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Géométrie dans l'espace

Cette fiche organise toute la géométrie analytique de l'espace : on étend les vecteurs du plan à l'espace (combinaisons linéaires, colinéarité, coplanarité), on repère points et vecteurs dans un repère (O ; i, j, k), puis on décrit droites et plans par des représentations paramétriques pour étudier leurs positions relatives. On introduit ensuite le produit scalaire dans l'espace, ses expressions géométrique et analytique et ses propriétés, qui caractérisent l'orthogonalité et donnent le vecteur normal à un plan. On termine par l'équation cartésienne d'un plan et la résolution de problèmes d'intersection, de distance et d'orthogonalité.

5 sections~37 min de lecture4 compétencesVérifié · 08/2026

T·0999 / 14

Profil d’examen

Décomposer un vecteur de l'espace, étudier la colinéarité ou la coplanarité de vecteurs, et repérer points et vecteurs par leurs coordonnées.Déterminer une représentation paramétrique d'une droite ou d'un plan et étudier les positions relatives de droites et de plans (parallélisme, intersection).Calculer un produit scalaire dans l'espace par ses expressions géométrique et analytique, et en exploiter les propriétés.Caractériser l'orthogonalité de vecteurs et de droites, déterminer un vecteur normal à un plan, son équation cartésienne, et résoudre des problèmes d'intersection et de distance.

Opérateurs :déterminerdémontrercalculerétudierjustifierinterpréter

niveau de base

Maîtriser d'abord les coordonnées dans un repère de l'espace, la colinéarité et la coplanarité, puis savoir écrire la représentation paramétrique d'une droite et calculer un produit scalaire par ses coordonnées.

niveau approfondi

Aller jusqu'à l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un vecteur normal, l'intersection droite/plan et plan/plan par paramètre, et le calcul de distances (point à un plan, point à une droite) dans les problèmes à prise d'initiative.

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

Géométrie dans l'espace

5 sections24 points clés15 formules21 pièges signalés

Vecteurs de l'espace : repérage, coordonnées, colinéarité et coplanarité#

~7 min de lectureBaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Repérage d'un point dans le repère (O ; i, j, k)

Fig. 1Le point M(2 ; 3 ; 2) se construit à partir de O en avançant de 2 selon i, 3 selon j et 2 selon k : OM = 2·i + 3·j + 2·k.

Vecteurs de l'espace : toutes les notions du plan se prolongent à l'espace — somme de deux vecteurs, multiplication par un réel, relation de Chasles AB + BC = AC, et opposé. Un vecteur de l'espace est entièrement déterminé par une direction, un sens et une longueur (norme).

Combinaison linéaire : un vecteur w est combinaison linéaire de u et v lorsqu'il existe deux réels a et b tels que w = a·u + b·v. C'est l'outil central pour « décomposer » un vecteur sur une famille donnée.

Repère de l'espace : un repère (O ; i, j, k) est formé d'un point O (l'origine) et de trois vecteurs i, j, k non coplanaires. Tout point M s'écrit de façon unique OM = x·i + y·j + z·k ; le triplet (x ; y ; z) donne les coordonnées de M, et le vecteur OM a les mêmes coordonnées.

Coordonnées et opérations : pour A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A). On additionne les vecteurs et on multiplie par un réel coordonnée par coordonnée. Le milieu de [AB] a pour coordonnées la moyenne de celles de A et B.

Colinéarité : deux vecteurs u et v (v non nul) sont colinéaires lorsqu'il existe un réel k tel que u = k·v ; en coordonnées, leurs composantes sont proportionnelles. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction (ils dirigent une même droite).

Coplanarité : trois vecteurs sont coplanaires lorsqu'ils appartiennent à un même plan vectoriel, ce qui équivaut à : l'un d'eux est combinaison linéaire des deux autres (à condition que ces deux-là ne soient pas colinéaires). Quatre points A, B, C, D sont coplanaires lorsque les vecteurs AB, AC, AD sont coplanaires.

Base de l'espace : trois vecteurs i, j, k forment une base de l'espace lorsqu'ils ne sont pas coplanaires ; tout vecteur de l'espace s'écrit alors de façon unique comme combinaison linéaire a·i + b·j + c·k. Décider si trois vecteurs forment une base revient donc à étudier leur coplanarité : trois vecteurs forment une base si et seulement s'ils ne sont PAS coplanaires (aucun n'est combinaison linéaire des deux autres).

Presque toutes les questions de configuration se ramènent à UN système d'équations linéaires, et le programme le dit ainsi : il s'agit de « traduire par un système d'équations linéaires » l'alignement, la colinéarité, le parallélisme, la coplanarité, une intersection ou une orthogonalité, puis, « dans des cas simples », de résoudre et d'interpréter géométriquement. La traduction est mécanique. Trois vecteurs forment une base si et seulement si l'équation a·u + b·v + c·w = 0 n'a que la solution nulle ; quatre points sont coplanaires si et seulement si AD s'écrit a·AB + b·AC pour un couple (a ; b) ; un point appartient à un plan paramétré si et seulement si le système en (t ; s) admet une solution. Notez la limite fixée par le programme : aucune théorie générale des systèmes linéaires n'est exigible, seulement la résolution de cas simples — trois équations, trois inconnues, par substitution ou combinaison.

Vocabulaire

→ Cartes

combinaison linéaireÉcriture a·u + b·v d'un vecteur à partir d'autres vecteurs, avec des coefficients réels.
coplanaritéAppartenance de trois vecteurs à un même plan vectoriel ; l'un est alors combinaison linéaire des deux autres.
base de l’espaceTriplet de vecteurs non coplanaires ; tout vecteur s'y décompose de façon unique.
système linéaireTraduction algébrique d'une question de configuration ; le programme n'en demande que la résolution dans des cas simples.

