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Probabilités conditionnelles et indépendance

Conditionner, c'est réduire l'univers : on se place dans le monde où un premier événement s'est produit et l'on y recalcule les probabilités. L'arbre pondéré rend l'opération visuelle, la formule des probabilités totales recompose l'ensemble à partir d'une partition, et l'indépendance décrit le cas particulier où le conditionnement ne change rien. Ces notions, introduites en première, sont réinvesties en terminale dès que l'on modélise une succession d'épreuves — jusqu'au schéma de Bernoulli.

4 sections~22 min de lecture4 compétencesVérifié · 08/2026

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Profil d’examen

Construire un arbre pondéré adapté à une situation et interpréter la pondération de chaque brancheCalculer une probabilité conditionnelle et l'utiliser dans la multiplication des probabilités le long d'un cheminAppliquer la formule des probabilités totales relative à une partition de l'universReconnaître et exploiter l'indépendance de deux événements, et la distinguer de l'incompatibilité

Opérateurs :calculermodéliserjustifierinterpréterdémontrerreprésenter

niveau de base

Hors spécialité, on privilégie la lecture d'un arbre déjà construit et le calcul direct des probabilités le long des chemins, sans exiger la démonstration de la symétrie de l'indépendance.

niveau approfondi

En spécialité, la construction de l'arbre, la justification de la partition et la rédaction complète de la formule des probabilités totales sont attendues, de même que le retour d'une probabilité conditionnelle vers l'autre sens de conditionnement.

Profondeur

Texte

Sommaire · 4 sections

Probabilités conditionnelles et indépendance

4 sections16 points clés8 formules16 pièges signalés

Conditionnement par un événement et arbre pondéré#

~5 min de lectureBaseBO-2019-spe-maths-terminale-§Succession-d-épreuves-indépendantes-schéma-de-Bernoulli

Conditionner par un événement A de probabilité non nulle, c'est se replacer dans l'univers réduit où A s'est réalisé. La probabilité de B SACHANT A, notée P_A(B), se définit comme le rapport de la probabilité de l'intersection à celle de A. La formule dit exactement cela : parmi les issues de A — qui deviennent le nouveau « tout » —, on retient la proportion de celles qui réalisent aussi B. La condition P(A) ≠ 0 n'est pas un détail technique : conditionner par un événement impossible n'aurait aucun sens, puisqu'il n'y aurait plus d'univers.

Multipliée en croix, la définition donne la formule qui sert le plus souvent : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Elle se lit comme un parcours en deux temps — la probabilité que A se produise, PUIS celle que B se produise sachant que A s'est produit. C'est la règle du produit le long d'un chemin, et le programme demande explicitement de « faire le lien entre la définition des probabilités conditionnelles et la multiplication des probabilités des branches du chemin correspondant ».

L'arbre pondéré (voir Fig. 1) obéit à trois règles qu'il faut savoir énoncer. Un : les branches issues d'un même nœud portent des probabilités de somme égale à 1, car elles décrivent tous les cas possibles à cette étape. Deux : la probabilité d'un CHEMIN complet est le PRODUIT des probabilités portées par ses branches. Trois : la probabilité d'un événement est la SOMME des probabilités des chemins qui y mènent. Ces trois règles suffisent à traiter la quasi-totalité des exercices du chapitre.

L’arbre pondéré et ses trois règles

Fig. 1Chaque branche porte une probabilité ; les branches issues d'un même nœud totalisent 1 ; la probabilité d'un chemin est le produit de ses branches. Le chemin mis en évidence donne P(A ∩ B) = 0,3 × 0,8 = 0,24.

Fig. 1 ↓

Une distinction de notation évite bien des confusions : au premier niveau de l'arbre figurent des probabilités simples, P(A) et P(A barre), tandis qu'aux niveaux suivants figurent des probabilités CONDITIONNELLES, P_A(B) et P_{A barre}(B). Ce ne sont pas les mêmes objets, et la branche « B » n'a pas la même pondération selon le nœud dont elle part — c'est précisément ce qui rend l'arbre informatif. Une pondération recopiée d'une branche à l'autre est presque toujours le signe d'une erreur de lecture de l'énoncé.

