Outils mathématiques de l’enseignement scientifique

Fonctions exponentielle et logarithme au service des thèmes#

~7 min de lectureStandardeduscol-programme-enseignement-scientifique

Linéarité ? Croissance exponentielle vue en échelle normale puis logarithmique

Fig. 1En échelle normale, une exponentielle s’envole : la valeur 100 double pour atteindre 200 après un temps de doublement constant, puis 400, etc.

Croissance exponentielle : une grandeur est multipliée par un même facteur q = 1 + t à chaque pas de temps (t = taux d’évolution par pas). Sa valeur après n pas est y(n) = y₀ × qⁿ ; la fonction continue associée est y(x) = y₀ × eˣ ˡⁿ q. La caractéristique d’une exponentielle n’est pas une pente constante mais un pourcentage d’évolution constant.

Le logarithme décimal log₁₀ et le logarithme népérien ln transforment un produit en somme : log(a×b) = log a + log b et ln(a×b) = ln a + ln b. Conséquence directe : ils transforment une multiplication répétée (donc une exponentielle) en addition répétée (donc une droite). C’est l’outil de la linéarisation.

Échelle logarithmique : on porte log₁₀(grandeur) au lieu de la grandeur. Des valeurs séparées par des ordres de grandeur (×10, ×100, ×1000) deviennent équidistantes. C’est ce qui permet de représenter sur un même axe des concentrations, des magnitudes ou des intensités sonores qui varient sur plusieurs décades.

Temps de doublement d’une croissance exponentielle de taux t par pas de temps : c’est le nombre de pas T tel que qᵀ = 2, soit T = ln 2 / ln(1 + t). Pour un taux faible, l’approximation des 70 (« règle des 70 ») donne T ≈ 70 / p où p est le taux en pourcentage, car ln 2 ≈ 0,69 et ln(1 + t) ≈ t.

Rappel de première : la définition de la fonction exponentielle et celle de ln sont au programme de la classe de première de l’enseignement scientifique ; en terminale on les MOBILISE comme outils dans les thèmes (CO₂ atmosphérique, populations, désintégration), sans nouvelle théorie sur la fonction elle-même.

L'échelle logarithmique se lit selon une règle unique qu'il faut avoir automatisée : un même ÉCART sur l'axe correspond à un même FACTEUR sur la grandeur, jamais à une même différence. Sur un axe où chaque graduation représente une décade, deux graduations d'écart valent un facteur 100. C'est ce qui permet de faire tenir sur un seul graphique l'abondance de l'hydrogène et celle de l'or, ou les tailles de l'atome et de l'organisme.

Une conséquence graphique très utile en sciences : une croissance exponentielle devient une DROITE en échelle logarithmique. C'est donc le test visuel le plus rapide pour reconnaître un modèle exponentiel — si les points s'alignent quand on porte le logarithme de la grandeur, la croissance est exponentielle, et la pente de la droite donne le taux.

La règle des 70 mérite d'être comprise plutôt que retenue : ln 2 ≈ 0,693, donc pour un taux annuel faible t, le temps de doublement T = ln 2 / ln(1 + t) ≈ 0,693 / t. En exprimant t en pourcentage, cela donne T ≈ 70 / p. Une croissance de 2 % par an double en 35 ans, une croissance de 7 % double en 10 ans. L'approximation se dégrade au-delà d'environ 10 % par an.

Le même outil sert à décrire une DÉCROISSANCE : une quantité multipliée par un facteur inférieur à 1 à chaque pas décroît exponentiellement, et l'on parle alors de demi-vie plutôt que de temps de doublement. C'est le lien direct entre ce sous-thème et la radiochronologie — un seul outil mathématique, deux applications opposées.

Vocabulaire

→ Cartes

croissance exponentielleÉvolution où la grandeur est multipliée par un même facteur à chaque pas de temps.
échelle logarithmiqueGraduation où l'on porte le logarithme de la grandeur : un même écart y représente un même facteur.
temps de doublementDurée au bout de laquelle une grandeur en croissance exponentielle est multipliée par 2 : T = ln 2 / ln(1 + t).
coefficient multiplicateur (q)Facteur q = 1 + t par lequel on multiplie à chaque pas ; t est le taux d'évolution.
ordre de grandeurPuissance de 10 la plus proche d'une valeur ; l'unité de comparaison naturelle en échelle logarithmique.

Modèle exponentiel discret

y(n) = y_0 \times q^{\,n}, \qquad q = 1 + t

Effectif au bout de n pas de temps quand la grandeur est multipliée par le même facteur q = 1 + t à chaque pas (t est le taux d’évolution par pas).

Logarithme : produit → somme

\log(a\times b) = \log a + \log b, \qquad \ln(a\times b) = \ln a + \ln b

Propriété fondamentale qui transforme une multiplication répétée (exponentielle) en addition répétée (droite). Base de la linéarisation et des échelles logarithmiques.

Temps de doublement

T_{\text{doublement}} = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + t)} \approx \dfrac{70}{p} \quad (p = 100\,t)

Nombre de pas T tel que q^{T} = 2. Pour un taux faible, ln(1+t) ≈ t et ln 2 ≈ 0,69, d’où la pratique « règle des 70 » (p est le taux en pourcentage).

Échelle logarithmique : la même exponentielle devient une droite

Fig. 2On porte log₁₀(y) en ordonnée : l’exponentielle 100 × 1,3ˣ devient la droite log₁₀(100) + x·log₁₀(1,3) — sa pente mesure le taux de croissance.

Exemple corrigé

Croissance bactérienne : modèle exponentiel et temps de doublement

Une population de bactéries augmente de 8 % par heure et compte 5 000 individus à t = 0. (a) Écrire l’effectif au bout de n heures. (b) Calculer le temps de doublement en heures et le comparer à la règle des 70. (c) Donner l’effectif au bout de 12 heures.

Identifier le facteur multiplicatif
Augmenter de 8 % par heure revient à multiplier par q = 1 + 0,08 = 1,08 chaque heure : la variation relative est constante, le modèle est exponentiel.
Écrire le modèle
L’effectif après n heures part de y₀ = 5000 et se multiplie n fois par q.
Temps de doublement exact
On cherche T tel que 1,08^T = 2, donc T = ln 2 / ln 1,08. Numériquement ln 2 ≈ 0,693 et ln 1,08 ≈ 0,0770.
Comparer à la règle des 70
Avec un taux p = 8 %, la règle des 70 donne 70 / 8 = 8,75 h, proche des 9,0 h exacts : l’approximation est bonne car le taux reste modéré.
Prévision à 12 h
On reporte n = 12 : 1,08^12 ≈ 2,518, donc y(12) ≈ 5000 × 2,518.

