Calcul intégral

Intégrale d'une fonction continue : aire et signe#

~7 min de lectureBaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Calcul-integral

Aire sous la courbe d'une fonction positive

Fig. 1Pour f ≥ 0 sur [a ; b], l'intégrale ∫_a^b f(t) dt est l'aire de la région colorée, comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les bords verticaux x = 1 et x = 4.

Cas positif (définition fondatrice) : soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] (avec a ≤ b). L'intégrale de f de a à b, notée ∫_a^b f(t) dt, est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations x = a et x = b. Cette aire est un nombre réel positif ou nul.

Vocabulaire et notation : a et b sont les bornes (inférieure et supérieure) ; f(t) est l'intégrande ; la lettre t est une variable muette (on peut écrire ∫_a^b f(t) dt = ∫_a^b f(x) dx, le résultat ne dépend pas du nom de la variable). Le symbole « dt » indique la variable d'intégration. Le résultat est un nombre, pas une fonction.

Unité d'aire : si le repère a pour unités OI sur l'axe des abscisses et OJ sur l'axe des ordonnées, une unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés OI et OJ. L'intégrale donne l'aire en unités d'aire ; pour une aire en cm² (ou en unités physiques), on multiplie par l'aire d'une unité.

Cas d'une fonction de signe quelconque (aire algébrique) : pour une fonction continue qui n'est pas de signe constant, l'intégrale ∫_a^b f compte POSITIVEMENT l'aire des portions situées AU-DESSUS de l'axe des abscisses et NÉGATIVEMENT l'aire des portions situées EN DESSOUS. C'est donc une aire algébrique : si f ≤ 0 sur [a ; b], alors ∫_a^b f ≤ 0, et l'aire géométrique (toujours positive) du domaine vaut −∫_a^b f.

Conventions sur les bornes : on pose ∫_a^a f = 0 (intervalle réduit à un point) et, lorsqu'on inverse les bornes, ∫_b^a f = −∫_a^b f. Ces conventions rendent les formules valables quel que soit l'ordre de a et b.

Le programme fixe explicitement le niveau de rigueur attendu : l'intégrale est introduite à partir de la notion intuitive d'aire, « sur laquelle on ne soulève aucune difficulté théorique ». Aucune construction par sommes de Darboux ni discussion de mesurabilité n'est donc attendue — ce qui est évalué, c'est la capacité à ESTIMER, ENCADRER et CALCULER. Une conséquence pratique concerne l'unité d'aire, souvent négligée. Dans un repère où une unité vaut 2 cm sur l'axe des abscisses et 3 cm sur l'axe des ordonnées, une unité d'aire vaut 6 cm² : une intégrale égale à 4 correspond alors à une aire de 24 cm². Un énoncé qui demande une aire « en cm² » attend cette conversion, et l'oublier coûte le point d'interprétation même quand le calcul est juste.

Calculer l'AIRE GÉOMÉTRIQUE d'un domaine quand la fonction change de signe demande une étape que l'intégrale seule ne fait pas. La marche à suivre est fixe : résoudre f(x) = 0 pour trouver les points où la courbe traverse l'axe, dresser le tableau de signes de f sur l'intervalle, découper par la relation de Chasles en morceaux de signe constant, puis intégrer f là où f est positive et −f là où f est négative. Une seule intégrale sur tout l'intervalle donnerait la compensation algébrique des aires, c'est-à-dire un nombre plus petit que l'aire cherchée — parfois nul. Lisez donc la question avec attention : « calculer l'intégrale » et « calculer l'aire du domaine » ne demandent pas le même travail dès que le signe change.

Vocabulaire

→ Cartes

unité d’aireAire du rectangle bâti sur les deux unités du repère ; l'intégrale s'exprime en unités d'aire.
aire algébriqueValeur de l'intégrale, comptant positivement ce qui est au-dessus de l'axe et négativement ce qui est en dessous.
variable muetteNom de la variable d'intégration, sans effet sur le résultat : ∫f(t)dt et ∫f(x)dx sont le même nombre.
intégrandeFonction que l'on intègre, placée entre le signe ∫ et le dt.

Intégrale d'une fonction positive : aire sous la courbe

\int_a^b f(t)\,dt = \text{aire du domaine } \{\,(x,y) : a \le x \le b,\ 0 \le y \le f(x)\,\} \quad (f \ge 0)

Pour f continue et positive sur [a ; b], l'intégrale est l'aire (en unités d'aire) comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b.

Aire algébrique et fonction négative

f \le 0 \text{ sur } [a;b] \;\Rightarrow\; \int_a^b f(t)\,dt \le 0,\qquad \mathcal{A}_{\text{géom}} = -\int_a^b f(t)\,dt

Une portion située sous l'axe compte négativement : l'intégrale est alors négative, et l'aire géométrique du domaine s'obtient en prenant l'opposé.

Conventions sur les bornes

\int_a^a f(t)\,dt = 0,\qquad \int_b^a f(t)\,dt = -\int_a^b f(t)\,dt

Un intervalle réduit à un point donne une intégrale nulle ; inverser les bornes change le signe de l'intégrale.

Aire algébrique : portions positives et négatives

Fig. 2Pour une fonction de signe quelconque, l'intégrale est une aire algébrique : la partie au-dessus de l'axe (entre 0 et 2) compte positivement, la partie en dessous (entre 2 et 3,5) compte négativement.

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Exemple corrigé

Lire une intégrale comme une aire (cas positif et cas signé)

Le repère est orthonormé. 1) Soit f(x) = x sur [0 ; 3]. En reconnaissant un domaine triangulaire sous la courbe, déterminer ∫_0^3 x dx. 2) Soit g(x) = x − 2 sur [0 ; 3]. Déterminer ∫_0^3 (x − 2) dx en distinguant la portion en dessous de l'axe (sur [0 ; 2]) et la portion au-dessus (sur [2 ; 3]).

Identifier le domaine sous f
Sur [0 ; 3], f(x) = x est positive ; le domaine sous la courbe est le triangle de sommets (0, 0), (3, 0) et (3, 3).
$f(x) = x \ge 0 \text{ sur } [0;3]$
Calculer l'aire du triangle
Le triangle a une base de longueur 3 (sur l'axe des abscisses) et une hauteur de 3. Son aire vaut (base × hauteur)/2.
$\int_0^3 x\,dx = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$
Étudier le signe de g
g(x) = x − 2 s'annule en x = 2 : g ≤ 0 sur [0 ; 2] (portion sous l'axe) et g ≥ 0 sur [2 ; 3] (portion au-dessus).
$g(x) \le 0 \text{ sur } [0;2],\qquad g(x) \ge 0 \text{ sur } [2;3]$
Mesurer chaque portion (aires algébriques)
Sur [0 ; 2], le domaine sous l'axe est un triangle d'aire géométrique 2, compté négativement : −2. Sur [2 ; 3], le triangle au-dessus a une aire 1/2, compté positivement : +0,5.
$\text{sur } [0;2] : -\tfrac{2 \times 2}{2} = -2,\qquad \text{sur } [2;3] : +\tfrac{1 \times 1}{2} = +0{,}5$
Conclure par addition des aires algébriques
L'intégrale sur [0 ; 3] est la somme des deux aires algébriques.
$\int_0^3 (x - 2)\,dx = -2 + 0{,}5 = -1{,}5$

Résultat : ∫_0^3 x dx = 4,5 (aire d'un triangle) ; ∫_0^3 (x − 2) dx = −1,5 (aire algébrique : la portion sous l'axe l'emporte).

