Une longue histoire de la matière

L'ion aluminium s'écrit $^{27}_{13}\mathrm{Al}^{3+}$. Déterminer le nombre de protons, de neutrons et d'électrons de cet ion. Quel est l'élément chimique concerné ? Justifier que cet ion porte la charge +3e.

1. 01Identifier Z et A

   Pour $^{27}_{13}\mathrm{Al}$, le numéro atomique est Z = 13 et le nombre de nucléons est A = 27. L'élément, fixé par Z = 13, est l'aluminium.

2. 02Compter les nucléons

   Le noyau contient Z = 13 protons. Le nombre de neutrons est N = A − Z = 27 − 13 = 14.

3. 03Compter les électrons de l'ion

   L'atome neutre aurait 13 électrons. La charge +3e (cation 3+) signifie qu'il a perdu 3 électrons : il en reste 13 − 3 = 10.

4. 04Justifier la charge

   Le noyau porte +13e (13 protons) et les 10 électrons portent −10e. La charge totale vaut +13e − 10e = +3e.

Résultat : L'ion $^{27}_{13}\mathrm{Al}^{3+}$ possède 13 protons, 14 neutrons et 10 électrons ; c'est un ion de l'élément aluminium, de charge +3e.

Dans l'Univers, la fraction massique de l'hydrogène est d'environ 75 % et celle du fer d'environ 0,11 %. Estimer combien de fois l'hydrogène est plus abondant (en masse) que le fer, puis interpréter ce résultat à l'aide de la nucléosynthèse.

1. 01Poser le rapport

   On compare les deux fractions massiques en formant leur quotient.

2. 02Calculer

   Le quotient vaut environ 6,8 × 10². L'hydrogène est donc à peu près 700 fois plus abondant que le fer.

3. 03Interpréter

   L'hydrogène est primordial (Big Bang) et n'a pas été « consommé » en totalité. Le fer, lui, ne se forme que par fusion au cœur des étoiles : il est bien plus rare. Plus largement, l'abondance décroît avec Z, ce qui reflète l'histoire de la nucléosynthèse.

Résultat : L'hydrogène est environ 700 fois plus abondant que le fer en masse, ce qui traduit son origine primordiale et la rareté des éléments synthétisés ultérieurement dans les étoiles.

Le noyau de fer le plus courant est ${}^{56}_{26}\mathrm{Fe}$. Calculer la masse d'un atome de fer (on prend mₙ ≈ 1,67 × 10⁻²⁷ kg). Sachant que le rayon de l'atome est ~1,3 × 10⁻¹⁰ m et celui du noyau ~5 × 10⁻¹⁵ m, comparer les volumes occupés et conclure.

1. 01Masse de l'atome

   L'atome compte A = 56 nucléons. Sa masse vaut m ≈ A × mₙ = 56 × 1,67 × 10⁻²⁷ kg.

2. 02Rapport des rayons

   On compare les rayons de l'atome et du noyau.

3. 03Rapport des volumes

   Le volume varie comme le cube du rayon : on élève le rapport précédent au cube.

4. 04Conclure

   L'atome est environ dix mille milliards de fois plus volumineux que son noyau, alors que presque toute sa masse y est concentrée : la matière est essentiellement constituée de vide et le noyau est extrêmement dense.

Résultat : Un atome de fer pèse environ 9,4 × 10⁻²⁶ kg ; son noyau, ~10¹³ fois moins volumineux que l'atome, porte presque toute la masse : l'atome est quasi vide.

Le polonium α cristallise dans une structure cubique simple d'arête a = 0,334 nm. Données : M(Po) = 209 g·mol⁻¹, N_A = 6,02 × 10²³ mol⁻¹. 1) Établir la compacité d'une maille cubique simple. 2) Calculer la masse volumique du polonium.

1. 01Atomes par maille

   Les 8 atomes occupent les sommets ; chacun est partagé entre 8 mailles. Le nombre d'atomes par maille est n = 8 × 1/8 = 1.

2. 02Relation a–r

   Dans le cubique simple, les atomes se touchent le long de l'arête : a = 2r, donc r = a/2.