Résultat : (a) y(n) = 5000 × 1,08ⁿ. (b) T ≈ 9,0 h, très proche des 8,75 h donnés par la règle des 70. (c) y(12) ≈ 1,26 × 10⁴ individus (environ 12 600).

Erreurs fréquentes

Lire une échelle logarithmique comme une échelle linéaire : entre deux graduations successives d'une échelle en décades, le rapport est de 10, pas la différence de 1.
Appliquer la règle des 70 avec un taux exprimé en décimal : elle s'écrit T ≈ 70/p avec p en POURCENTAGE. Pour t = 0,02, on prend p = 2 et T ≈ 35 ans.
Écrire log(a + b) = log a + log b : la propriété concerne le PRODUIT. Le logarithme d'une somme ne se simplifie pas.
Confondre le taux t et le coefficient multiplicateur q : q = 1 + t. Une hausse de 5 % correspond à q = 1,05, pas à q = 0,05.
Croire qu'une croissance exponentielle est simplement « rapide » : elle peut être très lente au début. Ce qui la caractérise est le facteur constant par pas de temps, pas la vitesse apparente.

Révision active

Une population de bactéries augmente de 8 % par heure et compte 5 000 individus à t = 0. (a) Écrire l’effectif au bout de n heures. (b) Calculer le temps de doublement (en heures) et le comparer à l’estimation de la règle des 70. (c) Combien d’individus au bout de 12 heures ?

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme d’enseignement scientifique de première générale — annexe, texte en vigueur (BO n° 25 du 22 juin 2023, mathématiques intégrées) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Suites et modèles : linéaire (arithmétique) ou exponentiel (géométrique) ?#

~6 min de lectureStandardeduscol-programme-enseignement-scientifique

Modèle linéaire contre modèle exponentiel à même départ

Fig. 3Deux suites partant de 100 : l’arithmétique (+30 par pas) trace une droite ; la géométrique (×1,30 par pas) s’incurve et passe vite très au-dessus de la droite. Le critère écart/rapport les distingue.

Suite arithmétique : on ajoute toujours la même quantité r (la raison) d’un terme au suivant. Relation de récurrence uₙ₊₁ = uₙ + r, forme explicite uₙ = u₀ + n·r. C’est le modèle LINÉAIRE : la variation ABSOLUE est constante, la représentation est une droite.

Suite géométrique : on multiplie toujours par le même facteur q (la raison) d’un terme au suivant. Relation de récurrence uₙ₊₁ = q·uₙ, forme explicite uₙ = u₀ × qⁿ. C’est le modèle EXPONENTIEL : la variation RELATIVE (le pourcentage) est constante.

Le critère de choix est entièrement contenu dans les données : si les ÉCARTS successifs uₙ₊₁ − uₙ sont à peu près constants → modèle linéaire ; si les RAPPORTS successifs uₙ₊₁ / uₙ sont à peu près constants → modèle exponentiel. C’est la première chose à tester sur un tableau de valeurs.

Lien avec les fonctions : la suite arithmétique est l’analogue discret de la fonction affine x ↦ a + r·x ; la suite géométrique est l’analogue discret de la fonction exponentielle x ↦ u₀ × qˣ. C’est pourquoi « linéaire ↔ arithmétique » et « exponentiel ↔ géométrique » sont les deux couples-clés du thème.

Domaines d’emploi typiques en terminale : un dépôt constant chaque année (épargne sans intérêts, accumulation linéaire) relève de l’arithmétique ; un capital à intérêts composés, une population à taux constant ou une désintégration radioactive (multiplication par ½ par demi-vie) relèvent du géométrique.

La distinction entre variation ABSOLUE et variation RELATIVE est le cœur du sous-thème, et elle se teste sur les données avant tout choix de modèle. Face à une série de valeurs, on calcule d'abord les écarts successifs uₙ₊₁ − uₙ, puis les rapports uₙ₊₁ / uₙ. Ce sont les écarts qui sont à peu près constants ? Le modèle est linéaire. Ce sont les rapports ? Le modèle est exponentiel. Ce test se fait en deux colonnes de tableur et tranche presque toujours.

Les deux modèles se distinguent aussi par leur comportement à long terme, ce qui décide de leur pertinence. Une suite arithmétique de raison positive croît indéfiniment mais lentement, en ligne droite. Une suite géométrique de raison supérieure à 1 finit toujours par dépasser n'importe quelle croissance linéaire, si petite que soit sa raison — ce que Malthus exploitera pour opposer croissance de la population et croissance des ressources.

Un piège de langage courant vaut d'être signalé : dire qu'une grandeur « augmente de 5 % par an pendant 10 ans » ne signifie pas qu'elle augmente de 50 %. Chaque hausse s'applique à la valeur déjà augmentée, donc le coefficient global vaut 1,05¹⁰ ≈ 1,63, soit environ +63 %. Composer des évolutions revient à MULTIPLIER les coefficients, jamais à additionner les pourcentages.

Vocabulaire

→ Cartes

suite arithmétiqueSuite où l'on ajoute une raison r constante d'un terme au suivant ; modèle linéaire, variation absolue constante.
suite géométriqueSuite où l'on multiplie par une raison q constante ; modèle exponentiel, variation relative constante.
variation absolueDifférence entre deux valeurs successives, dans l'unité de la grandeur.
variation relativeVariation absolue rapportée à la valeur initiale ; sans unité, souvent exprimée en pourcentage.
relation de récurrenceRelation exprimant un terme en fonction du précédent, comme uₙ₊₁ = q·uₙ.

Suite arithmétique (modèle linéaire)

u_{n+1} = u_n + r, \qquad u_n = u_0 + n\,r

Variation absolue constante r : récurrence à gauche, forme explicite à droite. Sa courbe est une droite de pente r.

Suite géométrique (modèle exponentiel)

u_{n+1} = q\,u_n, \qquad u_n = u_0 \times q^{\,n}

Variation relative constante (rapport q) : récurrence à gauche, forme explicite à droite. q > 1 : croissance ; 0 < q < 1 : décroissance.

Critère de choix du modèle

\text{écart } u_{n+1}-u_n \text{ constant} \Rightarrow \text{linéaire} \quad ; \quad \text{rapport } \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \text{ constant} \Rightarrow \text{exponentiel}

Test à mener sur le tableau de valeurs avant tout calcul : c’est la constance de la variation absolue ou relative qui tranche.