Erreurs fréquentes

Croire qu'une intégrale est toujours positive : si la courbe passe sous l'axe des abscisses, l'intégrale peut être négative (aire algébrique).
Confondre l'aire géométrique du domaine (positive) avec la valeur de l'intégrale : pour une fonction négative, l'aire du domaine est −∫_a^b f, pas ∫_a^b f.
Oublier que le résultat d'une intégrale (bornes numériques) est un NOMBRE, et écrire une fonction de x à la place.
Donner une aire en cm² sans multiplier par l'aire d'une unité : le nombre lu n'est qu'un nombre d'unités d'aire.
Calculer une aire par une seule intégrale alors que la courbe traverse l'axe : les portions se compensent et le résultat sous-estime l'aire réelle.

Révision active

On considère f(x) = x sur l'intervalle [0 ; 3]. À l'aide de l'aire du domaine sous la courbe (un triangle), conjecturer la valeur de ∫_0^3 x dx. Reprendre avec g(x) = x − 2 sur [0 ; 3] en distinguant les parties au-dessus et en dessous de l'axe des abscisses.

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Lien primitive–intégrale : théorème fondamental et calcul#

~7 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Calcul-integral

Du calcul d'aire au calcul de primitive

Fig. 3Le théorème fondamental relie l'aire (gauche) à une simple différence de valeurs d'une primitive (droite) : ∫_a^b f = F(b) − F(a). La constante de F disparaît dans la soustraction.

Théorème fondamental de l'analyse : soit f une fonction continue sur un intervalle I, et F une primitive de f sur I (c'est-à-dire F′ = f). Alors, pour tous réels a et b de I, l'intégrale de f entre a et b vaut F(b) − F(a). Ce théorème transforme un calcul d'aire en un simple calcul de primitive.

Notation pratique (le crochet) : on note F(b) − F(a) = [F(x)]_a^b. La méthode de calcul est donc : (1) déterminer une primitive F de f ; (2) évaluer F en b puis en a ; (3) faire la différence F(b) − F(a). Le choix de la constante de F est indifférent : elle disparaît dans la soustraction.

Fonction définie par une intégrale (cas du programme) : pour f continue et POSITIVE sur I et a fixé dans I, la fonction G définie par G(x) = ∫_a^x f(t) dt est dérivable sur I, de dérivée G′ = f, et s'annule en a (G(a) = 0) : c'est la primitive de f qui s'annule en a. Plus généralement, le programme admet que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ; on en déduit, pour f continue de signe quelconque, le théorème fondamental ∫_a^b f = F(b) − F(a).

Méthode de rédaction attendue au Bac : annoncer une primitive (en la justifiant si nécessaire), écrire le crochet [F(x)]_a^b, puis substituer soigneusement les bornes. On vérifie toujours une primitive en la dérivant pour retrouver l'intégrande f.

Intégration par parties : si u et v sont dérivables à dérivées continues sur [a ; b], alors ∫_a^b u(t) v′(t) dt = [u(t) v(t)]_a^b − ∫_a^b u′(t) v(t) dt. Elle sert lorsqu'on sait primitiver v′ mais pas directement u·v′ (par exemple x·e^x, x·cos x, ln x) ; on choisit u et v′ de sorte que la nouvelle intégrale soit plus simple.

Le théorème fondamental est une DÉMONSTRATION EXIGIBLE dans le cas d'une fonction positive croissante, et l'argument est purement géométrique. Posons F(x) = ∫_a^x f(t) dt et prenons h > 0. Entre x et x + h, la fonction croissante f reste comprise entre f(x) et f(x + h) : l'aire de la bande, qui vaut F(x + h) − F(x), est donc encadrée par les aires des deux rectangles de largeur h et de hauteurs f(x) et f(x + h). On obtient f(x)·h ⩽ F(x + h) − F(x) ⩽ f(x + h)·h, puis, en divisant par h > 0, f(x) ⩽ (F(x + h) − F(x))/h ⩽ f(x + h). La continuité de f fait tendre le membre de droite vers f(x) quand h tend vers 0 ; par encadrement, le taux d'accroissement tend vers f(x). Donc F est dérivable de dérivée f : c'est la primitive de f qui s'annule en a. Pour une primitive quelconque G, la différence G − F est constante, et G(b) − G(a) = F(b) − F(a) = ∫_a^b f.

L'intégration par parties est elle aussi une démonstration exigible, et elle se déduit en trois lignes de la dérivée d'un produit. Pour u et v dérivables à dérivées continues, (uv)′ = u′v + uv′ sur [a ; b]. Le membre de gauche a pour primitive uv, donc son intégrale de a à b vaut [u(t)v(t)]_a^b. En intégrant le membre de droite par linéarité, on obtient [u v]_a^b = ∫_a^b u′v + ∫_a^b uv′, d'où la formule en isolant l'une des deux intégrales. Le choix de u et de v′ obéit ensuite à une règle simple : on DÉRIVE ce qui se simplifie en dérivant — une puissance t^n, qui perd un degré, ou ln(t), qui devient 1/t — et l'on PRIMITIVE ce qui ne se complique pas, typiquement e^t, cos t ou sin t. Si la nouvelle intégrale est plus difficile que l'ancienne, c'est le signe qu'il fallait échanger les rôles.

Vocabulaire

→ Cartes

théorème fondamentalRésultat reliant intégrale et primitive : ∫_a^b f = F(b) − F(a) pour toute primitive F de f.
crochetNotation [F(x)]_a^b désignant la différence F(b) − F(a).
intégration par partiesFormule ∫u v′ = [u v] − ∫u′ v, déduite de la dérivée d'un produit ; démonstration exigible.
taux d’accroissementQuotient (F(x+h) − F(x))/h, dont la limite en 0 définit la dérivée.

Théorème fondamental de l'analyse

\int_a^b f(t)\,dt = \big[F(t)\big]_a^b = F(b) - F(a) \quad\text{où } F'=f

Pour calculer une intégrale, on détermine une primitive F de f, puis on évalue F(b) − F(a) : le calcul d'aire se ramène à un calcul de primitive.