Coordonnées d'un vecteur

\vec{AB}\;(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A\,;\,z_B - z_A)

Les coordonnées du vecteur reliant A à B s'obtiennent en soustrayant, composante par composante, les coordonnées de l'origine A à celles de l'extrémité B.

Caractérisation de la colinéarité

\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ colinéaires} \iff \exists\, k \in \mathbb{R},\; \vec{u} = k\,\vec{v}

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre : leurs coordonnées sont alors proportionnelles. Ils dirigent une même droite.

Coplanarité de trois vecteurs

\vec{w} \text{ coplanaire à } (\vec{u},\vec{v}) \iff \exists\,(a,b) \in \mathbb{R}^2,\; \vec{w} = a\,\vec{u} + b\,\vec{v}

Trois vecteurs sont coplanaires lorsque l'un est combinaison linéaire des deux autres (ces deux-là étant non colinéaires).

Base de l'espace

(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) \text{ est une base} \iff \vec{u},\vec{v},\vec{w} \text{ ne sont pas coplanaires}

Trois vecteurs forment une base de l'espace exactement quand ils ne sont pas coplanaires : tout vecteur se décompose alors de manière unique sur cette base.

Décomposition d'un vecteur : combinaison linéaire

Fig. 2Le vecteur AD se décompose dans le plan (A ; AB, AC) : AD = a·AB + b·AC. Si une telle décomposition existe, les quatre points sont coplanaires.

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Exemple corrigé

Étudier la coplanarité de quatre points

Dans un repère (O ; i, j, k), on considère A(1 ; 0 ; 2), B(2 ; 1 ; 1), C(0 ; 2 ; 3) et D(4 ; 1 ; 0). Les points A, B, C et D sont-ils coplanaires ?

Calculer trois vecteurs issus de A
On calcule AB, AC et AD en soustrayant les coordonnées de A.
$\vec{AB}(1\,;\,1\,;\,-1),\quad \vec{AC}(-1\,;\,2\,;\,1),\quad \vec{AD}(3\,;\,1\,;\,-2)$
Chercher une combinaison linéaire AD = a·AB + b·AC
On écrit le système obtenu coordonnée par coordonnée, en supposant AB et AC non colinéaires (ce qui est le cas car leurs composantes ne sont pas proportionnelles).
$\begin{cases} a - b = 3 \\ a + 2b = 1 \\ -a + b = -2 \end{cases}$
Résoudre les deux premières équations
En soustrayant la première de la deuxième : 3b = −2, donc b = −2/3, puis a = 3 + b = 7/3.
$a = \dfrac{7}{3}, \qquad b = -\dfrac{2}{3}$
Vérifier la troisième équation
On reporte dans −a + b : −7/3 − 2/3 = −9/3 = −3 ≠ −2. La troisième équation n'est pas vérifiée.
$-a + b = -\dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3} = -3 \neq -2$

Résultat : Le système n'a pas de solution : AD n'est pas combinaison linéaire de AB et AC. Les vecteurs AB, AC, AD ne sont donc pas coplanaires, et les quatre points A, B, C, D ne sont pas coplanaires. Comme ils ne sont pas coplanaires, les trois vecteurs AB, AC, AD forment une base de l'espace.

Erreurs fréquentes

Calculer les coordonnées de AB en faisant « A − B » au lieu de « B − A » : on prend toujours l'extrémité moins l'origine, soit (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A).
Confondre colinéarité (DEUX vecteurs proportionnels, même direction) et coplanarité (TROIS vecteurs dans un même plan) : ce sont deux propriétés distinctes.
Conclure à la coplanarité de quatre points parce que le système « a une solution » sans l'écrire : l'énoncé attend les valeurs des coefficients et la relation vectorielle obtenue.
Chercher une théorie générale des systèmes : le programme n'exige que la résolution de cas simples, par substitution ou combinaison.

Révision active

Dans un repère (O ; i, j, k), on donne A(1 ; 2 ; −1), B(3 ; 0 ; 1) et C(0 ; 3 ; 1). Calculer les coordonnées de AB et AC, vérifier qu'ils ne sont pas colinéaires, puis déterminer si les points A, B, C, D sont coplanaires lorsque D(2 ; 5 ; −3) en cherchant à écrire AD comme combinaison linéaire de AB et AC.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Droites et plans : représentations paramétriques et positions relatives#

~7 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Une droite et un plan sécants en perspective

Fig. 3La droite d, de vecteur directeur u, perce le plan P en un unique point I : on le trouve en injectant la paramétrisation de d dans l'équation de P.

Représentation paramétrique d'une droite : la droite passant par A(x_A ; y_A ; z_A) et dirigée par u(α ; β ; γ) est l'ensemble des points M tels que AM = t·u, c'est-à-dire M = A + t·u avec t parcourant ℝ. Coordonnée par coordonnée : x = x_A + tα, y = y_A + tβ, z = z_A + tγ. Le vecteur u est un vecteur directeur de la droite.

Représentation paramétrique d'un plan : le plan passant par A et dirigé par deux vecteurs u et v non colinéaires est l'ensemble des points M tels que AM = t·u + s·v, soit M = A + t·u + s·v avec deux paramètres réels t et s. Les coordonnées s'écrivent x = x_A + tα + sα', etc. ; u et v sont deux vecteurs directeurs du plan.