Exemple corrigé

Adhérents d’un club : choisir et exploiter le bon modèle

On relève le nombre d’adhérents d’un club sur quatre années : 200, 230, 260, 290. (a) Modèle linéaire ou exponentiel ? Justifier par les écarts et les rapports. (b) Donner la relation de récurrence et la forme explicite. (c) Prévoir l’effectif la 7ᵉ année (n = 6).

Calculer les écarts successifs
230 − 200 = 30 ; 260 − 230 = 30 ; 290 − 260 = 30. Les écarts sont rigoureusement constants : variation absolue constante.
Vérifier par les rapports
230 / 200 = 1,15 ; 260 / 230 ≈ 1,13 ; 290 / 260 ≈ 1,115. Les rapports ne sont PAS constants : le modèle exponentiel est écarté.
Conclure et écrire la suite
Écarts constants, rapports non constants : modèle linéaire (suite arithmétique de premier terme u₀ = 200 et de raison r = 30).
Prévoir la 7ᵉ année
La 1re année est n = 0, donc la 7ᵉ année correspond à n = 6 : u₆ = 200 + 30 × 6.

Résultat : (a) Écarts constants (+30) mais rapports décroissants : modèle LINÉAIRE. (b) uₙ₊₁ = uₙ + 30 et uₙ = 200 + 30 n. (c) La 7ᵉ année (n = 6) : 380 adhérents prévus.

Objectif Bac

Choisir entre modèle linéaire et modèle exponentiel en testant sur les données si ce sont les écarts ou les rapports successifs qui sont constants.
Écrire la forme explicite adaptée — uₙ = u₀ + n·r ou uₙ = u₀ · qⁿ — et l'utiliser pour prévoir une valeur à un rang donné.
Composer plusieurs évolutions en multipliant les coefficients multiplicateurs, et convertir le résultat en pourcentage global.
Comparer les comportements à long terme des deux modèles et justifier qu'une croissance géométrique de raison supérieure à 1 finit toujours par dépasser une croissance arithmétique.
Reconnaître graphiquement les deux modèles : droite pour l'arithmétique, courbe d'allure exponentielle qui devient une droite en échelle logarithmique pour la géométrique.

Erreurs fréquentes

Additionner les pourcentages d'évolutions successives : +5 % par an pendant 10 ans donne 1,05¹⁰ ≈ +63 %, pas +50 %. On multiplie les coefficients.
Confondre raison additive et raison multiplicative : une suite arithmétique a une raison r qu'on AJOUTE, une suite géométrique une raison q par laquelle on MULTIPLIE.
Choisir le modèle sur l'allure du nuage seule : une exponentielle de faible taux ressemble à une droite sur un intervalle court. Le test sur les écarts et les rapports est le seul décisif.
Écrire uₙ = u₀ · q^(n−1) au lieu de u₀ · qⁿ : tout dépend du rang initial choisi. Si le premier terme est u₀, l'exposant est n ; s'il est u₁, l'exposant est n − 1.
Croire qu'une baisse de 20 % suivie d'une hausse de 20 % ramène à la valeur initiale : 0,8 × 1,2 = 0,96, il manque 4 %.

Révision active

On relève le nombre d’adhérents d’un club sur quatre années : 200, 230, 260, 290. (a) Ce nuage est-il mieux décrit par un modèle linéaire ou exponentiel ? Justifier par les écarts et les rapports. (b) Donner la relation de récurrence et la forme explicite. (c) Prévoir l’effectif la 7ᵉ année (n = 6).

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme d’enseignement scientifique de première générale — annexe, texte en vigueur (BO n° 25 du 22 juin 2023, mathématiques intégrées) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Variation moyenne, variation instantanée et nombre dérivé#

~8 min de lectureStandardeduscol-programme-enseignement-scientifique

Beaucoup de questions scientifiques ne portent pas sur une valeur mais sur une VITESSE de variation : à quelle vitesse la concentration de CO₂ augmente-t-elle, à quel moment une population croît-elle le plus vite, quand un rendement cesse-t-il de progresser. Le programme de mathématiques de l'enseignement scientifique introduit pour cela deux outils emboîtés : la variation moyenne sur un intervalle, puis la variation instantanée en un point.

La variation MOYENNE de f entre a et b est le quotient (f(b) − f(a)) / (b − a). Graphiquement, c'est le coefficient directeur de la SÉCANTE joignant les deux points de la courbe. C'est aussi ce que l'on calcule sans le dire quand on parle d'une croissance « de tant par an sur la période » : une moyenne, qui peut masquer des comportements très différents à l'intérieur de l'intervalle.

La variation INSTANTANÉE en a est ce vers quoi tend la variation moyenne quand b se rapproche de a. On l'appelle le NOMBRE DÉRIVÉ de f en a, noté f′(a) ; graphiquement, c'est le coefficient directeur de la TANGENTE à la courbe au point d'abscisse a (voir Fig. 4). La tangente est la droite qui épouse le mieux la courbe au voisinage de ce point, et son équation s'écrit y = f(a) + f′(a)(x − a).

Sécante et tangente : variation moyenne et variation instantanée

Fig. 4Courbe de f(x) = −0,1x³ + 1,2x². La sécante entre x = 2 et x = 6 a pour pente la variation MOYENNE sur l'intervalle, soit 4,4. La tangente au point d'abscisse 4 a pour pente la variation INSTANTANÉE en ce point, f′(4) = 4,8. Les deux droites sont proches sans être confondues — c'est exactement l'écart que la question évalue. Au sommet de la courbe (x = 8), la tangente serait horizontale : f′(8) = 0.

Fig. 4 ↓

Le signe du nombre dérivé se lit directement sur le graphique et donne le sens de variation : f′(a) > 0 signifie que la courbe monte en a, f′(a) < 0 qu'elle descend, f′(a) = 0 que la tangente est horizontale. Un maximum ou un minimum s'obtient donc là où la dérivée s'annule EN CHANGEANT DE SIGNE — c'est le principe de toute optimisation, et la raison pour laquelle on cherche f′(x) = 0.

Les dérivées à connaître se limitent aux polynômes de degré au plus 3, et trois règles suffisent : la dérivée de xⁿ est n·x^(n−1), la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et un facteur constant se conserve. Ainsi, si f(x) = −0,1x³ + 1,2x², alors f′(x) = −0,3x² + 2,4x. Une constante additive a une dérivée nulle : déplacer une courbe vers le haut ne change aucune de ses pentes.