Fonction définie par une intégrale (cas positif)

f \ge 0 \text{ continue : } G(x) = \int_a^x f(t)\,dt \;\Rightarrow\; G'(x) = f(x) \text{ et } G(a) = 0

Pour f continue positive, x ↦ ∫_a^x f est la primitive de f qui s'annule en a. Le programme admet par ailleurs que toute fonction continue admet des primitives, ce qui fonde le théorème fondamental pour une fonction de signe quelconque.

Intégration par parties

\int_a^b u(t)\,v'(t)\,dt = \big[u(t)\,v(t)\big]_a^b - \int_a^b u'(t)\,v(t)\,dt

On échange la dérivée d'un facteur contre celle de l'autre ; on choisit u et v′ de manière que la nouvelle intégrale soit plus facile à calculer.

Exemple corrigé

Calculer une intégrale par une primitive, puis par intégration par parties

1) Calculer I = ∫_0^2 (3x² − 2x + 1) dx en précisant une primitive. 2) Calculer J = ∫_0^1 x·e^x dx à l'aide d'une intégration par parties.

Déterminer une primitive de l'intégrande de I
On primitive terme à terme : 3x² ↦ x³, −2x ↦ −x², 1 ↦ x. Une primitive est donc F(x) = x³ − x² + x.
$F(x) = x^3 - x^2 + x,\qquad F'(x) = 3x^2 - 2x + 1$
Appliquer le théorème fondamental pour I
On évalue F(2) − F(0) à l'aide du crochet.
$I = \big[x^3 - x^2 + x\big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6$
Poser l'intégration par parties pour J
On choisit u(x) = x (donc u′ = 1) et v′(x) = e^x (donc v = e^x), de sorte que la nouvelle intégrale ∫ u′v = ∫ e^x soit immédiate.
$u = x,\ u' = 1,\qquad v' = e^x,\ v = e^x$
Écrire la formule d'intégration par parties
On applique ∫ u v′ = [u v] − ∫ u′ v sur [0 ; 1].
$J = \big[x\,e^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx$
Calculer chaque morceau et conclure
Le crochet vaut 1·e¹ − 0·e⁰ = e ; l'intégrale restante vaut [e^x]_0^1 = e − 1. On soustrait.
$J = e - \big[e^x\big]_0^1 = e - (e - 1) = 1$

Résultat : I = ∫_0^2 (3x² − 2x + 1) dx = 6 ; J = ∫_0^1 x·e^x dx = 1 (par intégration par parties).

Erreurs fréquentes

Se tromper dans l'ordre de la soustraction : c'est F(b) − F(a) (borne du HAUT moins borne du BAS), pas l'inverse.
Choisir une primitive incorrecte (oubli d'un coefficient de composée, par exemple primitive de e^(2x) qui est ½e^(2x) et non e^(2x)) : on doit toujours vérifier en dérivant.
En intégration par parties, mal choisir u et v′ (la nouvelle intégrale devient plus compliquée) ou oublier le crochet [u v]_a^b devant la nouvelle intégrale.
Choisir u et v′ au hasard dans une intégration par parties : si la nouvelle intégrale est plus compliquée, il faut échanger les rôles, pas persévérer.
Oublier le crochet [u v]_a^b devant la nouvelle intégrale, ou lui donner le mauvais signe : la formule est [u v] MOINS l'intégrale de u′v.

Révision active

Calculer les intégrales suivantes en précisant à chaque fois la primitive utilisée : a) ∫_1^3 (2x + 1) dx ; b) ∫_0^1 e^(2x) dx ; c) ∫_1^e (ln x) dx (on pourra utiliser une intégration par parties avec u = ln x et v′ = 1).

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Rappel actif

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Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Propriétés de l'intégrale : linéarité, Chasles, positivité, comparaison#

~7 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Calcul-integral

Relation de Chasles : découpage d'une aire

Fig. 4La relation de Chasles découpe l'aire de a à b en deux parts par la verticale x = c : l'aire de a à c (claire) plus l'aire de c à b (foncée).

Linéarité : pour f et g continues sur [a ; b] et α, β réels, ∫_a^b (αf + βg) = α∫_a^b f + β∫_a^b g. En pratique, on intègre terme à terme et on sort les facteurs constants devant le signe intégrale. C'est la propriété qui permet de découper une intégrale compliquée en intégrales plus simples.

Relation de Chasles : pour f continue sur un intervalle contenant a, b et c, ∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f. Géométriquement, elle traduit le découpage d'une aire en deux parts (de a à c, puis de c à b) ; elle est indispensable pour intégrer une fonction définie par morceaux ou changeant de signe.

Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] (avec a ≤ b), alors ∫_a^b f ≥ 0. C'est la traduction directe de « aire ≥ 0 ». Attention : la condition a ≤ b est essentielle, car inverser les bornes change le signe.

Comparaison (ordre) : si f ≤ g sur [a ; b] (avec a ≤ b), alors ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g. On l'obtient en appliquant la positivité à la fonction g − f ≥ 0. Cette propriété sert à ENCADRER une intégrale difficile à calculer en encadrant l'intégrande par des fonctions simples.

Inégalité de la moyenne (conséquence usuelle) : si m ≤ f(x) ≤ M pour tout x de [a ; b] (a < b), alors m(b − a) ≤ ∫_a^b f ≤ M(b − a). On encadre ainsi une intégrale par les aires de deux rectangles, ce qui prépare la notion de valeur moyenne.

L'absence de règle pour un produit se vérifie sur un exemple d'une ligne, et il vaut mieux l'avoir fait une fois que de retenir un interdit. Sur [0 ; 1], l'intégrale de la fonction identité vaut 1/2. Si la « linéarité » s'étendait au produit, l'intégrale de x·x devrait valoir 1/2 × 1/2 = 1/4. Or l'intégrale de x² sur [0 ; 1] vaut 1/3, qui n'est pas 1/4. Le contre-exemple clôt la question : il n'existe aucune formule donnant l'intégrale d'un produit à partir des intégrales des facteurs, et c'est précisément le vide que vient combler l'intégration par parties. Le même raisonnement écarte le quotient et la composée.

La relation de Chasles se lit dans les deux sens, et le second est celui qu'on oublie. Dans le sens du DÉCOUPAGE, elle permet d'intégrer une fonction définie par morceaux ou de séparer les zones de signe constant : pour la valeur absolue de x − 1 sur [0 ; 2], on coupe en 1, on intègre 1 − x sur [0 ; 1] puis x − 1 sur [1 ; 2], et l'on additionne 1/2 et 1/2 pour obtenir 1. Dans le sens du RECOLLEMENT, elle permet de reconstituer une intégrale à partir de deux morceaux calculés séparément, ou d'écrire une intégrale de a à b comme différence de deux intégrales partant d'un même point. Notez que la convention ∫_b^a = −∫_a^b rend la relation valable quel que soit l'ordre de a, b et c, y compris lorsque c est extérieur au segment [a ; b].