Le vocabulaire de l'énoncé se traduit mécaniquement, et cette traduction vaut d'être automatisée. « Sachant que », « parmi les », « lorsque » introduisent un conditionnement. « Et », « à la fois », « les deux » désignent une intersection. « Ou » désigne une réunion. Ainsi, « 8 % des pièces produites par l'atelier A sont défectueuses » se traduit par P_A(D) = 0,08, et non par P(A ∩ D) = 0,08 : la phrase se place déjà à l'intérieur de l'atelier A.

Vocabulaire

→ Cartes

probabilité conditionnelleProbabilité de B calculée dans l'univers réduit aux issues réalisant A, notée P_A(B).
arbre pondéréReprésentation où chaque branche porte une probabilité ; on multiplie le long d'un chemin et on additionne entre chemins.
intersectionÉvénement A ∩ B réalisé lorsque les deux événements le sont simultanément.
univers réduitEnsemble des issues réalisant l'événement conditionnant, qui sert de nouveau « tout » au calcul.

Probabilité conditionnelle

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad (P(A) \neq 0)

P(A ∩ B) est la probabilité que les deux événements se réalisent, P(A) celle de l'événement par lequel on conditionne ; le quotient mesure la proportion de B à l'intérieur de A.

Produit le long d’un chemin

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des pondérations de ses branches : d'abord A, puis B sachant A.

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Exemple corrigé

Lire un arbre pondéré et calculer une intersection

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement DEUX boules sans remise. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules rouges.

Nommer les événements
On note R1 l'événement « la première boule est rouge » et R2 l'événement « la deuxième boule est rouge ». Au premier tirage, 5 boules sur 8 sont rouges.
$P(R_1) = \frac{5}{8}$
Écrire la probabilité conditionnelle
Si la première boule tirée est rouge, il ne reste que 4 boules rouges parmi 7 boules : c'est le tirage sans remise qui modifie la pondération de la seconde branche.
$P_{R_1}(R_2) = \frac{4}{7}$
Multiplier le long du chemin
La probabilité du chemin « rouge puis rouge » est le produit des deux pondérations rencontrées.
$P(R_1 \cap R_2) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

Résultat : La probabilité d'obtenir deux boules rouges vaut 5/14, soit environ 0,357. Le tirage sans remise rend les deux tirages dépendants : c'est exactement pourquoi la seconde branche porte 4/7 et non 5/8.

Erreurs fréquentes

Confondre P_A(B) et P(A ∩ B) : la première se calcule dans l'univers réduit à A, la seconde dans l'univers entier — elles ne coïncident que si P(A) = 1.
Recopier la même pondération sur deux branches « B » issues de nœuds différents : leurs probabilités conditionnelles sont en général distinctes.
Additionner les probabilités le long d'un chemin : le long d'un chemin on multiplie, c'est entre chemins que l'on additionne.
Conditionner par un événement de probabilité nulle : la définition exige P(A) ≠ 0, et l'énoncé le garantit implicitement.

Révision active

Dans une population, 30 % des personnes pratiquent un sport. Parmi les sportifs, 80 % déclarent bien dormir ; parmi les non-sportifs, 50 % seulement. Construire l'arbre pondéré et calculer la probabilité qu'une personne prise au hasard soit sportive et déclare bien dormir.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Sources : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A) (Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel)

Partition de l'univers et formule des probabilités totales#

~5 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Succession-d-épreuves-indépendantes-schéma-de-Bernoulli

Une PARTITION de l'univers est une famille d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est l'univers entier : chaque issue en réalise un et un seul. Le cas le plus courant est la partition en deux, formée d'un événement et de son contraire. La formule des probabilités totales s'appuie sur cette structure : puisque tout chemin passe nécessairement par l'un des cas, la probabilité d'un événement B s'obtient en additionnant les contributions de chaque cas.

Pour une partition en trois événements A1, A2, A3, la formule s'écrit P(B) = P(A1) × P_{A1}(B) + P(A2) × P_{A2}(B) + P(A3) × P_{A3}(B). Chaque terme est le produit le long d'un chemin de l'arbre, et la somme parcourt tous les chemins menant à B (voir Fig. 2). Le programme la démontre dans le cas d'une partition en deux ou trois événements, la notion de partition étant présentée sans formalisme : la justification consiste à écrire B comme réunion des B ∩ Ai, deux à deux incompatibles, puis à appliquer le principe additif.

