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La Terre, un astre singulier

Cette fiche retrace comment la science a établi la forme, l'âge et l'histoire de notre planète : la mesure du rayon terrestre par Ératosthène et le repérage par latitude et longitude, la longue controverse sur l'âge de la Terre, puis sa résolution par la radiochronologie et l'échelle des temps géologiques. Périmètre : « La Terre, un astre singulier » est un thème de PREMIÈRE (annexe du BO n° 25 du 22 juin 2023) ; il est évalué dans la moyenne annuelle de première (coefficient 3), et non par une épreuve terminale — l'enseignement scientifique n'en comporte aucune. La datation et les temps géologiques servent ensuite directement aux thèmes de terminale sur le climat et le vivant.

5 sections~36 min de lecture4 compétencesVérifié · 06/2026

T·0333 / 8

Profil d’examen

C1 · Thème de première (coefficient 3) — Calculer la circonférence et le rayon de la Terre par la méthode d'Ératosthène, à partir d'une mesure d'angle et d'une distance le long d'un méridien.C2 · Thème de première (coefficient 3) — Repérer un point à la surface de la Terre par ses coordonnées géographiques (latitude, longitude) et relier l'unité de longueur (le mètre) au méridien terrestre.C3 · Thème de première (coefficient 3) — Exploiter la loi de décroissance radioactive et la notion de demi-vie pour dater un échantillon (radiochronologie), et représenter une courbe de décroissance.C4 · Thème de première (coefficient 3) — Comparer estimations historiques et actuelles de l'âge de la Terre, situer des événements sur l'échelle des temps géologiques et caractériser la singularité de la Terre dans le système solaire.

Opérateurs :calculermesurerrepérerexploiterreprésenterdatercomparersituerjustifier

niveau de base

Thème de première (coefficient 3) : maîtrisez d'abord la proportionnalité d'Ératosthène (l'angle est à 360° ce que l'arc est à la circonférence), la définition latitude/longitude, et la règle « on divise par deux à chaque demi-vie » — c'est l'essentiel pour le Grand oral et pour comprendre la datation réinvestie en terminale.

niveau approfondi

Pour aller plus loin (Grand oral) : sachez manipuler la loi N(t) = N0 (1/2)^(t/T) sous forme exponentielle N(t) = N0 e^(-λt) avec λ = ln 2 / T, justifier le choix d'un couple radioactif selon son domaine de datation, et discuter la nature de l'argumentation scientifique (de Buffon et Kelvin à la radiochronologie de Patterson).

Profondeur

Texte

Sommaire · 5 sections

La Terre, un astre singulier

5 sections25 points clés6 formules25 pièges signalés

La forme de la Terre et sa mesure (Ératosthène, coordonnées géographiques)#

~7 min de lectureBaseeduscol-programme-enseignement-scientifique

Méthode d'Ératosthène : un angle d'ombre = un angle au centre

Fig. 1À Syène, le Soleil est au zénith (ombre nulle) ; à Alexandrie, sur le même méridien, un gnomon projette une ombre d'angle α. Les rayons solaires étant parallèles, cet angle α est aussi l'angle au centre de la Terre entre les deux villes. On en déduit le rayon : α/360° = d/(2πR), donc R = 360°·d/(2π·α). L'angle est volontairement exagéré (α réel ≈ 7,2°).

La sphéricité de la Terre est établie dès l'Antiquité par des arguments d'observation : ombre circulaire de la Terre sur la Lune lors des éclipses, disparition des navires « par le bas » à l'horizon, et variation de la hauteur des étoiles avec le lieu. Aristote la postule, Ératosthène la mesure.

Méthode d'Ératosthène (≈ 200 av. J.-C.) : le même jour, à Syène (Assouan), à midi, le Soleil est au zénith (un puits est éclairé au fond, ombre nulle) ; à Alexandrie, situé sur le même méridien plus au nord, un gnomon projette une ombre faisant un angle α ≈ 7,2° avec la verticale. Cet angle est aussi l'angle au centre de la Terre entre les deux villes.

Le principe est une simple proportionnalité : l'angle α est à 360° ce que l'arc de méridien Syène–Alexandrie est à la circonférence totale C. D'où C = d × 360 / α, puis le rayon R = C / (2π). Aucun instrument astronomique sophistiqué n'est nécessaire : une distance et un angle suffisent.

Repérage géographique : tout point de la surface est repéré par sa latitude (angle, de 0° à l'équateur à 90° aux pôles, mesuré sur un méridien) et sa longitude (angle, de 0° au méridien de Greenwich à ±180°, mesuré sur un parallèle). Les méridiens sont des demi-grands-cercles passant par les pôles ; les parallèles sont des cercles parallèles à l'équateur.

Lien historique avec l'unité de longueur : lors de la Révolution française, le mètre a été défini comme la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre. Le quart de méridien vaut donc, par construction, 10^7 m = 10 000 km, soit une circonférence d'environ 40 000 km — cohérente avec la valeur mesurée aujourd'hui (≈ 40 075 km).

La méthode d'Ératosthène repose sur trois hypothèses qu'il faut savoir énoncer, car ce sont elles qui rendent le calcul légitime : la Terre est sphérique, les rayons solaires arrivent parallèles entre eux (le Soleil est très éloigné), et les deux villes sont sur le même méridien. C'est la deuxième qui permet d'identifier l'angle de l'ombre à Alexandrie avec l'angle au centre de la Terre — sans elle, la mesure ne dit rien.