Vocabulaire

→ Cartes

linéaritéPropriété ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g, valable pour les sommes et les multiples constants seulement.
relation de ChaslesÉgalité ∫_a^b = ∫_a^c + ∫_c^b, valable quel que soit l'ordre de a, b et c.
intégration des inégalitésPassage de f ⩽ g sur [a ; b] à ∫f ⩽ ∫g, à condition que a ⩽ b et que l'intervalle soit le même.
inégalité de la moyenneEncadrement m(b − a) ⩽ ∫_a^b f ⩽ M(b − a) déduit d'un encadrement de f par deux constantes.

Linéarité de l'intégrale

\int_a^b \big(\alpha f + \beta g\big) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g

On intègre terme à terme et on sort les constantes ; cette propriété ne s'applique qu'aux sommes et multiples, jamais aux produits.

Relation de Chasles

\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f \qquad (\text{relation de Chasles})

L'aire de a à b est la somme de l'aire de a à c et de l'aire de c à b ; indispensable pour les fonctions définies par morceaux.

Positivité et comparaison (a ≤ b)

f \ge 0 \text{ sur } [a;b] \Rightarrow \int_a^b f \ge 0,\qquad f \le g \text{ sur } [a;b] \Rightarrow \int_a^b f \le \int_a^b g

Une fonction positive a une intégrale positive ; l'ordre se conserve par intégration. On applique la positivité à g − f pour obtenir la comparaison.

Inégalité de la moyenne

m \le f \le M \text{ sur } [a;b] \;\Rightarrow\; m(b - a) \le \int_a^b f \le M(b - a)

On encadre l'intégrale par les aires des rectangles de hauteurs m et M sur la largeur (b − a) : un outil d'encadrement direct.

Exemple corrigé

Linéarité, Chasles et encadrement par comparaison

1) Calculer A = ∫_0^1 (4x³ − 6x² + 2) dx en utilisant la linéarité. 2) Montrer, sans calculer la primitive, que 0 ≤ ∫_0^1 x²·e^(−x) dx ≤ 1/3.

Décomposer A par linéarité
On intègre terme à terme et on sort les constantes : A = 4∫_0^1 x³ dx − 6∫_0^1 x² dx + 2∫_0^1 1 dx.
$A = 4\int_0^1 x^3\,dx - 6\int_0^1 x^2\,dx + 2\int_0^1 dx$
Calculer chaque intégrale élémentaire
∫_0^1 x³ = [x⁴/4]_0^1 = 1/4 ; ∫_0^1 x² = [x³/3]_0^1 = 1/3 ; ∫_0^1 1 = 1.
$A = 4\cdot\tfrac{1}{4} - 6\cdot\tfrac{1}{3} + 2\cdot 1 = 1 - 2 + 2 = 1$
Encadrer l'intégrande de la seconde intégrale
Sur [0 ; 1], on a 0 ≤ e^(−x) ≤ 1 (car −x ≤ 0). En multipliant par x² ≥ 0, on obtient 0 ≤ x²·e^(−x) ≤ x².
$0 \le e^{-x} \le 1 \;\Rightarrow\; 0 \le x^2 e^{-x} \le x^2 \quad\text{sur } [0;1]$
Intégrer l'encadrement (comparaison)
Comme l'ordre se conserve par intégration sur [0 ; 1], on intègre les trois membres.
$\int_0^1 0\,dx \le \int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx \le \int_0^1 x^2\,dx$
Conclure l'encadrement
L'intégrale de 0 vaut 0 et celle de x² vaut 1/3.
$0 \le \int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx \le \frac{1}{3}$

Résultat : A = 1 (par linéarité) ; et 0 ≤ ∫_0^1 x²·e^(−x) dx ≤ 1/3 (par comparaison, sans calculer l'intégrale).

Erreurs fréquentes

« Linéariser » un produit ou un quotient : la linéarité concerne les sommes et les multiples par une constante, jamais ∫(f·g) = ∫f · ∫g (qui est FAUX).
Appliquer la positivité ou la comparaison avec des bornes en désordre (b < a) : ces propriétés exigent a ≤ b.
Comparer des intégrales sur des intervalles différents : la comparaison ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g suppose le MÊME intervalle [a ; b] pour les deux.
Écrire ∫(f·g) = ∫f × ∫g : le contre-exemple de x et x² sur [0 ; 1] suffit à l'écarter (1/3 contre 1/4).
Intégrer une valeur absolue sans découper : la fonction change d'expression au passage du zéro, et une seule primitive ne convient pas.

Révision active

1) À l'aide de la linéarité, calculer ∫_0^1 (4x³ − 6x² + 2) dx. 2) Une fonction f vérifie f(x) ≤ x² pour tout x de [0 ; 1] ; en déduire un majorant de ∫_0^1 f(x) dx. 3) Montrer que 0 ≤ ∫_0^1 x²·e^(−x) dx ≤ 1/3 en encadrant e^(−x).

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Valeur moyenne et aires entre deux courbes#

~8 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Calcul-integral

Valeur moyenne : rectangle d'aire égale à l'intégrale

Fig. 5La valeur moyenne μ est la hauteur de la droite horizontale telle que le rectangle de base [a ; b] et de hauteur μ a la même aire que le domaine sous la courbe : ∫_a^b f = μ·(b − a).

Valeur moyenne : la valeur moyenne d'une fonction continue f sur un intervalle [a ; b] (avec a < b) est le réel μ = (1/(b − a))·∫_a^b f(t) dt. C'est la hauteur d'un rectangle de base [a ; b] dont l'aire serait égale à l'intégrale de f : intégrer puis diviser par la longueur de l'intervalle revient à « moyenner » les valeurs de f.

Interprétation géométrique : le rectangle de hauteur μ et de largeur (b − a) a exactement la même aire que le domaine sous la courbe : ∫_a^b f = μ·(b − a). La droite horizontale y = μ « égalise » les creux et les bosses de la courbe.

Aire entre deux courbes : soient f et g continues sur [a ; b] avec f ≥ g sur tout l'intervalle. L'aire du domaine compris entre les deux courbes (et les droites x = a, x = b) vaut ∫_a^b (f(t) − g(t)) dt. On intègre toujours « la courbe du dessus moins la courbe du dessous ».

Méthode pour une aire entre courbes : (1) déterminer les points d'intersection (en résolvant f(x) = g(x)) qui donnent souvent les bornes ; (2) étudier la position relative pour savoir laquelle est au-dessus (étude du signe de f − g) ; (3) intégrer la différence (courbe du haut − courbe du bas). Si la position s'inverse, découper par la relation de Chasles et intégrer chaque morceau dans le bon ordre.

Cohérence avec le cas d'une seule courbe : l'aire entre une courbe et l'axe des abscisses sur une zone où f ≥ 0 est le cas particulier g = 0 ; et lorsque f ≤ 0, l'aire géométrique vaut ∫_a^b (0 − f) = −∫_a^b f, ce qui retrouve l'aire algébrique de la première section.