La formule des probabilités totales sur une partition en trois cas

Fig. 2L'univers est partagé en trois ateliers A1, A2, A3 qui forment une partition. L'événement D (« la pièce est défectueuse ») se réalise au bout de trois chemins, un par atelier : sa probabilité est la SOMME des trois produits, soit 0,5 × 0,02 + 0,3 × 0,04 + 0,2 × 0,05 = 0,032.

Fig. 2 ↓

Le cas particulier de la partition en deux mérite d'être su par cœur, car il couvre la majorité des exercices : P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A barre) × P_{A barre}(B). La phrase à écrire dans la copie est toujours la même — « les événements A et A barre forment une partition de l'univers, donc d'après la formule des probabilités totales » — et son absence coûte le point de rédaction même lorsque le calcul est juste.

Le tableau à double entrée est la représentation alternative, et il vaut d'être connu car certains énoncés le fournissent déjà rempli. Les effectifs y sont croisés selon deux caractères ; les totaux de lignes et de colonnes donnent les probabilités simples, les cases donnent les intersections, et une probabilité conditionnelle s'obtient en divisant une case par le total de sa ligne ou de sa colonne. Arbre et tableau portent exactement la même information : on choisit l'un ou l'autre selon la façon dont les données sont fournies.

Un contrôle systématique évite l'essentiel des erreurs : la somme des probabilités de tous les chemins d'un arbre complet vaut 1. Si l'on a calculé P(B) par la formule des probabilités totales, on peut calculer de même P(B barre) et vérifier que les deux résultats totalisent 1. Ce contrôle prend dix secondes et détecte une pondération mal lue, un produit oublié ou une branche manquante.

Vocabulaire

→ Cartes

partition de l’universFamille d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est l'univers entier.
formule des probabilités totalesDécomposition de P(B) en somme des produits P(Ai) × P_{Ai}(B) sur une partition.
événements incompatiblesÉvénements ne pouvant se réaliser simultanément ; leur intersection est vide.
tableau à double entréeReprésentation croisant deux caractères ; les cases donnent les intersections, les totaux les probabilités simples.

Probabilités totales (partition en deux)

P(B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)

A et son contraire forment une partition ; chaque terme est le produit le long d'un chemin, et la somme parcourt les deux chemins menant à B.

Probabilités totales (partition quelconque)

P(B) = \sum_{i} P(A_i) \times P_{A_i}(B)

Les Ai forment une partition de l'univers : deux à deux incompatibles, de réunion égale à l'univers. La somme porte sur tous les cas de la partition.

Exemple corrigé

Taux de défaut global d'une production

Une usine répartit sa production entre trois ateliers : A1 (50 %), A2 (30 %) et A3 (20 %). Les taux de pièces défectueuses sont respectivement de 2 %, 4 % et 5 %. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit défectueuse.

Poser la partition
Une pièce provient d'un atelier et d'un seul : les trois événements A1, A2 et A3 sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers.
$P(A_1) = 0{,}5, \quad P(A_2) = 0{,}3, \quad P(A_3) = 0{,}2$
Traduire les taux de défaut
Chaque taux est donné « parmi les pièces de l'atelier » : ce sont donc des probabilités conditionnelles, portées par les branches du second niveau.
$P_{A_1}(D) = 0{,}02, \quad P_{A_2}(D) = 0{,}04, \quad P_{A_3}(D) = 0{,}05$
Appliquer la formule
On additionne les produits le long des trois chemins menant à D.
$P(D) = 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}04 + 0{,}2 \times 0{,}05$
Conclure et contrôler
Le calcul donne 0,010 + 0,012 + 0,010. On vérifie en calculant de même la probabilité qu'une pièce soit conforme, qui vaut 0,968 : les deux résultats totalisent bien 1.
$P(D) = 0{,}032$

Résultat : Le taux de défaut global vaut 3,2 %. Il est supérieur au taux du plus gros atelier (2 %) parce que les ateliers moins productifs sont aussi les moins fiables : la formule pondère chaque taux par la part de production correspondante.