Le calcul lui-même est une proportionnalité et se pose toujours de la même manière : α est à 360° ce que d est à C. Avec α ≈ 7,2° et d ≈ 5 000 stades, on obtient C = 5 000 × 360 / 7,2 = 250 000 stades. Ératosthène tombe à quelques pour cent de la valeur moderne — un résultat remarquable pour un dispositif fait d'un puits, d'un bâton et d'une mesure de distance.

Sur la sphère, méridiens et parallèles ne jouent pas le même rôle métrique, et c'est une source d'erreur classique. Tous les méridiens sont des demi-grands cercles de même rayon R : un degré de latitude vaut donc environ 111 km partout. Les parallèles, eux, rétrécissent vers les pôles : le rayon du parallèle de latitude φ vaut R·cos φ, si bien qu'un degré de longitude vaut 111 km à l'équateur mais seulement 111 × cos 60° ≈ 55 km à 60° de latitude, et zéro au pôle.

La définition révolutionnaire du mètre boucle ce sous-thème sur lui-même : en fixant le quart de méridien à 10⁷ m, on a fondé l'unité de longueur sur la Terre elle-même. C'est pourquoi la circonférence terrestre vaut, par construction, environ 40 000 km — ce n'est pas une coïncidence mais un héritage de définition, même si le mètre est aujourd'hui défini par la vitesse de la lumière.

Vocabulaire

→ Cartes

méridienDemi-grand cercle joignant les deux pôles ; tous ont le même rayon, celui de la Terre.
parallèleCercle parallèle à l'équateur, de rayon R·cos φ ; il rétrécit vers les pôles.
latitude (φ)Angle mesuré sur un méridien depuis l'équateur (0°) jusqu'au pôle (90°).
longitudeAngle mesuré sur un parallèle depuis le méridien de Greenwich (0°), de −180° à +180°.
gnomonSimple tige verticale dont l'ombre permet de mesurer la hauteur du Soleil ; l'instrument d'Ératosthène.

Circonférence par la méthode d'Ératosthène

C = d \times \dfrac{360^{\circ}}{\alpha}

d est la distance le long du méridien entre les deux lieux et α l'angle (en degrés) entre leurs verticales, égal à l'angle des ombres. La proportionnalité « angle/360° = arc/circonférence » donne directement C.

Rayon terrestre

R = \dfrac{C}{2\pi}

La Terre étant assimilée à une sphère, le rayon se déduit de la circonférence du grand cercle.

Coordonnées géographiques : latitude et longitude d'un point M

Fig. 2Deux coupes complémentaires. (a) Dans le plan d'un méridien, la latitude φ est l'angle, au centre O, entre l'équateur et le point M (de −90° au pôle Sud à +90° au pôle Nord). (b) Dans le plan de l'équateur (vue du pôle), la longitude λ est l'angle entre le méridien de Greenwich (origine) et le méridien de M (de −180° à +180°).

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Exemple corrigé

Reconstituer la mesure du rayon terrestre par Ératosthène

Sur le même méridien, deux villes A et B distantes de 600 km présentent, le même jour à midi, des hauteurs du Soleil qui diffèrent de 5,4°. En reprenant la méthode d'Ératosthène, calcule la circonférence de la Terre puis son rayon, et compare aux valeurs admises (C ≈ 40 075 km, R ≈ 6 371 km).

Identifier l'angle au centre
La différence de hauteur du Soleil entre A et B (5,4°) est égale à l'angle des verticales, donc à l'angle au centre α de la Terre entre A et B.
$\alpha = 5{,}4^{\circ}$
Écrire la proportionnalité arc / circonférence
L'arc de méridien AB (d = 600 km) est à la circonférence C ce que l'angle α est à 360°.
$\dfrac{d}{C} = \dfrac{\alpha}{360^{\circ}}$
Calculer la circonférence
On isole C : C = d × 360° / α = 600 × 360 / 5,4 = 40 000 km.
$C = 600\ \mathrm{km} \times \dfrac{360^{\circ}}{5{,}4^{\circ}} = 40\,000\ \mathrm{km}$
En déduire le rayon
On utilise R = C / (2π) ≈ 40 000 / 6,283 ≈ 6 366 km.
$R = \dfrac{C}{2\pi} = \dfrac{40\,000}{2\pi} \approx 6\,366\ \mathrm{km}$

Résultat : C ≈ 40 000 km et R ≈ 6 366 km, en très bon accord avec les valeurs modernes (≈ 40 075 km et ≈ 6 371 km) : la méthode antique, fondée sur une simple proportionnalité, est étonnamment précise.

Erreurs fréquentes

Traiter un degré de longitude comme un degré de latitude : un degré de latitude vaut environ 111 km partout, un degré de longitude vaut 111 × cos φ km et tend vers 0 aux pôles.
Oublier l'hypothèse des rayons parallèles : sans elle, l'angle de l'ombre mesuré à Alexandrie ne peut pas être identifié à l'angle au centre de la Terre, et toute la méthode s'effondre.
Confondre circonférence et rayon dans la conclusion : la proportionnalité donne d'abord C, et le rayon s'en déduit par R = C/(2π). Rendre C en croyant rendre R est une erreur fréquente.
Prendre l'angle du Soleil au-dessus de l'horizon plutôt que l'angle avec la verticale : Ératosthène mesure l'écart au zénith, soit l'angle entre l'ombre et le gnomon vertical.
Croire que la valeur 40 000 km est une coïncidence heureuse : elle découle de la définition révolutionnaire du mètre comme dix-millionième du quart de méridien.