Interprétation dans un contexte issu d'une autre discipline : l'intégrale et la valeur moyenne se lisent selon la grandeur modélisée. Si f(t) est un débit (en m³/h), ∫_a^b f est le volume total écoulé entre les instants a et b et μ le débit moyen ; si v(t) est une vitesse (en m/s), ∫_a^b v est la distance parcourue et μ la vitesse moyenne ; si P(t) est une puissance (en W), ∫_a^b P est l'énergie consommée et μ la puissance moyenne. On veille toujours à donner l'unité du résultat (produit de l'unité de f par celle de t) et à formuler une phrase d'interprétation.

Le cas où les deux courbes se croisent mérite d'être traité une fois avec des nombres, car l'écart entre le bon et le mauvais calcul y est spectaculaire. Prenons f(x) = x et g(x) = x² sur [0 ; 2]. Les courbes se coupent en 0 et en 1 ; sur [0 ; 1] la droite est au-dessus de la parabole, sur [1 ; 2] c'est l'inverse. L'aire du domaine vaut donc l'intégrale de x − x² sur [0 ; 1], soit 1/2 − 1/3 = 1/6, PLUS l'intégrale de x² − x sur [1 ; 2], soit 5/6 : au total 1 unité d'aire. Si l'on se contente d'une intégrale unique de x − x² sur [0 ; 2], on obtient 2 − 8/3 = −2/3, un nombre négatif qui n'est l'aire de rien. La leçon tient en une phrase : les points d'intersection ne servent pas seulement à trouver les bornes, ils commandent le découpage.

Vocabulaire

→ Cartes

valeur moyenneRéel μ = (1/(b − a))∫_a^b f, hauteur du rectangle de même base et de même aire que le domaine sous la courbe.
aire entre deux courbesIntégrale de la différence « courbe du dessus moins courbe du dessous », découpée à chaque intersection.
position relativeOrdre des deux courbes sur un intervalle, déterminé par le signe de f − g.
point d’intersectionSolution de f(x) = g(x) ; elle fournit une borne et impose un découpage.

Valeur moyenne de f sur [a ; b]

\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,dt \qquad (a < b)

On somme (intègre) les valeurs de f puis on divise par la longueur de l'intervalle : μ est la hauteur du rectangle d'aire égale à l'intégrale.

Rectangle d'aire égale à l'intégrale

\int_a^b f(t)\,dt = \mu \cdot (b - a)

L'aire sous la courbe est égale à celle du rectangle de base (b − a) et de hauteur μ : c'est l'interprétation géométrique de la valeur moyenne.

Aire entre deux courbes

\mathcal{A} = \int_a^b \big(f(t) - g(t)\big)\,dt \qquad (f \ge g \text{ sur } [a;b])

Lorsque f est au-dessus de g sur [a ; b], l'aire entre les deux courbes est l'intégrale de la différence « du dessus moins du dessous ».

Aire entre deux courbes

Fig. 6Aire entre la droite f(x) = x + 2 (au-dessus) et la parabole g(x) = x² (en dessous) sur [−1 ; 2] : la région colorée vaut ∫ de −1 à 2 de (f − g). Les bornes sont les abscisses des points d'intersection.

Exemple corrigé

Valeur moyenne d'une fonction, puis aire entre deux courbes

1) Déterminer la valeur moyenne μ de la fonction f(x) = x² sur l'intervalle [0 ; 3]. 2) Calculer l'aire du domaine compris entre la droite d'équation y = x + 2 et la parabole d'équation y = x².

Calculer l'intégrale de f sur [0 ; 3]
Une primitive de x² est x³/3 ; on applique le théorème fondamental.
$\int_0^3 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^3 = \tfrac{27}{3} - 0 = 9$
Diviser par la longueur de l'intervalle
La valeur moyenne s'obtient en divisant l'intégrale par (b − a) = 3 − 0 = 3.
$\mu = \frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{9}{3} = 3$
Déterminer les bornes par intersection
On résout x + 2 = x², soit x² − x − 2 = 0, dont les solutions sont x = −1 et x = 2. Ce sont les abscisses des points d'intersection, donc les bornes.
$x^2 - x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -1 \text{ ou } x = 2$
Justifier la position relative
Sur [−1 ; 2], la différence (x + 2) − x² = −x² + x + 2 est positive (elle s'annule aux bornes et son coefficient dominant est négatif) : la droite est au-dessus de la parabole.
$(x + 2) - x^2 \ge 0 \text{ sur } [-1\,;2]$
Intégrer la différence (haut − bas)
L'aire est ∫ de −1 à 2 de (x + 2 − x²). Une primitive de −x² + x + 2 est −x³/3 + x²/2 + 2x.
$\mathcal{A} = \Big[-\tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^2}{2} + 2x\Big]_{-1}^{2} = \tfrac{10}{3} - \big(-\tfrac{7}{6}\big) = \frac{9}{2}$

Résultat : La valeur moyenne de x² sur [0 ; 3] est μ = 3 ; l'aire entre la droite y = x + 2 et la parabole y = x² vaut 9/2 = 4,5 unités d'aire.

Explication pas à pas5 étapes

1
On veut comparer une droite et une parabole : f(x) = x + 2 et g(x) = x². L'aire « entre les deux courbes » est la région prise en sandwich entre elles. Première étape : trouver où les deux courbes se rencontrent, car ces points donnent les bornes d'intégration.
$f(x) = x + 2,\qquad g(x) = x^2$
2
On résout l'équation d'intersection f(x) = g(x). Cela donne x² − x − 2 = 0, qui se factorise en (x + 1)(x − 2) = 0. Les abscisses des points d'intersection sont donc x = −1 et x = 2 : ce seront nos bornes.
$x + 2 = x^2 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff x = -1 \text{ ou } x = 2$
3
Deuxième étape : savoir quelle courbe est au-dessus. Sur [−1 ; 2], la différence (x + 2) − x² est positive : c'est la droite qui domine la parabole. On intègre donc « le dessus moins le dessous », c'est-à-dire f − g.
$\mathcal{A} = \int_{-1}^{2} \big(x + 2 - x^2\big)\,dx$
4
On primitive : une primitive de −x² + x + 2 est −x³/3 + x²/2 + 2x. On applique le théorème fondamental entre −1 et 2, et le calcul donne une aire de neuf demis, soit 4,5 unités d'aire.
$\mathcal{A} = \Big[-\tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^2}{2} + 2x\Big]_{-1}^{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5$
5
Visualisons enfin la région : la parabole et la droite délimitent un domaine en forme de lentille entre x = −1 et x = 2. Son aire, 4,5 unités d'aire, est exactement ce que mesure l'intégrale de la différence des deux fonctions.
Aire entre f(x) = x + 2 et g(x) = x²

Objectif Bac

Calculer la valeur moyenne d'une fonction sur [a ; b] (intégrer puis diviser par b − a) et l'interpréter comme la hauteur d'un rectangle d'aire égale à l'intégrale.
Déterminer l'aire d'un domaine entre deux courbes : trouver les bornes par intersection, justifier qui est au-dessus, puis intégrer f − g.
Découper correctement par Chasles quand les deux courbes échangent leur position relative sur l'intervalle.
Interpréter une intégrale ou une valeur moyenne dans un contexte issu d'une autre discipline (volume à partir d'un débit, distance à partir d'une vitesse, énergie à partir d'une puissance), en précisant l'unité et le sens du résultat.
Résoudre f(x) = g(x) pour trouver les points d'intersection, puis DÉCOUPER par Chasles à chacun d'eux avant d'intégrer la différence.