Attention à ne pas confondre les trois objets que ce vocabulaire met en jeu : f(a) est une VALEUR (l'ordonnée du point), f′(a) est une PENTE (une vitesse de variation), et la tangente est une DROITE. Une question qui demande « à quelle vitesse » attend f′(a), une question qui demande « combien » attend f(a). Leurs unités diffèrent d'ailleurs : si f est une masse en kg et x un temps en années, f′ s'exprime en kg par an.

Ce lien avec les unités est l'usage scientifique le plus utile du nombre dérivé : toute grandeur exprimée « par unité de temps » est une dérivée. Une vitesse est la dérivée d'une position, un débit la dérivée d'un volume, un taux d'accroissement instantané la dérivée d'un effectif. Reconnaître qu'une grandeur est une dérivée dit immédiatement comment la lire sur un graphique — c'est une pente, jamais une hauteur.

Vocabulaire

→ Cartes

variation moyenneQuotient (f(b) − f(a)) / (b − a) ; coefficient directeur de la sécante joignant les deux points.
nombre dérivéLimite de la variation moyenne quand b tend vers a ; coefficient directeur de la tangente en a, noté f′(a).
tangenteDroite d'équation y = f(a) + f′(a)(x − a) qui épouse la courbe au voisinage du point d'abscisse a.
sécanteDroite passant par deux points d'une courbe ; sa pente est la variation moyenne sur l'intervalle.
extremumMaximum ou minimum local, atteint là où la dérivée s'annule en changeant de signe.

Variation moyenne entre a et b

\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}

f(a) et f(b) sont les valeurs de la grandeur aux deux bornes, a et b les valeurs de la variable (souvent un temps). Le quotient s'exprime dans l'unité de f divisée par celle de la variable — par exemple des tonnes par unité d'engrais, ou des ppm par an.

Équation de la tangente au point d'abscisse a

y = f(a) + f'(a)\,(x - a)

f(a) est l'ordonnée du point de contact, f′(a) le nombre dérivé, c'est-à-dire la pente de la droite. La tangente passe donc par le point (a ; f(a)) et suit la pente instantanée de la courbe en ce point.

Dérivée d'une puissance

(x^{n})' = n\,x^{\,n-1}

n est un entier positif. Avec la dérivée d'une somme (somme des dérivées) et la conservation d'un facteur constant, cette règle suffit à dériver tout polynôme de degré au plus 3, seul cas exigible ici.

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Exemple corrigé

Doser un engrais : de la variation moyenne à l'optimum

Le rendement d'une parcelle, en tonnes, est modélisé sur [0 ; 10] par f(x) = −0,1x³ + 1,2x², où x désigne la quantité d'engrais apportée en unités. Calculer la variation moyenne du rendement sur l'intervalle [2 ; 6], puis la variation instantanée en x = 4 et comparer les deux. Déterminer enfin la quantité d'engrais qui maximise le rendement et la valeur de ce maximum.

Calculer la variation moyenne
On évalue f aux deux bornes : f(2) = −0,1 × 8 + 1,2 × 4 = −0,8 + 4,8 = 4,0 et f(6) = −0,1 × 216 + 1,2 × 36 = −21,6 + 43,2 = 21,6. La variation moyenne vaut donc (21,6 − 4,0)/(6 − 2) = 17,6/4 = 4,4 tonnes par unité d'engrais.
Dériver le polynôme
On applique la règle sur chaque terme, en conservant les facteurs constants.
$f'(x) = -0{,}3\,x^{2} + 2{,}4\,x$
Calculer la variation instantanée en 4
f′(4) = −0,3 × 16 + 2,4 × 4 = −4,8 + 9,6 = 4,8 tonnes par unité d'engrais. La production croît donc un peu plus vite en x = 4 que la moyenne calculée sur [2 ; 6], ce qui est cohérent : la courbe s'infléchit après ce point.
Chercher l'optimum
On résout f′(x) = 0 : −0,3x² + 2,4x = x(−0,3x + 2,4) = 0, donc x = 0 ou x = 8. Sur ]0 ; 8[ la dérivée est positive, sur ]8 ; 10] elle est négative : f croît puis décroît, le maximum est atteint en x = 8.
Conclure numériquement
f(8) = −0,1 × 512 + 1,2 × 64 = −51,2 + 76,8 = 25,6 tonnes.

Résultat : La production est maximale pour 8 unités d'engrais et vaut 25,6 tonnes ; au-delà, le modèle prévoit une baisse — ce que la dérivée négative traduit, et qui rappelle qu'un modèle polynomial n'est valable que sur un domaine limité.

Erreurs fréquentes

Confondre f(a) et f′(a) : le premier est l'ordonnée du point (une valeur), le second la pente de la tangente (une vitesse de variation). Ils n'ont même pas la même unité.
Lire le nombre dérivé comme la hauteur de la courbe : f′(a) est une PENTE. Sur un graphique, il se mesure par un rapport « montée sur avancée » le long de la tangente, jamais par une lecture directe sur l'axe des ordonnées.
Conclure à un extremum dès que f′(x) = 0 : il faut que la dérivée CHANGE DE SIGNE. La fonction x ↦ x³ a une dérivée nulle en 0 sans y présenter ni maximum ni minimum.
Dériver une constante en la recopiant : la dérivée d'une constante est nulle. Dans f(x) = 2x² + 5, la dérivée est 4x, pas 4x + 5.
Prendre la variation moyenne pour la variation instantanée : la moyenne sur [2 ; 6] peut valoir 4,4 alors que la pente instantanée en 4 vaut 4,8. Elles coïncident rarement, et la question précise toujours laquelle est demandée.

Révision active

La production d'une parcelle, en tonnes, suit f(x) = −0,1x³ + 1,2x², où x est la dose d'engrais en unités. (a) Calculer la production moyenne gagnée par unité d'engrais entre x = 2 et x = 6. (b) Calculer f′(x), puis f′(4) : à quelle vitesse la production augmente-t-elle pour x = 4, et en quelle unité ? (c) Déterminer la dose qui maximise la production et justifier par le signe de f′. (d) Que se passe-t-il au-delà de cette dose, et le modèle vous paraît-il encore réaliste ?