Positions relatives de deux droites : on compare leurs vecteurs directeurs. Si les directeurs sont colinéaires, les droites sont parallèles (confondues si elles ont un point commun, strictement parallèles sinon). Si les directeurs ne sont pas colinéaires, les droites sont sécantes (un point commun) ou non coplanaires (aucun point commun, cas propre à l'espace).

Positions relatives d'une droite et d'un plan : la droite est parallèle au plan lorsque son vecteur directeur est une combinaison linéaire des vecteurs directeurs du plan (incluse dans le plan si un point de la droite y appartient). Sinon, la droite et le plan sont sécants en un unique point que l'on trouve en injectant la paramétrisation de la droite dans l'équation du plan.

Positions relatives de deux plans : deux plans sont parallèles lorsque leurs vecteurs normaux sont colinéaires (confondus s'ils ont un point commun). Sinon ils sont sécants suivant une droite, dont on obtient une représentation paramétrique en résolvant le système formé par leurs deux équations.

Méthode d'intersection : pour intersecter une droite (sous forme paramétrique) et un plan (sous forme cartésienne), on remplace x, y, z par leurs expressions en t dans l'équation du plan ; on obtient une équation en t. Aucune solution ⇒ parallèles disjoints ; une infinité ⇒ droite incluse ; une unique solution t₀ ⇒ point d'intersection en t = t₀.

Démontrer que deux droites de l'espace sont NON COPLANAIRES demande deux vérifications, et l'oubli de la seconde est l'erreur type. Première étape : montrer que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, ce qui écarte le parallélisme. Seconde étape : montrer que le système d'intersection n'a pas de solution — on égale les deux paramétrisations coordonnée par coordonnée, ce qui donne trois équations à deux inconnues (les deux paramètres), et l'on aboutit à une contradiction. Les deux conclusions ensemble, et elles seules, établissent que les droites sont gauches. S'arrêter à la première ne prouve rien, puisque des directeurs non colinéaires laissent encore ouvert le cas des droites sécantes. Précisons enfin le statut de l'intersection de deux plans : le programme la range parmi les approfondissements POSSIBLES, non parmi les capacités attendues — un sujet qui la demande guidera la résolution du système.

Vocabulaire

→ Cartes

représentation paramétriqueÉcriture des coordonnées d'un point courant en fonction d'un paramètre (droite) ou de deux (plan).
vecteur directeurVecteur non nul donnant la direction d'une droite ; il n'est défini qu'à un coefficient près.
droites non coplanairesDroites de l'espace sans point commun et de directeurs non colinéaires ; on les dit aussi gauches.
position relativeClassification de deux objets de l'espace : parallèles, confondus, sécants, ou non coplanaires pour deux droites.

Représentation paramétrique d'une droite

\begin{cases} x = x_A + t\,\alpha \\ y = y_A + t\,\beta \\ z = z_A + t\,\gamma \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

Droite passant par A(x_A ; y_A ; z_A) de vecteur directeur u(α ; β ; γ) : chaque valeur du paramètre t donne un point de la droite.

Représentation paramétrique d'un plan

\begin{cases} x = x_A + t\,\alpha + s\,\alpha' \\ y = y_A + t\,\beta + s\,\beta' \\ z = z_A + t\,\gamma + s\,\gamma' \end{cases} \quad (t, s \in \mathbb{R})

Plan passant par A et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u(α ; β ; γ) et v(α' ; β' ; γ') : deux paramètres t et s décrivent toute la surface.

Positions relatives de deux droites de l'espace

Fig. 4Dans l'espace, deux droites peuvent être confondues, strictement parallèles, sécantes, ou non coplanaires (gauches) — ce dernier cas n'existe pas dans le plan.

Exemple corrigé

Intersection d'une droite et d'un plan

On considère la droite d de représentation paramétrique x = 2 + t, y = 1 − t, z = t (t ∈ ℝ) et le plan P d'équation x + y + z = 6. Démontrer que d et P sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection I.

Tester le parallélisme avec n·u
La droite d a pour vecteur directeur u(1 ; −1 ; 1) et le plan P a pour vecteur normal n(1 ; 1 ; 1). On calcule n·u : s'il est nul, d est parallèle à P ; sinon, ils sont sécants.
$\vec{n}\cdot\vec{u} = 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1 \neq 0 \;\Rightarrow\; d \text{ et } P \text{ sécants}$
Injecter la droite dans l'équation du plan
On remplace x, y et z par leurs expressions en fonction de t dans x + y + z = 6.
$(2 + t) + (1 - t) + t = 6$
Résoudre l'équation en t
On développe et on regroupe : 2 + t + 1 − t + t = 3 + t. L'équation devient 3 + t = 6, d'où t = 3.
$3 + t = 6 \;\Longrightarrow\; t = 3$
Calculer les coordonnées de I
On reporte t = 3 dans la paramétrisation de d.
$I\,(2 + 3\,;\,1 - 3\,;\,3) = I\,(5\,;\,-2\,;\,3)$

Résultat : Comme n·u = 1 ≠ 0, le vecteur directeur de d n'est pas orthogonal au normal de P : la droite n'est pas parallèle au plan, donc d et P sont sécants. En injectant la paramétrisation dans l'équation du plan, on obtient t = 3, d'où le point d'intersection I(5 ; −2 ; 3). La méthode est toujours la même : tester d'abord n·u (nullité = parallélisme), puis résoudre l'équation en t.