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser par (b − a) dans la valeur moyenne, ou diviser par b (au lieu de b − a).
Intégrer g − f au lieu de f − g (ou ignorer la position relative), ce qui donne une aire négative ; l'aire géométrique est toujours « du dessus moins du dessous ».
Ne pas découper quand les courbes se croisent dans l'intervalle : une seule intégrale f − g compte alors algébriquement et sous-estime l'aire réelle.
Intégrer f − g sur tout l'intervalle quand les courbes se croisent : sur x et x² entre 0 et 2, cela donne −2/3 au lieu de l'aire 1.

Révision active

1) Déterminer la valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 3]. 2) Déterminer l'aire du domaine compris entre les courbes de f(x) = x + 2 et g(x) = x² sur l'intervalle délimité par leurs points d'intersection (résoudre d'abord x + 2 = x²).

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Suites d'intégrales et relation de récurrence#

~7 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Calcul-integral

Une suite d'intégrales : les aires décroissent avec n

Fig. 7Sur [0 ; 1], les courbes de x^n·e^x s'abaissent quand n augmente (de e^x à x²·e^x) : l'aire sous la courbe, c'est-à-dire I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx, décroît avec n. La région colorée est I_1 = ∫_0^1 x·e^x dx.

Suite d'intégrales : on définit fréquemment une suite (I_n) en faisant intervenir l'entier n dans l'intégrande, par exemple I_n = ∫_a^b f_n(t) dt où f_n dépend de n (souvent f_n(t) = t^n·g(t)). À chaque entier n correspond ainsi un nombre I_n, et l'on étudie la suite (I_n) comme une suite ordinaire (signe, sens de variation, limite).

Signe et monotonie par comparaison : on raisonne sur l'intégrande avant d'intégrer. Si f_n ≥ 0 sur [a ; b], alors I_n ≥ 0 (positivité). Si, pour tout t de [a ; b], f_{n+1}(t) ≤ f_n(t), alors I_{n+1} ≤ I_n (comparaison) : la suite est décroissante. Typiquement, sur [0 ; 1] on a 0 ≤ t^{n+1} ≤ t^n, ce qui rend la suite I_n = ∫_0^1 t^n·g(t) dt (avec g ≥ 0) positive et décroissante.

Relation de récurrence par intégration par parties : pour exprimer I_n en fonction de I_{n−1}, on intègre par parties en dérivant la puissance t^n. On obtient une relation du type I_n = (terme de bord) − n·I_{n−1}, qui permet de calculer les premiers termes de proche en proche à partir d'un terme initial calculé directement (souvent I_0).

Limite d'une suite d'intégrales : on encadre l'intégrande pour encadrer I_n, puis on conclut par le théorème des gendarmes. Par exemple, sur [0 ; 1], 0 ≤ t^n·e^t ≤ e·t^n donne 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1), donc I_n → 0 quand n → +∞. Une suite décroissante et minorée par 0 converge ; l'encadrement précise alors la valeur de la limite.

Démarche type au Bac : (1) justifier le signe et le sens de variation de (I_n) par positivité/comparaison sur l'intégrande ; (2) établir une relation de récurrence par intégration par parties ; (3) calculer un ou deux termes ; (4) déterminer la limite par encadrement. On ne calcule presque jamais I_n « en bloc » : on exploite la récurrence et les encadrements.

Toute l'étude d'une suite d'intégrales repose sur un principe unique : on raisonne sur l'INTÉGRANDE, jamais sur l'intégrale. Signe, comparaison, encadrement se lisent sur les fonctions, puis l'intégration transporte les inégalités. Une précaution s'impose pourtant, car le sens de la comparaison dépend de l'intervalle. Sur [0 ; 1], on a 0 ⩽ t ⩽ 1 donc t^(n+1) = t × t^n ⩽ t^n : la suite des intégrales décroît. Sur [1 ; 2] en revanche, t ⩾ 1 donne t^(n+1) ⩾ t^n, et la même suite d'intégrales CROÎT. Le réflexe consistant à écrire « t^(n+1) ⩽ t^n donc la suite décroît » sans regarder l'intervalle est donc faux une fois sur deux. Vérifiez toujours où vit t avant de comparer ses puissances.

Vocabulaire

→ Cartes

suite d’intégralesSuite (I_n) dont chaque terme est une intégrale dépendant de l'entier n, étudiée comme une suite ordinaire.
relation de récurrenceÉgalité reliant I_n à I_{n−1}, obtenue par intégration par parties en dérivant la puissance.
encadrement de l’intégrandeInégalité portant sur la fonction, transportée à l'intégrale par intégration des inégalités.
terme de bordCrochet [u v]_a^b apparaissant dans la relation de récurrence issue d'une intégration par parties.

Suite d'intégrales

I_n = \int_a^b f_n(t)\,dt \quad\text{(une suite : un nombre } I_n \text{ par entier } n)

L'entier n intervient dans l'intégrande ; à chaque n correspond le réel I_n, et l'on étudie (I_n) comme une suite (signe, variation, limite).

Positivité et décroissance par comparaison

0 \le t^{n+1} \le t^n \text{ sur } [0;1] \;\Rightarrow\; 0 \le I_{n+1} \le I_n \quad (f_n = t^n g,\ g \ge 0)

On compare les intégrandes sur l'intervalle : une inégalité entre f_{n+1} et f_n donne l'inégalité correspondante entre les intégrales, d'où la monotonie de (I_n).

Relation de récurrence (par intégration par parties)

I_n = \int_0^1 x^n e^x\,dx \;\Rightarrow\; I_n = e - n\,I_{n-1} \quad (n \ge 1)

Une intégration par parties avec u = x^n et v′ = e^x fait baisser l'exposant et relie I_n à I_{n−1} : c'est la relation de récurrence.

Limite par encadrement (gendarmes)

0 \le I_n \le \frac{e}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \;\Rightarrow\; \lim_{n \to +\infty} I_n = 0

Sur [0 ; 1], t^n e^t ≤ e·t^n donne I_n ≤ e/(n + 1) ; l'encadrement par 0 et e/(n + 1) entraîne, par le théorème des gendarmes, que I_n tend vers 0.