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme d’enseignement scientifique de première générale — annexe, texte en vigueur (BO n° 25 du 22 juin 2023, mathématiques intégrées) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Ajustement, courbe de tendance et test de validité d’un modèle#

~7 min de lectureStandardeduscol-programme-enseignement-scientifique

Nuage de points et droite de tendance

Fig. 5Cinq mesures (points) et la droite de tendance C(t) = 2,0 + 1,0·t qui les résume. Au-delà de t = 4 (zone grisée), la prévision devient une extrapolation à manier avec prudence.

Modéliser, c’est résumer un nuage de points (relevés expérimentaux) par une courbe de tendance simple — droite pour un modèle linéaire, exponentielle pour un modèle exponentiel — que l’on ajuste « au plus près » des points (à l’œil, au tableur ou à la calculatrice).

La courbe de tendance sert ensuite à PRÉVOIR : on interpole entre les points connus, ou on extrapole un peu au-delà. L’extrapolation lointaine est risquée car rien ne garantit que le phénomène conserve le même comportement (saturation, changement de régime).

Tester la validité du modèle : on confronte les valeurs PRÉDITES par la courbe aux valeurs RÉELLES non utilisées pour l’ajuster. Si les écarts (résidus) restent faibles et sans tendance systématique, le modèle est validé ; sinon il faut le rejeter ou en changer.

Aucun modèle n’est « vrai » : il est seulement utile dans un domaine de validité. Un même nuage peut être bien décrit localement par une droite et globalement par une exponentielle — d’où l’importance de préciser sur quel intervalle on l’utilise.

Outils pratiques : le tableur (fonction de tendance/régression) et la calculatrice donnent une équation d’ajustement ; en terminale on privilégie l’INTERPRÉTATION (cohérence, ordre de grandeur, écart aux données) plutôt que la justification théorique de la méthode des moindres carrés.

Un modèle se juge sur ses RÉSIDUS, c'est-à-dire les écarts entre valeurs observées et valeurs prédites, et la manière de les examiner est aussi importante que leur taille. Des résidus petits mais rangés — tous positifs au début, tous négatifs à la fin — révèlent que le modèle a la mauvaise FORME, même si l'ajustement paraît bon. Des résidus dispersés sans structure, en revanche, signalent un modèle adapté dont il ne reste que le bruit de mesure.

Interpoler et extrapoler ne comportent pas le même risque, et confondre les deux est l'erreur la plus coûteuse du sous-thème. Interpoler, c'est estimer entre des points observés : le modèle y est contraint par les données de part et d'autre. Extrapoler, c'est prolonger au-delà : rien ne garantit que le phénomène conserve le même comportement. Toute croissance exponentielle observée finit par buter sur une limite physique — saturation, ressource épuisée, effet de rétroaction — et l'extrapolation lointaine d'une exponentielle est presque toujours fausse.

Un même jeu de données peut ainsi accepter plusieurs modèles concurrents, et le choix ne se tranche pas seulement sur la qualité de l'ajustement : il se tranche aussi sur ce que l'on sait du phénomène. Entre deux courbes également proches des points, on retient celle dont la forme a un SENS physique ou biologique. C'est ce raisonnement, et non un coefficient de corrélation, qui est attendu.

Vocabulaire

→ Cartes

courbe de tendanceCourbe simple ajustée à un nuage de points pour en résumer le comportement d'ensemble.
résiduÉcart entre une valeur observée et la valeur prédite par le modèle ; sa structure juge le modèle.
interpolationEstimation d'une valeur à l'intérieur du domaine des données observées.
extrapolationProlongement du modèle au-delà des données observées ; l'opération risquée du sous-thème.
domaine de validitéIntervalle sur lequel un modèle rend compte correctement du phénomène.

Résidu (écart au modèle)

\text{résidu}_i = y_i^{\text{mesuré}} - y_i^{\text{prédit}}

Écart entre une valeur mesurée et la valeur donnée par la courbe de tendance. De petits résidus sans tendance systématique valident le modèle.

Deux courbes de tendance usuelles

y(t) = a + b\,t \quad (\text{tendance linéaire}) \qquad y(t) = y_0 \times q^{\,t} \quad (\text{tendance exponentielle})

On ajuste l’une ou l’autre selon le critère écart/rapport, puis on l’utilise pour interpoler et extrapoler.

Concentration de polluant mesurée et droite de tendance

Fig. 6Cinq relevés de concentration (2,0 ; 2,9 ; 4,0 ; 5,1 ; 6,0 mg·L⁻¹ aux instants t = 0 à 4 h) avec la droite d'ajustement des moindres carrés calculée par le moteur. La quasi-constance des écarts (résidus ≤ 0,1) valide le modèle linéaire C(t) ≈ 2,0 + 1,0·t.

Exemple corrigé

Polluant : test de validité d’un modèle linéaire et extrapolation

On mesure la concentration d’un polluant (mg·L⁻¹) : (0 ; 2,0), (1 ; 2,9), (2 ; 4,0), (3 ; 5,1), (4 ; 6,0). On propose la droite C(t) = 2,0 + 1,0·t. (a) Calculer les résidus. (b) Le modèle est-il acceptable ? (c) Prévoir C à t = 6 et discuter la fiabilité.

Calculer les valeurs prédites
On applique C(t) = 2,0 + t : C(0)=2,0 ; C(1)=3,0 ; C(2)=4,0 ; C(3)=5,0 ; C(4)=6,0.
Calculer les résidus (mesuré − prédit)
t=0 : 2,0−2,0 = 0 ; t=1 : 2,9−3,0 = −0,1 ; t=2 : 4,0−4,0 = 0 ; t=3 : 5,1−5,0 = +0,1 ; t=4 : 6,0−6,0 = 0.
Conclure sur la validité
Les résidus sont très faibles (|écart| ≤ 0,1 mg·L⁻¹) et ne montrent aucune dérive systématique : le modèle linéaire est acceptable sur 0 ≤ t ≤ 4.
Extrapoler à t = 6
C(6) = 2,0 + 1,0 × 6 = 8,0 mg·L⁻¹. Mais t = 6 est hors du domaine validé (0 à 4) : la prévision suppose que la tendance se prolonge, ce qui n’est pas garanti (saturation possible).

Résultat : (a) Résidus {0 ; −0,1 ; 0 ; +0,1 ; 0}. (b) Modèle linéaire validé sur 0 ≤ t ≤ 4 (écarts ≤ 0,1 mg·L⁻¹, sans biais). (c) C(6) ≈ 8,0 mg·L⁻¹, valeur à présenter avec réserve car elle repose sur une extrapolation hors du domaine testé.