Erreurs fréquentes

Oublier qu'une droite a une infinité de représentations paramétriques (tout point de la droite et tout vecteur directeur non nul conviennent) : deux paramétrisations différentes peuvent décrire la même droite.
Croire que deux droites de l'espace sans point commun sont forcément parallèles : dans l'espace, elles peuvent être non coplanaires (gauches), avec des vecteurs directeurs non colinéaires et aucune intersection.
Conclure « non coplanaires » dès que les directeurs ne sont pas colinéaires : il reste à écarter le cas sécant en montrant que le système n'a pas de solution.
Croire qu'une droite n'a qu'une représentation paramétrique : tout point de la droite et tout directeur non nul en fournissent une autre, différente en apparence.

Révision active

On donne la droite d : x = 1 + 2t, y = −t, z = 3 + t (t ∈ ℝ) et le plan P d'équation x + y + z = 6. Déterminer si d et P sont sécants ; si oui, calculer les coordonnées de leur point d'intersection.

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Produit scalaire dans l'espace : définition, expression analytique, propriétés#

~6 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Produit scalaire : projection orthogonale et angle θ

Fig. 5u·v = ‖u‖·‖v‖·cos θ : le facteur ‖v‖·cos θ est la mesure algébrique de la projection orthogonale de v sur la direction de u.

Définition géométrique : pour deux vecteurs non nuls u et v faisant un angle θ, le produit scalaire est u·v = ‖u‖·‖v‖·cos(θ), où ‖u‖ désigne la norme (longueur) de u. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0. Le produit scalaire est un NOMBRE RÉEL, pas un vecteur.

Expression analytique : dans un repère orthonormé (O ; i, j, k), si u(x ; y ; z) et v(x' ; y' ; z'), alors u·v = xx' + yy' + zz'. On multiplie les composantes deux à deux et on additionne. C'est l'expression à privilégier pour calculer concrètement.

Norme et produit scalaire : la norme se calcule par ‖u‖ = √(u·u) = √(x² + y² + z²). La distance entre deux points A et B est AB = ‖AB‖ = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²).

Propriétés algébriques : le produit scalaire est symétrique (u·v = v·u), bilinéaire (u·(v + w) = u·v + u·w et (k·u)·v = k·(u·v)) et u·u = ‖u‖² ≥ 0. Ces règles permettent de développer les expressions comme avec un produit ordinaire, par exemple ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u·v + ‖v‖².

Calcul de l'angle : la définition géométrique se retourne en cos(θ) = (u·v) / (‖u‖·‖v‖), ce qui permet de calculer l'angle entre deux vecteurs (donc entre deux droites) à partir de leurs coordonnées.

Les formules de POLARISATION, inscrites au programme, permettent de calculer un produit scalaire quand on ne dispose d'aucune coordonnée mais seulement de longueurs — la situation ordinaire dans un cube ou un tétraèdre. Elles se déduisent du développement du carré scalaire. De ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u·v + ‖v‖² on tire u·v = ½(‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²) ; de ‖u − v‖² = ‖u‖² − 2 u·v + ‖v‖² on tire la forme la plus commode en géométrie, u·v = ½(‖u‖² + ‖v‖² − ‖u − v‖²). Concrètement, pour deux vecteurs AB et AC, la seconde formule s'écrit avec les trois longueurs du triangle ABC : AB·AC = ½(AB² + AC² − BC²). Toute question de type « calculer l'angle en A dans ce tétraèdre » se traite alors sans repère, à partir des seules arêtes.

Deux voies de calcul coexistent, et choisir la mauvaise fait perdre du temps sans faire perdre de points. L'expression analytique xx′ + yy′ + zz′ exige un repère ORTHONORMÉ — dans un repère quelconque elle est fausse, et l'énoncé prend soin de préciser « l'espace est muni d'un repère orthonormé » avant de vous y autoriser. La définition géométrique ‖u‖·‖v‖·cos(θ), ou la polarisation, s'emploient dès qu'on connaît des longueurs et pas des coordonnées. Le signe du résultat se lit immédiatement : un produit scalaire strictement positif signale un angle aigu, un produit nul une orthogonalité, un produit strictement négatif un angle obtus. C'est un contrôle gratuit sur une figure — si le calcul donne un nombre négatif alors que l'angle est visiblement aigu, il y a une erreur de coordonnée.

Vocabulaire

→ Cartes

produit scalaireNombre réel u·v = ‖u‖·‖v‖·cos(θ), égal à xx′ + yy′ + zz′ dans un repère orthonormé.
formule de polarisationExpression du produit scalaire à partir de longueurs seules : u·v = ½(‖u‖² + ‖v‖² − ‖u − v‖²).
repère orthonorméRepère dont les trois vecteurs de base sont deux à deux orthogonaux et de norme 1 ; condition d'emploi de l'expression analytique.
normeLongueur d'un vecteur, égale à la racine carrée de son carré scalaire.

Les deux expressions du produit scalaire

\vec{u}\cdot\vec{v} = x x' + y y' + z z' = \lVert \vec{u}\rVert\,\lVert \vec{v}\rVert\,\cos\theta

Égalité fondamentale : l'expression analytique (par coordonnées, en repère orthonormé) et l'expression géométrique (normes et angle) donnent le même nombre.

Norme d'un vecteur

\lVert \vec{u}\rVert = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

La norme est la racine carrée du produit scalaire du vecteur par lui-même ; en repère orthonormé, c'est la racine de la somme des carrés des coordonnées.

Angle entre deux vecteurs

\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\lVert \vec{u}\rVert\,\lVert \vec{v}\rVert}

On isole le cosinus dans la définition géométrique pour obtenir l'angle entre deux vecteurs non nuls à partir de leurs coordonnées.