Exemple corrigé

Étudier la suite I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx (récurrence et limite)

Pour tout entier naturel n, on pose I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx. 1) Calculer I_0. 2) Établir, pour n ≥ 1, la relation I_n = e − n·I_{n−1} par une intégration par parties. 3) En déduire les valeurs exactes de I_1 et I_2. 4) Montrer que (I_n) est positive et décroissante, puis que 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1) ; en déduire la limite de (I_n).

Calculer le terme initial I₀
Pour n = 0, x^0 = 1, donc I_0 = ∫_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e − 1.
$I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = \big[e^x\big]_0^1 = e - 1$
Poser l'intégration par parties pour I_n
Pour n ≥ 1, on choisit u(x) = x^n (donc u′ = n·x^{n−1}) et v′(x) = e^x (donc v = e^x), afin de faire baisser l'exposant de la puissance.
$u = x^n,\ u' = n\,x^{n-1},\qquad v' = e^x,\ v = e^x$
Appliquer la formule et reconnaître In−₁
Le crochet vaut [x^n·e^x]_0^1 = 1·e − 0 = e ; l'intégrale restante est ∫_0^1 n·x^{n−1}·e^x dx = n·I_{n−1}.
$I_n = \big[x^n e^x\big]_0^1 - \int_0^1 n\,x^{n-1}e^x\,dx = e - n\,I_{n-1}$
Calculer I₁ et I₂ de proche en proche
Avec la récurrence : I_1 = e − 1·I_0 = e − (e − 1) = 1, puis I_2 = e − 2·I_1 = e − 2.
$I_1 = e - (e - 1) = 1,\qquad I_2 = e - 2\cdot 1 = e - 2$
Signe et sens de variation par comparaison
Sur [0 ; 1], x^n·e^x ≥ 0 donc I_n ≥ 0 ; et 0 ≤ x^{n+1} ≤ x^n entraîne x^{n+1}·e^x ≤ x^n·e^x, d'où I_{n+1} ≤ I_n : la suite (I_n) est positive et décroissante.
$0 \le x^{n+1}e^x \le x^n e^x \text{ sur } [0;1] \;\Rightarrow\; 0 \le I_{n+1} \le I_n$
Encadrer puis conclure sur la limite
Sur [0 ; 1], e^x ≤ e, donc x^n·e^x ≤ e·x^n ; en intégrant, I_n ≤ e·∫_0^1 x^n dx = e·1/(n + 1). Avec I_n ≥ 0, on a 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1) → 0 : par le théorème des gendarmes, I_n → 0.
$0 \le I_n \le e\int_0^1 x^n\,dx = \frac{e}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,\quad\text{donc } \lim_{n\to+\infty} I_n = 0$

Résultat : I_0 = e − 1 ; la relation de récurrence est I_n = e − n·I_{n−1} (n ≥ 1), d'où I_1 = 1 et I_2 = e − 2. La suite (I_n) est positive et décroissante, encadrée par 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1), donc lim I_n = 0.

Erreurs fréquentes

Vouloir « passer la limite sous l'intégrale » sans justification : on encadre d'abord l'intégrande, puis on intègre l'encadrement (théorème des gendarmes), on ne remplace pas n par +∞ dans l'intégrande.
Se tromper dans l'intégration par parties qui fournit la récurrence : il faut dériver la puissance t^n (u = t^n, donc u′ = n·t^{n−1}) pour faire baisser l'exposant et faire apparaître I_{n−1} ; choisir l'autre répartition ne simplifie rien.
Conclure « (I_n) décroissante donc tend vers 0 » : une suite décroissante minorée converge, mais pas nécessairement vers 0 ; la limite doit être obtenue par un encadrement, pas par la seule monotonie.
Affirmer qu'une suite d'intégrales de t^n décroît sans regarder l'intervalle : sur [1 ; 2] elle croît, puisque t^(n+1) ⩾ t^n dès que t ⩾ 1.

Révision active

Pour tout entier naturel n, on pose I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx. 1) Calculer I_0. 2) Montrer que pour tout n ≥ 1, I_n = e − n·I_{n−1} (intégration par parties). 3) En déduire I_1 et I_2. 4) Justifier que (I_n) est décroissante et que, pour tout n, 0 ≤ I_n ≤ e/(n + 1) ; en déduire la limite de (I_n).

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Approximation d'une intégrale (méthode des rectangles, Python)#

~8 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Calcul-integral

Méthode des rectangles : découpage de l'aire

Fig. 8Approximation de l'aire sous la courbe par des rectangles de largeur commune h : la somme de leurs aires approche ∫_a^b f, et l'approximation s'affine quand le nombre de rectangles augmente.

Idée des sommes de Riemann : pour une fonction continue positive, on approche l'aire sous la courbe en la découpant en n bandes verticales de même largeur, chaque bande étant remplacée par un rectangle. La somme des aires des rectangles approche l'intégrale, et l'approximation s'améliore quand n augmente : c'est la méthode des rectangles.

Subdivision régulière : on partage [a ; b] en n sous-intervalles de même longueur h = (b − a)/n. Les points de subdivision sont x_k = a + k·h pour k = 0, 1, …, n. La largeur commune des rectangles est h.

Rectangles à gauche / à droite : avec la hauteur prise au bord GAUCHE de chaque bande, la somme est S_g = h·Σ_{k=0}^{n−1} f(x_k) ; avec la hauteur au bord DROIT, S_d = h·Σ_{k=1}^{n} f(x_k). Pour une fonction croissante, S_g sous-estime et S_d sur-estime l'intégrale (et inversement pour une fonction décroissante), ce qui fournit un ENCADREMENT de ∫_a^b f.

Convergence : lorsque n tend vers +∞ (donc h tend vers 0), les sommes de rectangles à gauche et à droite tendent vers une même limite, égale à l'intégrale ∫_a^b f(t) dt. Au programme, l'intégrale est définie à partir de l'aire (cas d'une fonction positive) puis à l'aide des primitives ; les sommes de rectangles fournissent un encadrement qui converge vers l'intégrale et permet de l'approcher numériquement.

Algorithme Python (somme de rectangles à gauche) : on initialise une variable d'aire à 0, on calcule le pas h = (b − a)/n, puis on cumule dans une boucle for les aires h·f(a + k·h) pour k de 0 à n − 1. La fonction renvoie l'aire approchée. On augmente n pour gagner en précision.

L'écart entre les deux sommes de rectangles se calcule exactement, et il donne la précision de la méthode sans aucune théorie supplémentaire. Pour une fonction monotone, les sommes à gauche et à droite portent sur les mêmes hauteurs à l'exception de la première et de la dernière : par télescopage, S_d − S_g = h × (f(b) − f(a)), soit (b − a)(f(b) − f(a))/n. Comme l'intégrale est comprise entre les deux sommes, cette différence MAJORE l'erreur commise. La conséquence est nette : l'erreur décroît en 1/n, donc doubler le nombre de rectangles ne fait que diviser l'erreur par deux, et gagner un chiffre décimal exige de multiplier n par dix. C'est aussi ce calcul qui permet de répondre à la question « combien de rectangles pour une précision de 10⁻³ ? » : il suffit de résoudre (b − a)(f(b) − f(a))/n ⩽ 10⁻³.