Explication pas à pas4 étapes

1
Tout commence par un nuage de points : des mesures de concentration de polluant qui montent régulièrement avec le temps.
2
Les écarts successifs valent à peu près +1 par unité de temps : on tente donc une droite de tendance, C(t) = 2,0 + 1,0·t.
3
Pour la valider, on compare les valeurs prédites aux valeurs mesurées : les résidus restent inférieurs à 0,1 milligramme par litre, sans dérive. Le modèle tient.
4
Enfin, prévoir à t = 6 donne 8 milligrammes par litre — mais c’est une extrapolation hors du domaine testé : à annoncer avec prudence.

Erreurs fréquentes

Juger un modèle sur la seule taille des résidus : des résidus petits mais rangés par signe révèlent une mauvaise forme de modèle. Il faut regarder leur STRUCTURE.
Extrapoler une exponentielle très au-delà des données : aucune croissance exponentielle ne se poursuit indéfiniment dans un système réel, toujours limité en ressources.
Confondre corrélation et causalité : un bon ajustement entre deux grandeurs n'établit aucun lien de cause à effet. Il peut exister un facteur commun caché.
Considérer un modèle comme « vrai » ou « faux » : un modèle est utile sur un domaine de validité. La question est toujours « valable jusqu'où ? », jamais « vrai ou faux ? ».
Ajuster une droite à des points visiblement incurvés parce que la droite est plus simple : la simplicité ne compense pas une forme inadaptée, et les résidus le montreront.

Révision active

On mesure la concentration d’un polluant (en mg·L⁻¹) à plusieurs dates : (0 ; 2,0), (1 ; 2,9), (2 ; 4,0), (3 ; 5,1), (4 ; 6,0). On propose la droite de tendance C(t) = 2,0 + 1,0·t. (a) Calculer les écarts entre valeurs prédites et mesurées. (b) Le modèle linéaire est-il acceptable ? (c) Prévoir la concentration à t = 6 et discuter la fiabilité de cette extrapolation.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme d’enseignement scientifique de première générale — annexe, texte en vigueur (BO n° 25 du 22 juin 2023, mathématiques intégrées) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Probabilités : fluctuation, intervalle de confiance, Hardy-Weinberg et Bayes#

~7 min de lectureApprofondissementeduscol-programme-enseignement-scientifique

Intervalle de confiance à 95 % autour d’une fréquence observée

Fig. 7On observe une fréquence f sur un échantillon de taille n ; l’intervalle de confiance à 95 % est le segment [f − 1/√n ; f + 1/√n]. Exemple : f = 0,52 pour n = 100 donne 1/√n = 0,10, soit l’intervalle [0,42 ; 0,62]. Plus n est grand, plus 1/√n est petit et plus le segment se resserre autour de f.

Fluctuation d’échantillonnage : deux échantillons de même taille tirés d’une même population ne donnent pas exactement la même proportion. La loi des grands nombres assure que, quand la taille n grandit, la fréquence observée se rapproche de la probabilité réelle ; mais pour n fini, elle fluctue autour d’elle.

Intervalle de confiance à 95 % pour une proportion : à partir d’une fréquence observée f sur un échantillon de taille n, on encadre la proportion inconnue p de la population par l’intervalle [f − 1/√n ; f + 1/√n]. On dit qu’il contient p « avec un niveau de confiance de 95 % ». La précision (la largeur de l’intervalle) s’améliore quand n augmente, en 1/√n.

Une estimation par intervalle de confiance n’est JAMAIS certaine à 100 % : le niveau de confiance de 95 % traduit justement le risque dû à la fluctuation d’échantillonnage. Annoncer « p est compris entre … et … » sans niveau de confiance est incorrect.

Modèle de Hardy-Weinberg : pour un gène à deux allèles de fréquences p et q (avec p + q = 1) dans une population idéale, les fréquences attendues des génotypes sont p² (homozygote 1), 2pq (hétérozygote) et q² (homozygote 2). C’est l’exemple-clé reliant probabilités et génétique des populations du thème « le vivant ».

Probabilités conditionnelles et formule de Bayes : un tableau de contingence croise un état réel (malade / sain) et un résultat de test (positif / négatif) en quatre cases — vrais positifs (VP), faux positifs (FP), vrais négatifs (VN), faux négatifs (FN). La formule de Bayes remonte de l’effet (test positif) à la cause (être réellement malade) : P(malade | positif) = VP / (VP + FP).

La largeur de l'intervalle de confiance vaut 2/√n, et cette dépendance en racine carrée a une conséquence pratique constamment testée : pour diviser l'incertitude par 2, il faut multiplier la taille de l'échantillon par 4, et pour la diviser par 10, il faut un échantillon 100 fois plus grand. C'est ce rendement décroissant qui explique pourquoi les grandes enquêtes s'arrêtent à quelques milliers d'individus.

Le niveau de confiance doit toujours être énoncé avec l'intervalle, sous peine de rendre l'affirmation fausse. « 95 % de confiance » signifie que la MÉTHODE produit, dans 95 % des échantillons possibles, un intervalle contenant la vraie proportion. Cela ne dit pas que la vraie valeur a 95 % de chances d'être dans CET intervalle-là — nuance que le programme n'exige pas d'expliciter, mais qui interdit d'écrire « p vaut certainement entre … et … ».

En probabilités conditionnelles, l'erreur la plus coûteuse consiste à intervertir les deux termes du conditionnement. La probabilité d'être positif quand on est malade (la sensibilité du test) et la probabilité d'être malade quand on est positif (la valeur prédictive positive) sont deux nombres différents, souvent très différents. Quand la maladie est rare, un test même très fiable produit beaucoup plus de faux positifs que de vrais positifs, simplement parce que les personnes saines sont bien plus nombreuses.

Le tableau de contingence est l'outil qui rend ce raisonnement infaillible : on part d'une population de référence commode — 10 000 personnes par exemple —, on remplit les quatre cases, puis on lit le rapport voulu directement. Raisonner sur des effectifs plutôt que sur des probabilités évite pratiquement toutes les erreurs de conditionnement.