Révision active

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme d’enseignement scientifique de première générale — annexe, texte en vigueur (BO n° 25 du 22 juin 2023, mathématiques intégrées) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

L'histoire de l'estimation de l'âge de la Terre (controverses scientifiques)#

~7 min de lectureStandardeduscol-programme-enseignement-scientifique

Trois estimations de l'âge de la Terre, en ordres de grandeur

Fig. 3Les estimations historiques s'échelonnent sur plusieurs ordres de grandeur. Buffon (refroidissement d'une sphère) trouve ~10⁵ ans ; Kelvin (refroidissement de la Terre, sans connaître la radioactivité) 20–100 Ma ; la radiochronologie du XXᵉ siècle fixe l'âge à 4,54 Ga (≈ 10⁹ ans), valeur actuelle mise en évidence.

L'âge de la Terre a longtemps été inaccessible à la mesure : faute de méthode physique, on l'estimait par analogie (refroidissement, sédimentation) ou par interprétation de textes. L'histoire de cette question illustre comment une idée scientifique évolue avec les méthodes et les données disponibles.

Buffon (XVIIIe siècle) propose une première estimation expérimentale : il chauffe des sphères puis mesure leur temps de refroidissement et extrapole à une Terre-boule. Il obtient un ordre de grandeur de quelques dizaines de milliers d'années — bien plus que les chronologies de son époque, mais très en deçà de la réalité.

Lord Kelvin (XIXe siècle) modélise la Terre comme une sphère solide qui se refroidit par conduction depuis un état initial chaud, et calcule un âge de l'ordre de quelques dizaines de millions d'années. Son raisonnement physique était rigoureux, mais reposait sur une hypothèse fausse : il ignorait la radioactivité, source interne de chaleur découverte après lui.

La découverte de la radioactivité (Becquerel, Pierre et Marie Curie) puis sa formalisation lèvent l'obstacle : elle fournit à la fois une source de chaleur interne (qui invalide le calcul de Kelvin) et une horloge naturelle (la radiochronologie). Au milieu du XXe siècle, C. Patterson mesure un âge d'environ 4,5 milliards d'années à partir de météorites et de roches terrestres.

Leçon épistémologique attendue : une estimation peut être logiquement correcte mais fausse parce qu'une hypothèse de départ est erronée ; le progrès vient de nouvelles méthodes (radiochronologie) et de la convergence de mesures indépendantes (météorites, roches, isochrones).

Ce sous-thème n'est pas une frise de dates : c'est le dossier que le programme utilise pour faire comprendre comment un savoir scientifique se construit et se corrige. Trois moments, trois manières de se tromper ou d'avoir raison.

Buffon a raison sur la MÉTHODE et faux sur le RÉSULTAT : il substitue une expérience à une autorité, ce qui est décisif, mais son modèle — une boule de fer qui refroidit — n'a presque rien de commun avec une planète. L'ordre de grandeur qu'il obtient, quelques dizaines de milliers d'années, est faux d'un facteur 100 000.

Kelvin est le cas le plus instructif, et celui que les questions exploitent : son calcul est mathématiquement irréprochable, sa physique de la conduction thermique est juste, et sa conclusion est fausse — parce qu'une hypothèse implicite, « la Terre n'a aucune source interne de chaleur », était fausse. La radioactivité, découverte après lui, chauffe l'intérieur du globe et ralentit son refroidissement. La leçon à formuler : une erreur peut se loger dans une hypothèse tacite, pas seulement dans un calcul.

La radioactivité apporte simultanément les deux pièces manquantes — la source de chaleur qui invalide Kelvin, et l'horloge qui permet enfin de mesurer. En 1953, Clair Patterson data le système solaire à environ 4,55 milliards d'années à partir de météorites, et non de roches terrestres : la surface de la Terre est recyclée en permanence par la tectonique, si bien que les roches terrestres les plus anciennes sont plus jeunes que la planète elle-même. Choisir le bon objet à dater fait partie de la méthode.

La valeur retenue aujourd'hui, 4,54 milliards d'années à environ 1 % près, ne repose pas sur une mesure unique mais sur la convergence de méthodes indépendantes — plusieurs couples radioactifs, plusieurs familles de météorites, des échantillons lunaires. C'est cette convergence, et non la précision d'un seul instrument, qui fonde la confiance.

Vocabulaire

→ Cartes

radiochronologieDatation absolue fondée sur la décroissance radioactive d'un couple père/fils piégé dans un minéral.
hypothèse impliciteHypothèse non énoncée sur laquelle repose un raisonnement ; c'est là que s'est logée l'erreur de Kelvin.
météoriteFragment issu de la formation du système solaire, non recyclé par la tectonique, donc porteur de l'âge originel.
controverse scientifiqueDébat argumenté entre modèles concurrents, tranché par de nouvelles données ou méthodes, non par autorité.
ordre de grandeurPuissance de 10 la plus proche d'une valeur ; l'échelle de comparaison pertinente pour ces estimations.

Exemple corrigé

Pourquoi Kelvin a-t-il sous-estimé l'âge de la Terre ?

Un document rappelle l'estimation de Kelvin (Terre solide se refroidissant par conduction depuis un état chaud : ~20 à 40 millions d'années) et la valeur radiochronologique actuelle (~4,54 milliards d'années). Explique l'origine de l'écart (un facteur de l'ordre de 100) et juge si Kelvin a commis une erreur de calcul.