La méthode des rectangles sert aussi dans l'autre sens, et le programme le signale : elle « fournit des encadrements pertinents de sommes pour lesquelles on ne dispose pas de formule exacte ». Le raisonnement s'inverse — au lieu d'approcher une intégrale par une somme, on encadre une somme par des intégrales, en comparant chaque terme à l'aire d'une bande. Le cas d'école est la somme des inverses des n premiers entiers, dont on obtient ainsi un encadrement par des logarithmes. Signalons honnêtement son statut : cet encadrement figure parmi les approfondissements POSSIBLES du programme, non parmi les capacités attendues. Un sujet qui l'aborde guidera donc chaque étape ; il ne suppose pas le résultat connu.

Vocabulaire

→ Cartes

méthode des rectanglesApproximation d'une intégrale par la somme des aires de n rectangles de même largeur h = (b − a)/n.
pas de subdivisionLargeur commune h = (b − a)/n des bandes ; les points de découpe sont x_k = a + k·h.
somme à gaucheSomme h·Σ f(x_k) pour k de 0 à n − 1, prenant la hauteur au bord gauche de chaque bande.
encadrement de l’erreurMajoration (b − a)(f(b) − f(a))/n de l'écart entre l'intégrale et l'approximation, pour f monotone.

Subdivision régulière de [a ; b]

h = \frac{b - a}{n},\qquad x_k = a + k\,h \quad (k = 0, 1, \dots, n)

On partage l'intervalle en n bandes de largeur commune h ; les x_k sont les bords des rectangles.

Encadrement par rectangles à gauche et à droite

S_g = h\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \;\le\; \int_a^b f \;\le\; h\sum_{k=1}^{n} f(x_k) = S_d \quad (f \text{ croissante})

Pour une fonction croissante, la somme à gauche sous-estime et la somme à droite sur-estime l'intégrale : on obtient un encadrement.

Convergence des sommes de Riemann

\lim_{n \to +\infty} h\sum_{k=0}^{n-1} f(a + k\,h) = \int_a^b f(t)\,dt

Quand le nombre de rectangles tend vers l'infini (h → 0), la somme des aires tend vers l'intégrale : les sommes de rectangles convergent vers ∫_a^b f, ce qui permet de l'approcher numériquement.

Exemple corrigé

Approcher une intégrale par la méthode des rectangles (main + Python)

On veut approcher I = ∫_0^1 x² dx (valeur exacte 1/3 ≈ 0,3333). 1) Calculer la somme des rectangles à gauche avec n = 4 (pas h = 0,25). 2) Écrire une fonction Python rectangles_gauche(f, a, b, n) renvoyant cette approximation, et préciser si l'on sous-estime ou sur-estime I.

Déterminer le pas et les points de subdivision
Avec n = 4 sur [0 ; 1], le pas est h = (1 − 0)/4 = 0,25 ; les bords gauches sont x_0 = 0, x_1 = 0,25, x_2 = 0,5, x_3 = 0,75.
$h = \frac{1 - 0}{4} = 0{,}25,\qquad x_k = 0{,}25\,k$
Évaluer f aux bords gauches
Avec f(x) = x², on calcule les hauteurs : f(0) = 0 ; f(0,25) = 0,0625 ; f(0,5) = 0,25 ; f(0,75) = 0,5625.
$f(x_0)=0,\ f(x_1)=0{,}0625,\ f(x_2)=0{,}25,\ f(x_3)=0{,}5625$
Sommer les aires des rectangles
On multiplie la somme des hauteurs par la largeur commune h.
$S_g = 0{,}25\,(0 + 0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625) = 0{,}25 \times 0{,}875 = 0{,}21875$
Conclure sur l'encadrement
f(x) = x² est croissante sur [0 ; 1], donc la somme des rectangles à gauche SOUS-ESTIME l'intégrale : S_g = 0,21875 < 1/3 ≈ 0,3333. En augmentant n, l'approximation se rapproche de 1/3.
$S_g = 0{,}21875 \;<\; \int_0^1 x^2\,dx = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}3333$
Écrire l'algorithme Python
On initialise l'aire à 0, on calcule h, puis on cumule h·f(a + k·h) pour k de 0 à n − 1. Code : def rectangles_gauche(f, a, b, n): | aire = 0 | h = (b - a) / n | for k in range(n): | aire = aire + h f(a + k h) | return aire. On appelle rectangles_gauche(lambda x: x**2, 0, 1, 4), qui renvoie 0,21875.
$\texttt{aire} \mathrel{+}= h \cdot f(a + k\,h),\quad k = 0,\dots,n-1$

Résultat : Avec n = 4, la somme des rectangles à gauche vaut S_g = 0,21875, qui sous-estime I = 1/3 (car x² est croissante). La fonction Python rectangles_gauche cumule h·f(a + k·h) sur k de 0 à n − 1 et converge vers 1/3 quand n augmente.

Erreurs fréquentes

Se tromper sur le pas : h = (b − a)/n (et non b/n), et il y a n rectangles (donc n + 1 points de subdivision).
Confondre les bornes de la boucle : la somme à gauche va de k = 0 à n − 1 (premières hauteurs), la somme à droite de k = 1 à n ; un décalage d'un cran fausse le résultat.
Ajouter f(a + k·h) sans multiplier par la largeur h : la somme doit cumuler des AIRES (largeur × hauteur), pas seulement des hauteurs.
Croire que doubler n divise l'erreur par quatre : pour la méthode des rectangles l'erreur décroît en 1/n, donc elle n'est divisée que par deux.
Utiliser l'encadrement S_g ⩽ ∫ ⩽ S_d sans vérifier la monotonie de f : sur une fonction non monotone, l'ordre des deux sommes n'est plus garanti.

Révision active

On veut approcher I = ∫_0^1 x² dx (dont la valeur exacte est 1/3). 1) Calculer à la main la somme des rectangles à gauche avec n = 4 (donc h = 0,25). 2) Écrire une fonction Python rectangles_gauche(n) qui renvoie l'approximation pour un n quelconque, et indiquer dans quel sens elle approche 1/3 (sous-estimation ou sur-estimation, f étant croissante sur [0 ; 1]).

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Points clés

Lire une intégrale comme une aire (cas positif et cas signé)

Points clés

Calculer une intégrale par une primitive, puis par intégration par parties

Points clés

Linéarité, Chasles et encadrement par comparaison

Points clés

Valeur moyenne d'une fonction, puis aire entre deux courbes

Points clés

Étudier la suite I_n = ∫_0^1 x^n·e^x dx (récurrence et limite)

Points clés

Approcher une intégrale par la méthode des rectangles (main + Python)

Sources