Vocabulaire

→ Cartes

fluctuation d’échantillonnageVariation de la fréquence observée d'un échantillon à l'autre, à population identique.
intervalle de confianceEncadrement [f − 1/√n ; f + 1/√n] d'une proportion inconnue, assorti d'un niveau de confiance de 95 %.
équilibre de Hardy-WeinbergStabilité des fréquences génotypiques p², 2pq, q² dans une grande population sans force évolutive.
tableau de contingenceTableau croisant deux caractères en quatre effectifs ; l'outil sûr du raisonnement conditionnel.
valeur prédictive positiveProbabilité d'être réellement atteint sachant que le test est positif : VP / (VP + FP).
faux positifIndividu sain déclaré positif par le test ; d'autant plus nombreux que la maladie est rare.

Intervalle de confiance à 95 % d’une proportion

IC_{95\%} = \left[\, f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \;;\; f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,\right]

f est la fréquence observée sur un échantillon de taille n. L’intervalle contient la proportion p de la population avec un niveau de confiance de 95 % ; sa largeur décroît en 1/√n.

Équilibre de Hardy-Weinberg

p^2 + 2pq + q^2 = 1, \qquad p + q = 1

Fréquences attendues des génotypes (p² homozygote dominant, 2pq hétérozygote, q² homozygote récessif) pour deux allèles de fréquences p et q dans une population idéale.

Formule de Bayes sur un tableau de contingence

P(\text{M} \mid \text{+}) = \dfrac{\text{VP}}{\text{VP} + \text{FP}}

Probabilité d’être réellement malade (M) sachant que le test est positif (+) : nombre de vrais positifs rapporté à tous les positifs (vrais + faux). C’est la valeur prédictive positive du test.

Tableau de contingence et formule de Bayes (test de dépistage)

Fig. 8Exemple chiffré : maladie touchant 1 % d'une population de 10 000 personnes (100 malades), test sensible à 99 % et spécifique à 95 %. On obtient 99 vrais positifs (mis en évidence) mais 495 faux positifs. D'où P(malade | positif) = 99 / (99 + 495) ≈ 17 % seulement : avec une maladie rare, les faux positifs gonflent le dénominateur et un test positif reste peu prédictif.

Exemple corrigé

Dépistage : tableau de contingence et formule de Bayes

Un test est appliqué à 10 000 personnes ; la maladie touche réellement 1 % de la population ; le test détecte 95 % des malades (sensibilité) et donne 4 % de faux positifs chez les sains. (a) Construire le tableau (VP, FN, FP, VN). (b) Calculer P(malade | test positif). (c) Commenter.

Répartir la population
Sur 10 000 personnes, 1 % sont malades : 100 malades et 9 900 sains.
Vrais positifs et faux négatifs
Le test détecte 95 % des 100 malades : VP = 95. Les autres malades sont manqués : FN = 100 − 95 = 5.
Faux positifs et vrais négatifs
4 % des 9 900 sains sont positifs à tort : FP = 0,04 × 9 900 = 396. Les autres sains sont bien négatifs : VN = 9 900 − 396 = 9 504.
Appliquer Bayes
Parmi tous les positifs (VP + FP = 95 + 396 = 491), seuls les VP sont réellement malades.
Interpréter
Un test positif ne donne qu’environ 19 % de chances d’être réellement malade : la maladie étant rare, les faux positifs (396) écrasent les vrais positifs (95). D’où l’intérêt d’un test de confirmation.

Résultat : (a) VP = 95, FN = 5, FP = 396, VN = 9 504. (b) P(malade | positif) = 95/491 ≈ 0,19, soit environ 19 %. (c) Malgré une sensibilité de 95 %, un positif n’a qu’environ une chance sur cinq d’être vraiment malade, car la maladie est rare et les faux positifs nombreux : c’est le paradoxe des tests sur maladies rares.

Erreurs fréquentes

Annoncer un intervalle sans son niveau de confiance : une estimation par échantillon n'est jamais certaine, et l'omission transforme une estimation honnête en affirmation fausse.
Croire qu'on divise l'incertitude par 2 en doublant l'échantillon : la largeur varie en 1/√n, il faut QUADRUPLER n.
Intervertir les probabilités conditionnelles : P(malade | positif) n'est pas P(positif | malade). Pour une maladie rare, la première peut être faible alors que la seconde est très élevée.
Appliquer Hardy-Weinberg sans vérifier ses conditions : le modèle suppose une population de grand effectif, sans migration, mutation, sélection ni dérive. Un écart aux proportions attendues est un RÉSULTAT, il signale une force évolutive.
Confondre les fréquences alléliques (p et q) et les fréquences génotypiques (p², 2pq, q²) : les premières portent sur les allèles, les secondes sur les individus, et seule la somme p + q vaut 1 côté allèles.

Révision active

Un test de dépistage est appliqué à 10 000 personnes. La maladie touche réellement 1 % de la population. Le test détecte 95 % des malades (sensibilité) et donne 4 % de faux positifs chez les sains. (a) Construire le tableau de contingence (VP, FN, FP, VN). (b) Calculer la probabilité d’être réellement malade quand le test est positif. (c) Commenter ce résultat.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme d’enseignement scientifique de première générale — annexe, texte en vigueur (BO n° 25 du 22 juin 2023, mathématiques intégrées) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Proportions, taux de variation, ordres de grandeur et outils numériques#

~6 min de lectureBaseeduscol-programme-enseignement-scientifique

Composition d’évolutions : +20 % puis −15 %

Fig. 9Deux évolutions successives se composent en MULTIPLIANT leurs coefficients, jamais en additionnant les pourcentages : ×1,20 (+20 %) puis ×0,85 (−15 %) donnent ×(1,20 × 0,85) = ×1,02, soit une hausse nette de 2 % (et non +5 %). Le résultat global est mis en évidence.

Proportion et pourcentage : une proportion est un rapport partie/total ; un pourcentage est cette proportion exprimée sur 100. Prendre p % d’une grandeur, c’est la multiplier par p/100. Attention : enchaîner deux pourcentages se fait en MULTIPLIANT les coefficients (×, pas +).

Taux de variation : la variation ABSOLUE est la différence (valeur finale − valeur initiale) ; le taux RELATIF (ou taux d’évolution) est cette différence rapportée à la valeur initiale, t = (V_f − V_i)/V_i. Une hausse de p % correspond au coefficient multiplicateur 1 + p/100, une baisse de p % au coefficient 1 − p/100.

Grandeurs quotients : beaucoup de grandeurs scientifiques sont des rapports (vitesse = distance/temps, masse volumique = masse/volume, concentration = quantité/volume). Les manipuler exige de suivre les unités, qui se simplifient comme des nombres (analyse dimensionnelle).