3. 03Compacité

   On reporte n = 1 et r = a/2 dans la définition de C. Le rayon se simplifie et l'on obtient un résultat indépendant de a.

4. 04Masse volumique

   On applique ρ = nM/(N_A a³) avec n = 1, M = 209 × 10⁻³ kg·mol⁻¹ et a = 0,334 × 10⁻⁹ m, soit a³ ≈ 3,73 × 10⁻²⁹ m³.

5. 05Résultat numérique

   Le calcul donne ρ ≈ 9,3 × 10³ kg·m⁻³, soit 9,3 g·cm⁻³, en bon accord avec la valeur tabulée du polonium (~9,2 g·cm⁻³).

Résultat : La compacité du cubique simple vaut π/6 ≈ 0,52 ; la masse volumique calculée du polonium, ρ ≈ 9,3 g·cm⁻³, est cohérente avec la valeur mesurée.

On dispose de trois échantillons constitués des mêmes éléments : du diamant (carbone), du graphite (carbone) et un verre de silice (silice SiO₂). 1) Justifier que diamant et graphite, bien que de même composition, aient des propriétés opposées. 2) Préciser lequel des solides n'est pas cristallin et pourquoi.

1. 01Même élément, structures différentes

   Diamant et graphite sont deux variétés allotropiques du carbone : la composition est identique (uniquement du carbone), mais l'arrangement des atomes diffère.

2. 02Relier structure et propriétés

   Dans le diamant, chaque carbone est lié à 4 voisins dans un réseau tétraédrique rigide en trois dimensions : d'où sa grande dureté et son caractère isolant. Dans le graphite, les atomes forment des feuillets plans faiblement liés entre eux, qui glissent : d'où sa douceur, et des électrons délocalisés dans les feuillets le rendent conducteur.

3. 03Conclusion sur l'allotropie

   À composition identique, c'est la structure cristalline qui détermine les propriétés : l'allotropie illustre directement le lien structure → propriétés.

4. 04Identifier l'amorphe

   Le verre de silice n'est pas cristallin : ses atomes ne présentent pas d'ordre périodique à grande distance (pas de maille répétée). C'est un solide amorphe, contrairement au diamant et au graphite qui sont cristallins.

Résultat : Diamant et graphite diffèrent par leur structure cristalline (allotropie du carbone), d'où des propriétés opposées ; le verre de silice, lui, est amorphe (pas d'ordre périodique) et donc non cristallin.

Une bactérie mesure environ 2 µm de long, un virus de la grippe environ 100 nm. La limite de résolution d'un microscope optique est d'environ 0,2 µm. Exprimer les trois longueurs en mètres sous forme de puissances de dix, calculer combien de fois la bactérie est plus grande que le virus, puis dire lequel des deux objets peut être observé au microscope optique et lequel exige la microscopie électronique.

1. 01Convertir en puissances de 10

   Une bactérie mesure environ 2 µm de long. Or 1 µm = 10⁻⁶ m, donc 2 µm = 2 × 10⁻⁶ m. Un virus de la grippe mesure environ 100 nm ; 1 nm = 10⁻⁹ m, donc 100 nm = 1 × 10⁻⁷ m.

2. 02Comparer les deux objets

   On divise la plus grande longueur par la plus petite.

   $$\dfrac{2 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-7}} = 20$$
3. 03Conclure sur l'instrument

   La limite de résolution du microscope optique vaut environ 0,2 µm = 2 × 10⁻⁷ m. La bactérie (2 × 10⁻⁶ m) est dix fois plus grande que cette limite : elle est observable en microscopie optique. Le virus (1 × 10⁻⁷ m) est deux fois plus PETIT que la limite : il faut la microscopie électronique.

Résultat : Une bactérie est une vingtaine de fois plus grande qu'un virus grippal, et cet écart tombe précisément de part et d'autre de la limite de résolution optique — ce qui explique historiquement pourquoi les bactéries ont été vues au XIXᵉ siècle et les virus seulement dans les années 1930.