Angle entre deux vecteurs de l'espace

Fig. 6Le cosinus de l'angle θ entre u et v se calcule par cos θ = (u·v) / (‖u‖·‖v‖).

Exemple corrigé

Produit scalaire, norme et angle

Dans un repère orthonormé, on donne u(1 ; 2 ; −2) et v(2 ; 0 ; 1). 1) Calculer u·v. 2) Calculer ‖u‖ et ‖v‖. 3) En déduire la valeur de cos θ, où θ est l'angle entre u et v, puis l'arrondi de θ au degré.

Calculer le produit scalaire
On applique u·v = xx' + yy' + zz' avec les coordonnées données.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times 2 + 2\times 0 + (-2)\times 1 = 2 + 0 - 2 = 0$
Calculer les normes
Chaque norme est la racine de la somme des carrés des coordonnées.
$\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3, \qquad \lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}$
Calculer le cosinus de l'angle
On reporte dans cos θ = (u·v) / (‖u‖·‖v‖).
$\cos\theta = \dfrac{0}{3\sqrt{5}} = 0$
Conclure sur l'angle
Un cosinus nul correspond à un angle droit.
$\cos\theta = 0 \;\Longrightarrow\; \theta = 90^\circ$

Résultat : On obtient u·v = 0, ‖u‖ = 3 et ‖v‖ = √5, d'où cos θ = 0 et θ = 90°. Les vecteurs u et v sont orthogonaux : c'est le pivot de la section suivante (u·v = 0 ⇔ u ⊥ v).

Erreurs fréquentes

Oublier que le repère doit être ORTHONORMÉ pour appliquer u·v = xx' + yy' + zz' : cette formule n'est valable que dans un repère orthonormé.
Traiter le produit scalaire comme un vecteur : u·v est un nombre réel ; il n'a ni direction ni sens, et on ne peut pas en calculer la norme.
Appliquer l'expression par coordonnées dans un repère non orthonormé : la formule xx′ + yy′ + zz′ n'y est pas valable.
Chercher des coordonnées dans un solide où seules les longueurs sont données : la polarisation répond directement, sans repère.
Donner un angle hors de [0 ; π] : le cosinus obtenu appartient à [−1 ; 1] et l'angle géométrique se lit dans cet intervalle.

Révision active

Dans un repère orthonormé, on donne u(2 ; −1 ; 3) et v(1 ; 4 ; 0). Calculer u·v, ‖u‖, ‖v‖, puis l'arrondi au degré de l'angle θ entre u et v.

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Orthogonalité de vecteurs, de droites et vecteur normal à un plan#

~6 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Droite orthogonale à un plan : le vecteur normal

Fig. 7Le vecteur n est normal au plan P : il est orthogonal à tout vecteur du plan. Une droite dirigée par n est perpendiculaire à P.

Orthogonalité de deux vecteurs : deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, u·v = 0. En coordonnées (repère orthonormé) : xx' + yy' + zz' = 0. C'est la caractérisation la plus utilisée en pratique.

Orthogonalité de deux droites : deux droites sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (u·v = 0). Attention : dans l'espace, deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes (elles peuvent être orthogonales sans se couper) ; on parle alors de droites orthogonales mais non perpendiculaires.

Vecteur normal à un plan : un vecteur n non nul est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur du plan, c'est-à-dire orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de P. Un plan possède une infinité de vecteurs normaux, tous colinéaires entre eux.

Caractérisation d'un plan par un point et un vecteur normal : le plan P passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M tels que AM·n = 0. Cette équation vectorielle est le point de départ pour obtenir l'équation cartésienne (section suivante).

Droite orthogonale à un plan : une droite est orthogonale (perpendiculaire) à un plan lorsque son vecteur directeur est un vecteur normal au plan, donc colinéaire à n. Une telle droite est alors orthogonale à toutes les droites du plan.

Trouver un vecteur normal à partir de deux directeurs se fait par un système, et la méthode comporte une astuce qu'il faut connaître. On cherche n(a ; b ; c) vérifiant n·u = 0 et n·v = 0 : deux équations pour trois inconnues, donc une infinité de solutions — ce qui est normal, puisque tous les vecteurs normaux d'un plan sont colinéaires. On lève l'indétermination en FIXANT une coordonnée, typiquement c = 1, ce qui laisse deux équations à deux inconnues, faciles à résoudre. Si ce choix mène à une contradiction, c'est que la coordonnée fixée est nulle pour tous les vecteurs normaux : on recommence en fixant a = 1 ou b = 1. On termine toujours en vérifiant que le vecteur trouvé annule bien les deux produits scalaires. Signalons le statut exact de cette technique : le programme la classe parmi les approfondissements possibles, de sorte qu'un sujet la guidera ou fournira directement le vecteur normal à vérifier.

Le PLAN MÉDIATEUR est le lieu géométrique que le programme cite nommément parmi les capacités attendues, et il se caractérise de deux façons équivalentes. Géométriquement, c'est l'ensemble des points M équidistants de deux points A et B distincts, c'est-à-dire vérifiant MA = MB. Analytiquement, c'est le plan passant par le milieu I de [AB] et admettant AB pour vecteur normal — la condition MA = MB équivaut en effet à MA² = MB², qui se développe en IM·AB = 0. Les deux lectures se complètent : la seconde donne immédiatement l'équation cartésienne, la première permet d'interpréter le résultat. Le même raisonnement appliqué dans le plan redonne la médiatrice d'un segment, ce qui aide à mémoriser la construction.