Ordres de grandeur et puissances de 10 : on écrit un nombre a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 (notation scientifique). L’ordre de grandeur est la puissance de 10 la plus proche. Comparer deux grandeurs, c’est d’abord comparer leurs exposants ; les conversions d’unités se ramènent à des multiplications par des puissances de 10.

Outils numériques : le tableur (formules recopiées, graphiques, tendances), la calculatrice et un court programme Python permettent de simuler un modèle (Hardy-Weinberg, croissance, captures-recaptures), de l’itérer sur de nombreux pas et d’en exploiter les sorties — sans calcul manuel fastidieux.

Composer deux évolutions est l'opération la plus fréquemment ratée de tout le programme, et elle se règle par une seule règle : on multiplie les coefficients multiplicateurs. Une hausse de 20 % puis une baisse de 20 % donnent 1,2 × 0,8 = 0,96, soit une baisse nette de 4 %. Une baisse de 50 % ne s'annule pas par une hausse de 50 % mais par une hausse de 100 %. Les pourcentages ne s'additionnent jamais.

Un point de vocabulaire décide de la justesse d'une phrase : passer de 4 % à 6 %, c'est une hausse de DEUX POINTS de pourcentage, mais de CINQUANTE POUR CENT en valeur relative. Les deux formulations sont correctes et décrivent le même fait ; les confondre transforme un chiffre exact en affirmation fausse.

L'estimation en ordres de grandeur est une compétence à part entière du programme, pas un pis-aller : on arrondit chaque facteur à la puissance de 10 la plus proche, on multiplie les puissances en ajoutant les exposants, et l'on obtient en quelques secondes un résultat au bon facteur 10 près. Cela sert surtout à CONTRÔLER un calcul détaillé — si l'estimation et le résultat détaillé diffèrent de plusieurs ordres de grandeur, il y a une erreur, presque toujours une conversion d'unité.

Le suivi des unités est le second garde-fou, et il est mécanique : dans une grandeur quotient, les unités se simplifient exactement comme les nombres. Un résultat en W·m⁻² qui sort en J n'est pas « à peu près juste », il est faux. Vérifier l'homogénéité d'une formule avant de l'appliquer coûte quelques secondes et détecte la plupart des erreurs de recopie.

Vocabulaire

→ Cartes

coefficient multiplicateurFacteur par lequel on multiplie pour appliquer une évolution : 1 + t, où t est le taux.
point de pourcentageUnité d'écart entre deux pourcentages ; à distinguer de la variation relative entre ces deux valeurs.
grandeur quotientGrandeur définie comme un rapport (vitesse, masse volumique, concentration) ; ses unités se simplifient comme les nombres.
notation scientifiqueÉcriture a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10, qui rend les comparaisons d'ordres de grandeur immédiates.
homogénéitéCohérence des unités des deux membres d'une relation ; sa vérification détecte la plupart des erreurs.

Taux d’évolution et coefficient multiplicateur

t = \dfrac{V_f - V_i}{V_i}, \qquad \text{CM} = 1 + \dfrac{p}{100}

Taux relatif t (variation rapportée à la valeur initiale) et coefficient multiplicateur associé à une hausse de p % (1 − p/100 pour une baisse).

Composition de deux évolutions

\text{CM}_{\text{global}} = \text{CM}_1 \times \text{CM}_2

Deux évolutions successives se composent en MULTIPLIANT leurs coefficients, jamais en additionnant les pourcentages.

Notation scientifique et ordre de grandeur

x = a \times 10^{n}, \quad 1 \le a < 10

Écriture normalisée d’un nombre : a est la mantisse, 10^n fixe l’ordre de grandeur. Comparer deux nombres revient d’abord à comparer leurs exposants n.

Exemple corrigé

Composer deux évolutions en pourcentage

Le prix d’un bien augmente de 20 % la première année, puis diminue de 15 % la seconde. (a) Coefficient multiplicateur global ? (b) Variation en pourcentage sur deux ans ? (c) Écrire une ligne de tableur donnant le prix final à partir de la cellule A1 (prix initial).

Coefficient de chaque année
Hausse de 20 % : ×1,20. Baisse de 15 % : ×(1 − 0,15) = ×0,85.
Coefficient global
On multiplie les deux coefficients (et surtout on n’additionne pas +20 % et −15 %).
Variation nette
Un coefficient global de 1,02 signifie +2 % sur deux ans, et non +5 % comme le suggérerait une addition naïve.
Traduire en tableur
Dans une cellule, on enchaîne les coefficients à partir de A1 (le signe = ouvre une formule de tableur).

Résultat : (a) CM global = 1,20 × 0,85 = 1,02. (b) Le prix a augmenté de 2 % sur deux ans (et non de 5 %). (c) Formule de tableur : =A11,200,85 (soit =A11.200.85 avec un séparateur décimal point).

Erreurs fréquentes

Additionner des pourcentages successifs : +20 % puis −20 % donne 0,96, soit −4 %, et non un retour à la valeur initiale.
Confondre points de pourcentage et pourcentage : passer de 4 % à 6 % est une hausse de 2 points, soit +50 % en relatif. Écrire « une hausse de 2 % » est faux.
Oublier d'élever une conversion à la puissance : convertir des cm en m dans un VOLUME demande un facteur (10⁻²)³ = 10⁻⁶, pas 10⁻².
Rendre un résultat sans unité ou avec une unité non homogène : dans une grandeur quotient, les unités se simplifient comme les nombres et doivent être vérifiées.
Négliger l'estimation en ordres de grandeur avant le calcul détaillé : c'est le seul contrôle qui détecte immédiatement une erreur de conversion de plusieurs puissances de 10.

Révision active

Le prix d’un bien augmente de 20 % une première année, puis diminue de 15 % l’année suivante. (a) Donner le coefficient multiplicateur global. (b) De combien de pour cent le prix a-t-il varié sur deux ans ? (c) Écrire une ligne de tableur calculant le prix final à partir d’une cellule A1 contenant le prix initial.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme d’enseignement scientifique de première générale — annexe, texte en vigueur (BO n° 25 du 22 juin 2023, mathématiques intégrées) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Points clés

Croissance bactérienne : modèle exponentiel et temps de doublement

Points clés

Adhérents d’un club : choisir et exploiter le bon modèle

Points clés

Doser un engrais : de la variation moyenne à l'optimum

Points clés

Polluant : test de validité d’un modèle linéaire et extrapolation

Points clés

Dépistage : tableau de contingence et formule de Bayes

Points clés

Composer deux évolutions en pourcentage

Sources