Comparer les ordres de grandeur
Kelvin : ≈ 3×10^7 ans. Valeur actuelle : ≈ 4,54×10^9 ans. Le rapport est d'environ 4,54×10^9 / 3×10^7 ≈ 150, donc Kelvin sous-estime l'âge d'un facteur d'environ 100 à 150.
Examiner le modèle de Kelvin
Son modèle suppose que toute la chaleur interne provient d'un état initial chaud et se dissipe par conduction, sans aucune source d'énergie pour entretenir cette chaleur. Plus la Terre est ancienne, plus elle devrait être froide ; un flux de chaleur encore élevé impose alors un âge « jeune ».
Identifier l'hypothèse manquante
La désintégration des éléments radioactifs (U, Th, K) du manteau et de la croûte libère continûment de la chaleur. Cette source interne, inconnue de Kelvin, entretient le flux thermique : la Terre peut donc être beaucoup plus vieille tout en restant chaude.
Conclure sur la démarche
Le calcul de Kelvin n'est pas faux en lui-même ; c'est une donnée physique absente (la radioactivité) qui invalide une hypothèse du modèle. La radiochronologie, qui exploite précisément cette radioactivité, fournit la mesure correcte.

Résultat : Kelvin n'a pas commis d'erreur de calcul : son résultat découle logiquement de ses hypothèses, mais l'une d'elles (absence de chaleur interne entretenue) est fausse car il ignorait la radioactivité. La valeur correcte, ~4,54 milliards d'années, est obtenue par radiochronologie.

Erreurs fréquentes

Écrire que Kelvin « s'est trompé dans son calcul » : son calcul était juste. C'est son hypothèse implicite d'absence de source interne de chaleur qui était fausse — la distinction est exactement ce que la question évalue.
Dater la Terre à partir de ses roches les plus anciennes : la tectonique recycle la croûte, donc ces roches sont plus JEUNES que la planète. On date des météorites, contemporaines de la formation du système solaire.
Présenter l'histoire comme une simple accumulation de valeurs de plus en plus grandes : chaque étape change de MÉTHODE, et c'est le changement de méthode qui explique le changement de résultat.
Confondre la découverte de la radioactivité (elle fournit une source de chaleur ET une horloge) avec la seule datation : ses deux rôles dans cette histoire sont distincts et tous deux exigibles.
Attribuer l'âge actuel à une mesure unique : il repose sur la convergence de plusieurs couples radioactifs et de plusieurs familles d'échantillons.

Révision active

À partir d'un document donnant les estimations de Buffon (~75 000 ans), de Kelvin (~20 à 40 millions d'années) et la valeur radiochronologique (~4,54 milliards d'années), construis une frise en ordres de grandeur et explique pourquoi l'écart entre Kelvin et la valeur actuelle ne traduit pas une faute de calcul mais une hypothèse manquante.

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

La datation absolue : décroissance radioactive et demi-vie#

~8 min de lectureStandardeduscol-programme-enseignement-scientifique

Courbe de décroissance radioactive et lecture de la demi-vie

Un noyau radioactif (« père ») se désintègre spontanément en un noyau « fils », plus stable, de manière aléatoire et imprévisible pour un noyau isolé. Mais sur un très grand nombre de noyaux, la statistique impose une loi régulière : le nombre N de noyaux pères restants décroît de façon exponentielle au cours du temps.

La demi-vie (ou période radioactive) T est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux pères initiaux se sont désintégrés. Elle est caractéristique du noyau et indépendante des conditions physico-chimiques : à chaque demi-vie écoulée, la quantité de pères est divisée par deux (N0 → N0/2 → N0/4 → N0/8 …).

Loi de décroissance utilisable directement : N(t) = N0 (1/2)^(t/T). En première, on s'en tient à des durées discrètes, multiples entiers de la demi-vie (N0 → N0/2 → N0/4 → …) : le rapport N(t)/N0 ne dépend alors que du nombre n = t/T de demi-vies écoulées. La forme exponentielle N(t) = N0 e^(-λt) avec λ = ln 2 / T en est l'écriture continue, mais elle relève d'un approfondissement (exponentielle et logarithme ne sont pas exigibles dans ce thème de première).

Principe de la radiochronologie : on mesure dans une roche le rapport entre noyaux pères restants et noyaux fils accumulés (couple père/fils, par exemple uranium-plomb). Comme le fils s'accumule à mesure que le père disparaît, ce rapport est une horloge qui se met en marche à la fermeture du système (cristallisation du minéral).

Choisir le bon couple selon la durée à dater : un couple à demi-vie courte (carbone-14, T ≈ 5 730 ans) date des événements récents (jusqu'à quelques dizaines de milliers d'années) ; un couple à demi-vie longue (uranium 238–plomb 206, T ≈ 4,47 milliards d'années) date des roches très anciennes. Le couple est inadapté si presque tous les pères ont disparu (échantillon trop vieux) ou presque aucun (échantillon trop jeune).

Le caractère ALÉATOIRE de la désintégration est le point conceptuel du sous-thème. Aucun noyau ne « vieillit » : un noyau d'uranium présent depuis 4 milliards d'années a exactement la même probabilité de se désintégrer dans la seconde qui vient qu'un noyau formé à l'instant. La régularité de la loi ne vient donc pas d'une horloge interne, mais de la LOI DES GRANDS NOMBRES appliquée à un nombre gigantesque de noyaux. C'est aussi pourquoi la demi-vie est insensible à la température, à la pression et à la forme chimique : rien de ce qui agit sur le cortège électronique n'atteint le noyau.

Le raisonnement « au bout de n demi-vies » est celui qu'il faut savoir mener sans hésiter, dans les deux sens. Après 1 demi-vie il reste 1/2 des pères, après 2 il en reste 1/4, après 3 un 1/8, après n un 1/2ⁿ. Réciproquement, si l'on mesure qu'il reste un huitième des pères, alors 1/2ⁿ = 1/8 donne n = 3, et l'âge vaut t = 3 × T.