Vocabulaire

→ Cartes

vecteur normalVecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs d'un plan ; il se lit sur les coefficients de l'équation cartésienne.
droites orthogonalesDroites de directeurs orthogonaux ; dans l'espace elles peuvent l'être sans se couper.
plan médiateurEnsemble des points équidistants de deux points A et B ; plan passant par le milieu de [AB] et normal à AB.
lieu géométriqueEnsemble des points vérifiant une condition donnée, décrit par une équation ou une caractérisation géométrique.

Caractérisation de l'orthogonalité

\vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \iff \vec{u} \perp \vec{v}

Deux vecteurs (non nuls) sont orthogonaux exactement quand leur produit scalaire est nul : c'est l'outil de toutes les démonstrations d'orthogonalité.

Vecteur normal à un plan

\vec{n} \text{ normal à } P \iff \vec{n}\cdot\vec{u} = 0 \;\text{ et }\; \vec{n}\cdot\vec{v} = 0

Un vecteur est normal au plan dirigé par u et v (non colinéaires) lorsqu'il est orthogonal à ces deux vecteurs directeurs.

Plan défini par un point et un vecteur normal

M \in P \iff \vec{AM}\cdot\vec{n} = 0

Le plan passant par A de vecteur normal n est l'ensemble des points M tels que AM soit orthogonal à n.

Exemple corrigé

Déterminer un vecteur normal à un plan

Un plan P est dirigé par les vecteurs u(2 ; −1 ; 1) et v(1 ; 0 ; 3). Déterminer un vecteur normal n(a ; b ; c) à P.

Écrire les conditions d'orthogonalité
Le vecteur n doit être orthogonal à u et à v, ce qui donne deux équations.
$\begin{cases} \vec{n}\cdot\vec{u} = 2a - b + c = 0 \\ \vec{n}\cdot\vec{v} = a + 3c = 0 \end{cases}$
Exprimer a en fonction de c
La deuxième équation donne a = −3c.
$a = -3c$
En déduire b
On reporte dans la première équation : 2(−3c) − b + c = 0, soit −6c − b + c = 0, donc b = −5c.
$2(-3c) - b + c = 0 \;\Longrightarrow\; b = -5c$
Choisir une valeur simple
On prend c = 1 (un vecteur normal est défini à un coefficient près, on choisit le plus simple).
$c = 1 \;\Rightarrow\; \vec{n}(-3\,;\,-5\,;\,1)$

Résultat : Un vecteur normal à P est n(−3 ; −5 ; 1). Vérification : n·u = −6 + 5 + 1 = 0 et n·v = −3 + 0 + 3 = 0 ; n est bien orthogonal aux deux directeurs, donc normal au plan.

Erreurs fréquentes

Croire que deux droites orthogonales se coupent forcément : dans l'espace, l'orthogonalité porte sur les directions ; deux droites peuvent être orthogonales sans point commun (non coplanaires).
Confondre vecteur directeur et vecteur normal d'un plan : les directeurs engendrent le plan, le vecteur normal lui est orthogonal — ils jouent des rôles opposés.
Chercher LE vecteur normal comme s'il était unique : il en existe une infinité, tous colinéaires, et n'importe lequel convient.
Confondre plan médiateur et plan perpendiculaire à (AB) passant par A : le plan médiateur passe par le MILIEU de [AB].

Révision active

Un plan P est dirigé par u(1 ; 1 ; 0) et v(0 ; 1 ; 1). Déterminer un vecteur normal n(a ; b ; c) à P en résolvant u·n = 0 et v·n = 0, puis vérifier que n est bien orthogonal à u et à v.

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Équation cartésienne d'un plan, intersections et distances#

~11 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Geometrie-dans-l-espace

Projeté orthogonal d'un point sur un plan et distance

Fig. 8Le projeté orthogonal H de M sur P s'obtient en suivant la normale n depuis M. La distance d(M, P) est la longueur MH, mesurée le long de n.

Équation cartésienne d'un plan : tout plan de vecteur normal n(a ; b ; c) admet une équation de la forme ax + by + cz + d = 0, et réciproquement une telle équation (avec (a, b, c) ≠ (0, 0, 0)) est celle d'un plan dont n(a ; b ; c) est un vecteur normal. Les coefficients de x, y, z se lisent directement comme les coordonnées du vecteur normal.

Obtention à partir d'un point et d'un vecteur normal : le plan de vecteur normal n(a ; b ; c) passant par A(x_A ; y_A ; z_A) a pour équation a(x − x_A) + b(y − y_A) + c(z − z_A) = 0 ; en développant on obtient ax + by + cz + d = 0 avec d = −(a·x_A + b·y_A + c·z_A). On détermine donc le plan dès qu'on connaît un point et un vecteur normal.

Intersection droite/plan : pour intersecter une droite paramétrée et un plan ax + by + cz + d = 0, on injecte x(t), y(t), z(t) dans l'équation et on résout en t. Une solution unique donne le point d'intersection ; aucune solution = droite parallèle disjointe ; identité = droite incluse dans le plan.

Intersection plan/plan : deux plans non parallèles se coupent selon une droite. On résout le système de leurs deux équations cartésiennes : on exprime deux inconnues en fonction de la troisième (prise comme paramètre t), ce qui donne la représentation paramétrique de la droite d'intersection.

Projeté orthogonal et distance : le projeté orthogonal H d'un point M sur un plan P est le point d'intersection de P avec la droite passant par M et dirigée par le vecteur normal n. La distance de M à P est la longueur MH ; elle se calcule directement par d(M, P) = |a·x_M + b·y_M + c·z_M + d| / √(a² + b² + c²). De même, la distance d'un point M à une droite d (passant par A, de vecteur directeur u) est la longueur MH où H est le projeté orthogonal de M sur d : on écrit H = A + t·u, on traduit l'orthogonalité MH·u = 0 pour trouver t, puis on calcule la longueur MH (c'est la plus courte distance de M à d).

