
$f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0 \;\Rightarrow\; \alpha \in [0{,}5\,;1]$
Couper en 0,75
L'image du milieu est cette fois positive : la solution se trouve dans la moitié gauche du nouvel intervalle.
$f(0{,}75) = 0{,}421875 + 0{,}75 - 1 = 0{,}171875 > 0 \;\Rightarrow\; \alpha \in [0{,}5\,;0{,}75]$
Couper en 0,625
L'image du milieu est négative, donc la solution est dans la moitié droite ; l'amplitude vaut désormais 0,125, soit 1 divisé par 2³.
$f(0{,}625) \approx -0{,}1309 < 0 \;\Rightarrow\; \alpha \in [0{,}625\,;0{,}75]$

Résultat : Après trois étapes, α est encadrée par 0,625 et 0,75, soit une amplitude de 0,125. Pour descendre sous 10⁻³ il faut résoudre 1/2ⁿ ⩽ 10⁻³, donc n ⩾ 10 étapes.

Erreurs fréquentes

Lancer une dichotomie sans avoir vérifié le changement de signe sur l'intervalle initial : la méthode converge alors vers une valeur qui n'annule pas f.
Confondre amplitude et précision de l'arrondi : un encadrement d'amplitude 0,01 ne donne pas toujours l'arrondi au centième, si les bornes s'arrondissent différemment.
Répondre « α ≈ 0,68 » à une question demandant un encadrement d'amplitude 0,01 : la réponse attendue est [0,68 ; 0,69].
Oublier de mettre à jour la borne conservée dans la boucle : l'intervalle ne rétrécit plus et la boucle tourne indéfiniment.

Révision active

L'équation x³ + x − 1 = 0 admet une unique solution α dans [0 ; 1]. En appliquant trois étapes de dichotomie à la main, donner un encadrement de α, puis préciser combien d'étapes seraient nécessaires pour atteindre une amplitude inférieure à 10⁻³.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Suites définies par une relation de récurrence : stabilité, convergence, point fixe#

~5 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Continuité-des-fonctions-d-une-variable-réelle

Le programme énonce une capacité attendue qui organise à elle seule tout un type d'exercice : « pour une fonction continue f d'un intervalle DANS LUI-MÊME, étudier une suite définie par une relation de récurrence u(n+1) = f(u(n)) ». Deux mots portent l'essentiel. « Continue », parce que la continuité seule autorisera le passage à la limite. « Dans lui-même », parce que la suite doit rester dans l'intervalle où l'on travaille : c'est la condition de STABILITÉ, et elle se démontre par récurrence avant toute autre chose.

La chaîne complète comporte quatre maillons, et l'ordre n'est pas négociable. Un : montrer par récurrence que tous les termes appartiennent à un intervalle I stable, ce qui fournit du même coup un encadrement. Deux : étudier la monotonie, en général par le signe de u(n+1) − u(n), éventuellement par récurrence. Trois : conclure à la CONVERGENCE par le théorème de la limite monotone — croissante et majorée, ou décroissante et minorée. Quatre : identifier la limite en passant à la limite dans la relation de récurrence, ce qui donne l'équation de point fixe ℓ = f(ℓ).

Le quatrième maillon repose entièrement sur la continuité. Si u(n) tend vers ℓ, alors u(n+1) tend aussi vers ℓ, puisqu'il s'agit de la même suite décalée d'un rang. Par ailleurs f(u(n)) tend vers f(ℓ), grâce au transport des limites par une fonction continue. Les deux membres de l'égalité u(n+1) = f(u(n)) ont donc pour limites ℓ d'un côté et f(ℓ) de l'autre : par unicité de la limite, ℓ = f(ℓ). Sans l'hypothèse de continuité, le second passage est illégitime et la conclusion tombe.

L'équation de point fixe peut avoir PLUSIEURS solutions, et c'est l'encadrement du premier maillon qui tranche. Voir Fig. 4 : la limite est nécessairement l'abscisse d'un point d'intersection entre la courbe de f et la droite d'équation y = x. Si cette équation admet deux racines et que l'encadrement démontré exclut l'une d'elles, on conclut sans ambiguïté. Répondre en donnant les deux racines, ou en choisissant au hasard, ne vaut aucun point : la sélection doit être JUSTIFIÉE par l'intervalle établi.

La limite d’une suite récurrente est un point fixe de f

Fig. 4La courbe de f(x) = √(2x + 3) et la droite d'équation y = x se coupent en x = 3. Toute limite de la suite définie par u(n+1) = f(u(n)) est nécessairement une abscisse de ce point d'intersection — mais l'intersection ne prouve pas la convergence, elle en donne seulement la valeur possible.

Fig. 4 ↓

L'erreur de méthode la plus coûteuse consiste à commencer par le point fixe. Résoudre ℓ = f(ℓ) ne démontre RIEN sur la convergence : ce calcul suppose déjà que la limite existe. Une suite peut parfaitement diverger alors que l'équation de point fixe admet des solutions — il suffit que la suite s'éloigne du point fixe au lieu de s'en approcher. Le point fixe identifie une limite éventuelle ; ce sont l'encadrement, la monotonie et le théorème de la limite monotone qui en établissent l'existence.