Le rapport pères/fils est plus robuste que le nombre de pères seul, et c'est lui qu'on mesure en pratique. La quantité initiale N₀ n'est jamais connue directement ; en revanche, chaque père disparu a produit un fils, donc N_père + N_fils = N₀ tant que le système est resté fermé. Le rapport mesuré aujourd'hui suffit alors à remonter à n, sans rien savoir de la quantité de départ.

L'hypothèse de SYSTÈME FERMÉ est la condition de validité de toute datation, et elle est régulièrement interrogée dans les sujets : depuis la fermeture du minéral, ni père ni fils ne doivent être entrés ou sortis. Un échantillon altéré, chauffé ou lessivé donne un âge faux — l'horloge a été remise à l'heure. On date donc la FERMETURE du système (la cristallisation), pas la naissance des atomes.

Choisir le couple revient à choisir un ordre de grandeur : la datation n'est fiable que si la durée à mesurer est comparable à la demi-vie. Trop courte devant T, presque aucun père ne s'est désintégré et la mesure se noie dans l'incertitude ; trop longue, il n'en reste plus assez pour être détecté. Le carbone 14 (T ≈ 5 730 ans) couvre jusqu'à environ 50 000 ans ; le couple uranium 238–plomb 206 (T ≈ 4,47 Ga) couvre l'échelle géologique.

Vocabulaire

→ Cartes

demi-vie (T)Durée au bout de laquelle la moitié des noyaux pères d'un échantillon se sont désintégrés ; caractéristique du noyau.
noyau père / noyau filsNoyau radioactif initial et noyau stable qu'il produit ; leur rapport constitue l'horloge de la datation.
système ferméÉchantillon dont ni père ni fils n'est entré ou sorti depuis sa cristallisation ; condition de validité de toute datation.
loi des grands nombresPrincipe statistique qui rend régulière, sur un très grand nombre de noyaux, une désintégration individuellement imprévisible.
datation absolueAttribution d'un âge chiffré en années, par opposition à la datation relative qui ne fait qu'ordonner.

Loi de décroissance radioactive (forme « demi-vie »)

N(t) = N_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}

N0 est le nombre initial de noyaux pères, T la demi-vie. Le rapport N(t)/N0 ne dépend que de n = t/T, le nombre de demi-vies écoulées.

Forme exponentielle équivalente (approfondissement — hors programme de première)

N(t) = N_0\, e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \dfrac{\ln 2}{T}

λ est la constante radioactive. Les deux écritures sont identiques car $(1/2)^{t/T} = e^{-(\ln 2)\,t/T}$ . Exponentielle et logarithme ne sont pas exigibles dans ce thème de première : à retenir surtout pour le Grand oral ou en réinvestissement.

Âge à partir du rapport mesuré (approfondissement — hors programme de première)

t = T\,\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{N_0}{N}\right)}{\ln 2} = T\,\log_2\!\left(\dfrac{N_0}{N}\right)

On inverse la loi de décroissance pour obtenir le temps t à partir du rapport N0/N mesuré (pères initiaux sur pères restants). Utile quand le nombre de demi-vies n'est pas entier ; en première, on se limite aux multiples entiers de la demi-vie.

Exemple corrigé

Dater un os par le carbone-14

Un fragment d'os contient encore 25 % de son carbone-14 initial. La demi-vie du carbone-14 vaut environ 5 730 ans. Détermine l'âge de l'échantillon par lecture du nombre de demi-vies, puis confirme par le calcul t = T × log₂(N0/N).

Exprimer le rapport N/N0
Il reste 25 % du carbone-14, donc N/N0 = 0,25 = 1/4.
$\dfrac{N}{N_0} = 0{,}25 = \dfrac{1}{4}$
Compter les demi-vies
Comme 1/4 = (1/2)^2, il s'est écoulé exactement n = 2 demi-vies (N0 → N0/2 → N0/4).
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} = \dfrac{1}{4} \;\Longrightarrow\; n = 2$
Calculer l'âge
L'âge vaut t = n × T = 2 × 5 730 = 11 460 ans.
$t = n \times T = 2 \times 5\,730 = 11\,460\ \text{ans}$
Vérifier par la formule générale (approfondissement)
Hors programme de première, on peut confirmer par le calcul continu : avec N0/N = 4, t = T × log₂(4) = 5 730 × 2 = 11 460 ans, en accord avec la lecture directe. La méthode attendue reste le comptage des demi-vies entières.
$t = T\,\log_2\!\left(\dfrac{N_0}{N}\right) = 5\,730 \times \log_2(4) = 11\,460\ \text{ans}$

Résultat : L'os a un âge d'environ 11 460 ans : c'est cohérent avec le domaine du carbone-14 (jusqu'à quelques dizaines de milliers d'années), donc le choix de ce radioélément est pertinent.

Explication pas à pas5 étapes

1
Un noyau radioactif se désintègre au hasard, mais sur un grand nombre de noyaux la quantité de pères suit une loi régulière : elle est divisée par deux à chaque demi-vie T.
2
On lit cette loi sur une courbe : à une demi-vie il reste 50 %, à deux demi-vies 25 %, à trois demi-vies 12,5 %. La courbe décroît mais ne s'annule jamais.
3
Pour dater une roche, on mesure le rapport entre noyaux pères restants et noyaux fils accumulés : ce rapport est une horloge déclenchée à la cristallisation.
4
On inverse alors la loi pour remonter au temps écoulé : t égale T fois le logarithme en base deux du rapport initial sur restant.
5
Enfin on choisit le bon couple : carbone-14 pour quelques milliers d'années, uranium-plomb pour des milliards d'années. C'est ainsi qu'on date la Terre à 4,54 milliards d'années.