« Le projeté orthogonal d'un point M sur un plan est le point du plan le plus proche de M » est une DÉMONSTRATION EXIGIBLE, et le théorème de Pythagore la donne en trois lignes. Soit H le projeté orthogonal de M sur le plan 𝒫, et soit N un point quelconque de 𝒫 distinct de H. Le vecteur MH est normal à 𝒫, donc orthogonal à HN qui, lui, est un vecteur du plan : le triangle MHN est rectangle en H. Le théorème de Pythagore donne alors MN² = MH² + HN². Comme HN² est strictement positif dès que N diffère de H, on obtient MN² > MH², donc MN > MH. La distance MH est ainsi strictement inférieure à toute autre distance de M à un point du plan : c'est bien le minimum, et il est atteint en un seul point. Le même argument, mot pour mot, vaut pour le projeté orthogonal sur une droite.

L'équation cartésienne d'un plan défini par un point et un vecteur normal est la seconde démonstration exigible, et elle se rédige comme une chaîne d'équivalences. Un point M(x ; y ; z) appartient au plan passant par A et normal à n si et seulement si AM·n = 0, c'est-à-dire si et seulement si a(x − x_A) + b(y − y_A) + c(z − z_A) = 0, ce qui s'écrit ax + by + cz + d = 0 en posant d = −(a·x_A + b·y_A + c·z_A). Réciproquement, toute équation de cette forme avec (a ; b ; c) non nul est celle d'un plan de vecteur normal (a ; b ; c). Deux remarques d'usage : l'équation n'est pas unique, puisque la multiplier par un réel non nul donne le même plan, et le plus sûr, pour trouver d, est de reporter les coordonnées de A dans ax + by + cz + d = 0 plutôt que de recopier une formule signée.

Vocabulaire

→ Cartes

équation cartésienneÉcriture ax + by + cz + d = 0 d'un plan, dont les coefficients donnent un vecteur normal.
projeté orthogonalPoint d'un plan ou d'une droite obtenu en abaissant la perpendiculaire depuis M ; c'est le point le plus proche de M.
distance d’un point à un planLongueur du segment joignant le point à son projeté orthogonal, égale à |ax_M + by_M + cz_M + d| / √(a² + b² + c²).
droite d’intersectionDroite commune à deux plans non parallèles, obtenue en résolvant le système de leurs équations.

Équation cartésienne d'un plan

a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \;\Longrightarrow\; ax + by + cz + d = 0

Plan de vecteur normal n(a ; b ; c) passant par A : on développe l'équation vectorielle AM·n = 0 pour obtenir la forme cartésienne, avec d = −(a·x_A + b·y_A + c·z_A).

Vecteur normal lu sur l'équation

\vec{n}\,(a\,;\,b\,;\,c) \text{ est un vecteur normal au plan } ax + by + cz + d = 0

Les coefficients de x, y et z dans l'équation cartésienne sont exactement les coordonnées d'un vecteur normal au plan.

Distance d'un point à un plan

d(M, P) = \dfrac{\lvert a x_M + b y_M + c z_M + d\rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

Distance du point M(x_M ; y_M ; z_M) au plan ax + by + cz + d = 0 : valeur absolue de l'équation évaluée en M, divisée par la norme du vecteur normal.

Exemple corrigé

Équation d'un plan, projeté orthogonal et distance

Dans un repère orthonormé, on considère le point A(1 ; 2 ; −1) et le vecteur n(2 ; −1 ; 2). 1) Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par A et de vecteur normal n. 2) Soit M(3 ; 1 ; 3). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur P. 3) En déduire la distance de M à P.

Écrire l'équation cartésienne de P
Le plan a pour équation 2(x − 1) − 1(y − 2) + 2(z + 1) = 0 ; on développe.
$2x - 2 - y + 2 + 2z + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 2z + 2 = 0$
Paramétrer la droite (MH) dirigée par n
Le projeté H est sur la droite passant par M et dirigée par le normal n. On la paramètre.
$x = 3 + 2t,\quad y = 1 - t,\quad z = 3 + 2t \quad (t \in \mathbb{R})$
Trouver t en injectant dans P
On reporte dans 2x − y + 2z + 2 = 0 : 2(3 + 2t) − (1 − t) + 2(3 + 2t) + 2 = 0.
$6 + 4t - 1 + t + 6 + 4t + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 13 + 9t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\dfrac{13}{9}$
Calculer les coordonnées de H
On reporte t = −13/9 dans la paramétrisation.
$H\left(3 - \tfrac{26}{9}\,;\,1 + \tfrac{13}{9}\,;\,3 - \tfrac{26}{9}\right) = H\left(\tfrac{1}{9}\,;\,\tfrac{22}{9}\,;\,\tfrac{1}{9}\right)$
Calculer la distance par la formule directe
On applique d(M, P) = |2·3 − 1 + 2·3 + 2| / √(4 + 1 + 4).
$d(M, P) = \dfrac{\lvert 6 - 1 + 6 + 2\rvert}{\sqrt{9}} = \dfrac{13}{3}$

Résultat : Le plan P a pour équation 2x − y + 2z + 2 = 0. Le projeté orthogonal de M(3 ; 1 ; 3) est H(1/9 ; 22/9 ; 1/9), et la distance de M à P vaut 13/3. On vérifie la cohérence : MH = |t|·‖n‖ = (13/9)·3 = 13/3, identique à la formule directe.