Vocabulaire

→ Cartes

intervalle stableIntervalle I tel que f(I) est contenu dans I ; la suite définie par u(n+1) = f(u(n)) n'en sort jamais.
point fixeSolution de l'équation ℓ = f(ℓ) ; toute limite d'une suite récurrente à fonction continue en est un.
théorème de la limite monotoneRésultat admis : une suite croissante majorée, ou décroissante minorée, converge.
passage à la limiteOpération consistant à faire tendre n vers l'infini dans les deux membres d'une égalité ; elle exige la continuité de f.

Équation de point fixe

u_{n+1} = f(u_n), \quad u_n \to \ell, \quad f \text{ continue} \;\Longrightarrow\; \ell = f(\ell)

ℓ est la limite supposée de la suite ; l'égalité s'obtient en passant à la limite dans les deux membres, ce que la continuité de f autorise.

Stabilité de l’intervalle

f(I) \subset I \;\text{ et } u_0 \in I \;\Longrightarrow\; \forall n,\; u_n \in I

I désigne l'intervalle de travail ; la condition f(I) ⊂ I, démontrée par récurrence, garantit que la suite ne le quitte jamais.

Exemple corrigé

Étude complète d'une suite récurrente

On considère la suite définie par u(0) = 0 et, pour tout entier n, u(n+1) = √(2·u(n) + 3). Étudier sa convergence et déterminer sa limite.

Démontrer la stabilité par récurrence
L'encadrement est vrai au rang 0. S'il est vrai au rang n, alors 2u(n) + 3 appartient à [3 ; 9], donc sa racine appartient à [√3 ; 3], intervalle contenu dans [0 ; 3].
$0 \leqslant u_n \leqslant 3 \;\Longrightarrow\; 3 \leqslant 2u_n + 3 \leqslant 9 \;\Longrightarrow\; 0 \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$
Établir la croissance
On compare u(n+1)² et u(n)². La différence 2u(n) + 3 − u(n)² se factorise, et le signe de chaque facteur se lit sur l'encadrement précédent : les deux termes étant positifs, la comparaison des carrés donne celle des termes.
$2u_n + 3 - u_n^{\,2} = -(u_n - 3)(u_n + 1) \geqslant 0 \;\text{ sur } [0\,;3]$
Conclure la convergence
La suite est croissante et majorée par 3 : le théorème de la limite monotone garantit qu'elle converge vers un réel ℓ appartenant à [0 ; 3].
$(u_n) \text{ croissante et majorée} \;\Longrightarrow\; u_n \to \ell \in [0\,;3]$
Identifier la limite
La fonction racine étant continue sur [0 ; +∞[, on passe à la limite dans la relation de récurrence, puis on élève au carré et l'on factorise. Des deux racines obtenues, seule 3 appartient à l'encadrement établi.
$\ell = \sqrt{2\ell + 3} \;\Longrightarrow\; \ell^2 - 2\ell - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; \ell = 3 \;\text{ ou } \; \ell = -1$

Résultat : La suite converge vers 3. La racine −1, solution de l'équation de point fixe, est écartée parce que tous les termes appartiennent à [0 ; 3] — c'est l'encadrement du premier maillon qui tranche.

Erreurs fréquentes

Résoudre ℓ = f(ℓ) et en déduire que la suite converge : l'équation identifie la limite possible, elle n'en prouve pas l'existence.
Passer à la limite sans invoquer la continuité de f : c'est précisément l'hypothèse qui légitime l'opération.
Omettre la récurrence de stabilité : sans elle, rien ne garantit que les termes restent dans l'intervalle où f est étudiée.
Retenir une racine du point fixe extérieure à l'encadrement démontré : la limite appartient nécessairement à l'intervalle contenant tous les termes.

Révision active

Soit la suite définie par u(0) = 0 et u(n+1) = √(2·u(n) + 3). Démontrer par récurrence que 0 ⩽ u(n) ⩽ 3 pour tout n, puis que la suite est croissante, et enfin déterminer sa limite.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Vérifié · 08/2026Version complète via le réglage de profondeur — même endroit, mêmes ancres

Planifier une révision

Références et sources

Sources

Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel

Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A)

Voir aussi

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

4 sections~23 min de lecture4 compétencesVérifié · 08/2026

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Points clés

Continue mais non dérivable : la valeur absolue en 0

Points clés

Existence et unicité d'une solution de f(x) = 5

Points clés

Trois étapes de dichotomie sur x³ + x − 1 = 0

Points clés

Étude complète d'une suite récurrente

Sources

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Points clés

Continue mais non dérivable : la valeur absolue en 0

Points clés

Existence et unicité d'une solution de f(x) = 5

Points clés

Trois étapes de dichotomie sur x³ + x − 1 = 0

Points clés

Étude complète d'une suite récurrente

Sources