Erreurs fréquentes

Croire qu'après deux demi-vies il ne reste plus rien : il reste un quart. Chaque demi-vie DIVISE la quantité restante par deux, elle n'en retire pas une moitié fixe.
Penser qu'un noyau « vieillit » et devient plus susceptible de se désintégrer : la probabilité de désintégration par unité de temps est constante, quelle que soit l'ancienneté du noyau.
Croire que chauffer ou comprimer un échantillon modifie sa demi-vie : la radioactivité est un phénomène NUCLÉAIRE, insensible aux conditions physico-chimiques qui n'agissent que sur les électrons.
Utiliser le carbone 14 pour dater une roche de plusieurs millions d'années : avec T ≈ 5 730 ans, il n'en resterait plus rien de mesurable. Le couple doit être adapté à la durée visée.
Oublier l'hypothèse de système fermé et conclure sur un échantillon visiblement altéré : toute entrée ou sortie de père ou de fils invalide l'âge obtenu.

Révision active

Un fragment d'os contient encore 25 % de son carbone-14 initial. Sachant que la demi-vie du carbone-14 vaut environ 5 730 ans, détermine l'âge de l'échantillon par lecture du nombre de demi-vies entières écoulées (méthode attendue en première), puis, en approfondissement, vérifie avec la relation continue t = T × log₂(N0/N).

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Rappel actif

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La Terre dans le système solaire : une planète tellurique singulière#

~6 min de lectureBaseeduscol-programme-enseignement-scientifique

Deux familles de planètes : diamètre et masse volumique

Fig. 5En reportant la masse volumique en fonction du diamètre (Terre = 1), les planètes se séparent en deux familles. Les telluriques (Mercure, Vénus, Terre, Mars) sont petites et denses (≈ 4–5,5 g·cm⁻³ : roches et métaux) ; les géantes gazeuses (Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune) sont grandes et peu denses (≈ 0,7–1,6 g·cm⁻³ : gaz et glaces). La Terre est mise en évidence.

Le système solaire comporte deux familles de planètes : les planètes telluriques (Mercure, Vénus, Terre, Mars), petites, denses, rocheuses et proches du Soleil ; et les planètes géantes gazeuses (Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune), volumineuses, peu denses et lointaines. La Terre appartient au groupe tellurique.

La singularité de la Terre tient surtout à la présence durable d'eau liquide en surface, rendue possible par sa distance au Soleil (température permettant les trois états de l'eau) et par sa masse, suffisante pour retenir une atmosphère. Cette eau liquide est étroitement liée à l'apparition et au maintien de la vie.

L'atmosphère terrestre est évolutive : sa composition s'est profondément modifiée au cours des temps géologiques. En particulier, l'activité des êtres vivants photosynthétiques a enrichi l'air en dioxygène, transformant une atmosphère primitive sans O2 libre en l'atmosphère actuelle. L'atmosphère est donc une archive et un produit de l'histoire de la planète.

Les roches et les minéraux sont des matériaux cristallins (édifices ordonnés d'atomes) qui constituent des archives de l'histoire de la Terre : leur composition, leurs cristaux et les isotopes qu'ils piègent conservent la mémoire des conditions de leur formation, support indispensable de la radiochronologie.

Comparée à ses voisines, la Terre se distingue : Vénus, trop proche et soumise à un effet de serre intense, est brûlante ; Mars, plus petite et plus froide, n'a pu conserver durablement d'eau liquide en surface. La Terre est la seule planète tellurique connue portant durablement de l'eau liquide et la vie.

La comparaison avec Vénus et Mars est l'argument le plus utile de ce sous-thème, car elle transforme une description en explication. Les trois planètes se sont formées à la même époque, à partir du même disque, avec une chimie voisine. Ce qui les sépare tient à deux paramètres : la distance au Soleil et la MASSE.

La distance fixe la température, donc l'état de l'eau. Vénus, plus proche, a vu son eau s'évaporer ; la vapeur d'eau étant elle-même un gaz à effet de serre, l'échauffement s'est amplifié jusqu'à un emballement, et sa température de surface atteint aujourd'hui environ 460 °C sous une atmosphère massive de CO₂. C'est le contre-exemple qui montre que l'effet de serre n'a rien d'anodin.

La masse fixe la capacité à retenir une atmosphère. Mars, dix fois moins massive que la Terre, n'a pas retenu la sienne : sa pression de surface est aujourd'hui inférieure à 1 % de la pression terrestre, si bien que l'eau liquide y est instable et passe directement de la glace à la vapeur. Les traces d'écoulements anciens montrent pourtant qu'elle en a porté.

La Terre occupe donc une position doublement favorable, et cette conjonction — pas l'un ou l'autre paramètre isolément — explique la présence durable des trois états de l'eau à sa surface. Le programme demande de savoir tenir ce raisonnement comparatif, pas seulement de citer la conclusion.

Dernier trait de singularité : l'atmosphère terrestre est en partie un PRODUIT du vivant. Aucune autre atmosphère connue ne contient 21 % de dioxygène, une molécule si réactive qu'elle disparaîtrait en quelques millions d'années sans production biologique continue. Une atmosphère hors d'équilibre chimique est d'ailleurs l'un des indices que l'on recherche pour détecter une vie sur des exoplanètes.

Vocabulaire

→ Cartes

planète telluriquePlanète rocheuse, dense et de petite taille, proche du Soleil : Mercure, Vénus, Terre, Mars.
planète géante gazeusePlanète volumineuse et peu dense, éloignée du Soleil : Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune.
emballement de l’effet de serreAmplification où l'évaporation de l'eau, gaz à effet de serre, accroît l'échauffement qui l'a causée — le cas de Vénus.
hydrosphèreEnsemble de l'eau liquide de surface, dont la présence durable distingue la Terre des autres planètes telluriques.
archive géologiqueRoche ou minéral conservant la mémoire des conditions de sa formation, support de la reconstitution du passé.