Exemple corrigé

Projeté orthogonal d'un point sur une droite et distance

Dans un repère orthonormé, on considère la droite d passant par A(0 ; 0 ; 0) et de vecteur directeur u(1 ; 2 ; 2), ainsi que le point M(3 ; 0 ; 0). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur d, puis calculer la distance de M à d.

Paramétrer la droite et écrire H
Tout point H de d s'écrit H = A + t·u, donc H(t ; 2t ; 2t). Le projeté orthogonal cherché correspond à une valeur particulière de t.
$H\,(t\,;\,2t\,;\,2t) \quad (t \in \mathbb{R})$
Traduire l'orthogonalité du projeté
H est le projeté orthogonal de M sur d lorsque le vecteur MH est orthogonal au vecteur directeur u, c'est-à-dire MH·u = 0 (de façon équivalente HM·u = 0).
$\vec{MH}\,(t - 3\,;\,2t\,;\,2t), \qquad \vec{MH}\cdot\vec{u} = 0$
Résoudre l'équation en t
On développe MH·u : (t − 3)·1 + 2t·2 + 2t·2 = t − 3 + 4t + 4t = 9t − 3. On annule : 9t − 3 = 0, donc t = 1/3.
$(t - 3) + 4t + 4t = 9t - 3 = 0 \;\Longrightarrow\; t = \dfrac{1}{3}$
Calculer les coordonnées de H
On reporte t = 1/3 dans H(t ; 2t ; 2t).
$H\left(\tfrac{1}{3}\,;\,\tfrac{2}{3}\,;\,\tfrac{2}{3}\right)$
Calculer la distance MH
La distance de M à d est la longueur MH, avec MH(1/3 − 3 ; 2/3 ; 2/3) = (−8/3 ; 2/3 ; 2/3).
$d(M, d) = \lVert\vec{MH}\rVert = \dfrac{1}{3}\sqrt{8^2 + 2^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{72}}{3} = 2\sqrt{2}$

Résultat : Le projeté orthogonal de M(3 ; 0 ; 0) sur la droite d est H(1/3 ; 2/3 ; 2/3), et la distance de M à d vaut MH = 2√2 ≈ 2,83. La méthode est générale : on écrit H = A + t·u, on traduit MH·u = 0 (le projeté est le point de d le plus proche de M), on en tire t, puis on mesure la longueur MH.

Explication pas à pas4 étapes

1
On part d'un point A et d'un vecteur normal n : ce sont les deux ingrédients qui suffisent à déterminer un plan dans l'espace.
$A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A), \quad \vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)$
2
Un point M appartient au plan exactement quand le vecteur AM est orthogonal à n, c'est-à-dire quand leur produit scalaire est nul.
$M \in P \iff \vec{AM}\cdot\vec{n} = 0$
3
On développe ce produit scalaire en coordonnées : on obtient l'équation cartésienne du plan, où les coefficients de x, y, z sont les coordonnées du vecteur normal.
$a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \;\Rightarrow\; ax + by + cz + d = 0$
4
Enfin, pour mesurer l'écart d'un point M au plan, on évalue le premier membre de l'équation en M, en valeur absolue, divisé par la norme du vecteur normal : c'est la distance de M au plan.
$d(M, P) = \dfrac{\lvert a x_M + b y_M + c z_M + d\rvert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Objectif Bac

Déterminer l'équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal (ou de deux vecteurs directeurs dont on déduit le normal), et lire un vecteur normal sur une équation donnée.
Résoudre un problème complet : intersection droite/plan, coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur un plan, et distance d'un point à ce plan.
Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite (via MH·u = 0) et en déduire la distance du point à la droite.
Restituer la démonstration exigible « le projeté orthogonal est le point le plus proche » par le triangle rectangle en H et le théorème de Pythagore.
Rédiger l'équation cartésienne comme une chaîne d'équivalences partant de AM·n = 0, et calculer d en reportant les coordonnées de A.
Utiliser une distance à un plan comme HAUTEUR d'un tétraèdre pour en calculer le volume par un tiers de l'aire de base fois la hauteur.

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe dans le constant d : avec a(x − x_A) + … = 0, on a d = −(a·x_A + b·y_A + c·z_A), pas +. Le plus sûr est de remplacer les coordonnées de A dans ax + by + cz + d = 0 et de résoudre pour d.
Oublier la valeur absolue ou la racine dans la formule de distance : d(M, P) = |a·x_M + b·y_M + c·z_M + d| / √(a² + b² + c²), avec une valeur absolue au numérateur et la norme du vecteur normal au dénominateur.
Croire qu'un plan a une seule équation cartésienne : toutes ses équations sont proportionnelles entre elles.
Utiliser la formule de distance sans normaliser : le dénominateur est la NORME du vecteur normal, √(a² + b² + c²), et le numérateur une valeur absolue.

Révision active

Soit P le plan d'équation 2x − y + 2z − 3 = 0 et le point M(1 ; 4 ; 2). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de M sur P, puis calculer la distance de M à P par les deux méthodes (longueur MH et formule directe).

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Références et sources

Sources

Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel

Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A)

Voir aussi

Géométrie dans l'espace

Points clés

Étudier la coplanarité de quatre points

Points clés

Intersection d'une droite et d'un plan

Points clés

Produit scalaire, norme et angle

Points clés

Déterminer un vecteur normal à un plan

Points clés

Équation d'un plan, projeté orthogonal et distance

Projeté orthogonal d'un point sur une droite et distance

Sources