Exemple corrigé

Argumenter la singularité hydrique de la Terre

On donne pour trois planètes : Vénus (0,72 ua du Soleil, atmosphère épaisse de CO2, ~465 °C en surface), Terre (1,00 ua, atmosphère N2/O2, ~15 °C), Mars (1,52 ua, atmosphère ténue de CO2, ~ -60 °C). En t'appuyant sur ces données, explique pourquoi seule la Terre porte durablement de l'eau liquide en surface.

Repérer la fourchette de l'eau liquide
L'eau est liquide, à pression usuelle, entre 0 °C et 100 °C environ. C'est ce domaine de température de surface qu'il faut viser.
Analyser Vénus
Vénus est plus proche du Soleil et possède une atmosphère massive de CO2 : un effet de serre intense porte sa surface à ~465 °C. Trop chaud : l'eau ne peut exister qu'à l'état de vapeur.
Analyser Mars
Mars est plus loin et de faible masse : son atmosphère ténue retient peu de chaleur, sa surface est à ~ -60 °C. Trop froid et pression trop basse : l'eau y est essentiellement gelée ou sublimée.
Positionner la Terre
À 1 ua, avec une masse suffisante pour retenir une atmosphère modérée, la Terre a une température moyenne de ~15 °C, dans la fourchette de l'eau liquide. Distance, masse et atmosphère se conjuguent.

Résultat : Seule la Terre réunit la bonne distance au Soleil, une masse suffisante pour retenir une atmosphère et un effet de serre modéré : sa température de surface tombe dans le domaine de l'eau liquide, condition de sa singularité et du maintien de la vie.

Erreurs fréquentes

Expliquer la singularité terrestre par la seule distance au Soleil : sans une masse suffisante pour retenir une atmosphère, la Terre serait dans la situation de Mars malgré une distance favorable.
Croire que Vénus est brûlante parce qu'elle est proche du Soleil : sa température dépasse largement celle qu'imposerait sa seule distance. C'est un effet de serre emballé, sous une atmosphère massive de CO₂.
Ranger la Terre parmi les planètes géantes ou confondre les deux familles : la Terre est tellurique — rocheuse, dense et proche du Soleil.
Traiter l'atmosphère comme une donnée fixe depuis l'origine : sa composition a été profondément transformée, notamment par l'oxygénation d'origine biologique.
Écrire que Mars n'a jamais eu d'eau liquide : les traces géologiques d'écoulements anciens montrent le contraire. C'est le MAINTIEN durable de l'eau liquide qui lui a manqué.

Révision active

À partir d'un tableau donnant la distance au Soleil, la masse, la composition atmosphérique et la température de surface de Vénus, de la Terre et de Mars, argumente pourquoi seule la Terre porte durablement de l'eau liquide en surface.

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La mesure du temps géologique et l'échelle des temps#

~6 min de lectureStandardeduscol-programme-enseignement-scientifique

L'échelle des temps géologiques organise les ~4,54 milliards d'années (Ga) de l'histoire de la Terre en grandes divisions emboîtées (éons, ères, périodes), bornées par des événements majeurs (apparitions, extinctions, grands changements). C'est le cadre chronologique commun des sciences de la Terre.

Deux datations complémentaires se combinent : la datation relative ordonne les événements les uns par rapport aux autres (principes de superposition, de recoupement, d'identité paléontologique) sans donner d'âge chiffré ; la datation absolue (radiochronologie) attribue un âge numérique en années.

Quelques repères à connaître en ordre de grandeur : formation de la Terre ≈ 4,54 Ga ; premières traces de vie il y a plusieurs milliards d'années ; l'essentiel de la biodiversité animale visible (Phanérozoïque) ne couvre que les ~540 derniers millions d'années ; l'espèce humaine est très récente à l'échelle géologique.

Une intuition essentielle : ramenée à une journée de 24 h, l'histoire de la Terre place la vie complexe dans les dernières heures et l'humanité dans les toutes dernières secondes. Cette « démesure » du temps géologique est l'un des grands acquis culturels de la science.

La construction et la mise à jour de l'échelle reposent sur la convergence de méthodes indépendantes (radiochronologie de plusieurs couples, stratigraphie, paléontologie) ; un âge n'est retenu que lorsque plusieurs méthodes concordent.

Datation relative et datation absolue ne se remplacent pas, elles se complètent, et c'est leur articulation qu'il faut savoir décrire. La datation RELATIVE ordonne : le principe de superposition (une couche est plus récente que celle qu'elle recouvre), le principe de recoupement (une faille ou un filon est plus récent que ce qu'il traverse) et le principe d'identité paléontologique (deux couches contenant les mêmes fossiles stratigraphiques ont le même âge) construisent une chronologie complète sans aucun chiffre. La datation ABSOLUE vient ensuite poser des repères numériques sur cette chronologie déjà ordonnée.

L'échelle est bâtie sur des ÉVÉNEMENTS, non sur des durées régulières : ses divisions sont bornées par des changements majeurs enregistrés dans les roches, principalement des crises biologiques. C'est pourquoi les ères et périodes ont des durées très inégales — le Précambrien couvre à lui seul près de 88 % de l'histoire de la Terre, et l'échelle se resserre à mesure qu'on approche du présent, simplement parce que les archives récentes sont mieux conservées.

Quelques repères en ordres de grandeur suffisent, et il vaut mieux les tenir en puissances de 10 qu'en dates précises : formation de la Terre 4,54 Ga ; premières traces de vie environ 3,5 Ga ; Grande Oxygénation environ 2,4 Ga ; début du Phanérozoïque et de la vie animale visible 541 Ma ; extinction des dinosaures non aviens 66 Ma ; genre Homo environ 2,8 Ma ; Homo sapiens environ 300 000 ans.

L'analogie des 24 heures rend ces rapports lisibles et se recalcule facilement (voir Fig. 6) : sur une journée représentant 4,54 Ga, une heure vaut environ 189 millions d'années. La vie animale visible n'apparaît qu'après 21 h, les dinosaures disparaissent vers 23 h 39, et toute l'histoire d'Homo sapiens tient dans les 6 dernières secondes. La démesure du temps géologique est un acquis culturel du programme autant qu'un outil de calcul.

Frise des temps géologiques (de 4,54 Ga à aujourd'hui)

Fig. 6Échelle des temps géologiques en millions d'années (Ma) avant le présent, de la formation de la Terre (−4540 Ma) à aujourd'hui. Le Précambrien occupe près de 88 % de l'histoire ; la vie complexe (Phanérozoïque) ne commence qu'à l'explosion cambrienne (−540 Ma, mise en évidence), et le genre Homo n'apparaît qu'à l'extrême droite. Les quatre ères sont portées en bandes.

Fig. 6 ↓

Cette échelle n'est pas figée : elle est révisée par une commission internationale à mesure que de nouvelles datations affinent les bornes. Un âge n'y entre que lorsque plusieurs méthodes indépendantes concordent — la même exigence de convergence que pour l'âge de la Terre.

Vocabulaire

→ Cartes

datation relativeMise en ordre chronologique des événements sans âge chiffré, par superposition, recoupement et identité paléontologique.
principe de superpositionDans une série non déformée, une couche est plus récente que celle qu'elle recouvre.
principe de recoupementUne structure qui en traverse une autre (faille, filon) lui est postérieure.
fossile stratigraphiqueFossile d'extension géographique large et de durée d'existence brève, qui permet de corréler des couches éloignées.
PhanérozoïqueÉon commencé il y a environ 541 Ma, marqué par une vie animale abondante et fossilisable.
Ga / MaMilliard d'années (Giga-année) et million d'années (Méga-année) ; 1 Ga = 1 000 Ma.

Proportionnalité de l'année géologique condensée

t_{\text{année}} = 365 \times \dfrac{\Delta t}{T_{\text{Terre}}}

On répartit la durée écoulée Δt sur une année de 365 jours en gardant le rapport à l'âge total de la Terre T_Terre ≈ 4,54 Ga.

Exemple corrigé

Compresser l'histoire de la Terre en une année

On ramène les 4,54 milliards d'années de la Terre à une seule année de 365 jours (1er janvier 00 h 00 = formation, 31 décembre 24 h 00 = aujourd'hui). À quelle date tombe le début du Phanérozoïque (apparition des animaux), daté à environ 540 millions d'années ? Calcule et commente.

Calculer la fraction de temps écoulée depuis l'événement
Le Phanérozoïque débute il y a 540 Ma = 0,540 Ga. Cela représente une fraction 0,540 / 4,54 ≈ 0,119 de l'histoire de la Terre, soit environ 11,9 % la plus récente.
$\dfrac{0{,}540}{4{,}54} \approx 0{,}119$
Convertir en jours d'année
Sur 365 jours, l'événement « passé » se place 0,119 × 365 ≈ 43 jours avant la fin de l'année.
$0{,}119 \times 365 \approx 43\ \text{jours avant la fin}$
Situer la date
43 jours avant le 31 décembre, on remonte d'environ 1 mois et 13 jours : on tombe aux alentours du 18 novembre.
$31\ \text{déc.} - 43\ \text{jours} \approx 18\ \text{novembre}$

Résultat : Le Phanérozoïque, donc l'essentiel de la vie animale visible, ne commence que vers le 18 novembre de cette « année géologique » : la vie complexe n'occupe que les ~44 derniers jours, et l'humanité, à peine les dernières minutes. C'est l'image marquante de la démesure du temps géologique.

Erreurs fréquentes

Croire que les divisions de l'échelle ont des durées comparables : elles sont bornées par des ÉVÉNEMENTS, donc très inégales. Le Précambrien couvre à lui seul près de 88 % de l'histoire de la Terre.
Confondre million et milliard d'années : 4,54 Ga = 4 540 Ma. Un facteur 1 000 sépare les deux unités, et l'inversion rend toute réponse absurde.
Utiliser la datation absolue là où la relative suffit : sur une coupe, les principes de superposition et de recoupement donnent l'ordre des événements sans aucune mesure.
Situer l'apparition de la vie au début du Phanérozoïque : la vie est bien plus ancienne (environ 3,5 Ga). Le Phanérozoïque (541 Ma) marque l'apparition d'une vie animale abondante et fossilisable, pas de la vie.
Faire l'analogie des 24 heures sans poser la proportionnalité : il faut convertir explicitement (4,54 Ga ↔ 86 400 s), sinon les positions obtenues sont approximatives et invérifiables.

Révision active

On ramène les 4,54 milliards d'années de la Terre à une seule année de 365 jours (1er janvier = formation de la Terre, 31 décembre à minuit = aujourd'hui). À quelle date « tombe » l'apparition des animaux du Phanérozoïque, datée à environ 540 millions d'années ? Calcule et commente.

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Vérifié · 06/2026Version complète via le réglage de profondeur — même endroit, mêmes ancres

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Références et sources

Sources

Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel

Programme d’enseignement scientifique de première générale — annexe, texte en vigueur (BO n° 25 du 22 juin 2023, mathématiques intégrées)

Voir aussi

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