Erreurs fréquentes

Oublier un chemin dans la somme : une partition en trois cas donne trois termes, et un terme manquant fausse le total sans que rien ne le signale.
Appliquer la formule à des événements qui ne forment pas une partition : ils doivent être deux à deux incompatibles ET couvrir tout l'univers.
Additionner des probabilités conditionnelles au lieu des produits : chaque terme est P(Ai) × P_{Ai}(B), jamais P_{Ai}(B) seul.
Lire une case d'un tableau à double entrée comme une probabilité conditionnelle : elle donne une intersection, et il faut diviser par le total de la ligne pour conditionner.

Révision active

Trois ateliers produisent respectivement 50 %, 30 % et 20 % des pièces d'une usine, avec des taux de défaut de 2 %, 4 % et 5 %. Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard soit défectueuse, puis vérifier le résultat en calculant la probabilité qu'elle ne le soit pas.

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Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Indépendance de deux événements#

~5 min de lectureStandardBO-2019-spe-maths-terminale-§Succession-d-épreuves-indépendantes-schéma-de-Bernoulli

Deux événements sont indépendants lorsque la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre. La définition s'écrit donc, pour un événement A de probabilité non nulle : B est indépendant de A lorsque P_A(B) = P(B). Autrement dit, conditionner par A ne change rien — l'information « A s'est produit » n'apprend rien sur B. C'est bien une PROPRIÉTÉ à vérifier ou à établir, non une impression : deux événements peuvent sembler sans rapport et ne pas être indépendants.

La propriété est SYMÉTRIQUE lorsque les deux probabilités sont non nulles, et la démonstration tient en deux lignes. Si P_A(B) = P(B), alors P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) = P(A) × P(B). En divisant cette dernière égalité par P(B), on obtient P(A ∩ B)/P(B) = P(A), c'est-à-dire P_B(A) = P(A) : B n'apprend rien sur A non plus. L'égalité centrale P(A ∩ B) = P(A) × P(B) est symétrique en A et B, ce qui explique que l'indépendance le soit : on dit simplement que A et B sont indépendants.

C'est cette égalité produit qui sert en pratique de CRITÈRE. Pour démontrer l'indépendance, on calcule séparément P(A ∩ B) d'une part, P(A) × P(B) d'autre part, et l'on compare. Pour démontrer la NON-indépendance, la même comparaison suffit : il n'y a pas de propriété à réfuter, seulement deux nombres à confronter. Notez qu'une réponse du type « les deux expériences n'ont aucun rapport, donc les événements sont indépendants » ne démontre rien — l'indépendance se vérifie par le calcul, ou se déduit du modèle lorsque l'énoncé pose une succession d'épreuves indépendantes.

Indépendance et incompatibilité sont des notions OPPOSÉES, et les confondre est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Incompatibles signifie que l'intersection est vide, donc P(A ∩ B) = 0. Si A et B ont des probabilités strictement positives, alors P(A) × P(B) est strictement positif, donc différent de 0 : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont JAMAIS indépendants. C'est l'intuition qui le confirme — savoir que A s'est produit garantit alors que B ne s'est pas produit, ce qui est une information considérable (voir Fig. 3).

Incompatibles ou indépendants : deux notions opposées

Fig. 3Deux événements incompatibles n'ont aucune issue commune : leur intersection est vide. Deux événements indépendants ont au contraire une intersection dont la probabilité vaut exactement le produit P(A) × P(B). Des événements incompatibles de probabilités non nulles ne peuvent donc jamais être indépendants.

Fig. 3 ↓

Deux propriétés se transportent utilement. D'abord, si A et B sont indépendants, alors A et B barre le sont aussi : l'information apportée par A sur B est nulle, donc elle l'est aussi sur son contraire. Ensuite, dans une succession d'épreuves indépendantes — le modèle du chapitre suivant —, les événements portant sur des épreuves DIFFÉRENTES sont indépendants par construction du modèle : il n'y a alors rien à démontrer, et le programme écarte d'ailleurs explicitement les questions visant à justifier l'indépendance de variables données a priori.

Vocabulaire

→ Cartes

indépendancePropriété de deux événements telle que P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ; conditionner par l'un ne change pas la probabilité de l'autre.
incompatibilitéImpossibilité que deux événements se réalisent ensemble ; leur intersection est vide.
symétrie de l’indépendanceFait que P_A(B) = P(B) équivaut à P_B(A) = P(A) lorsque les deux probabilités sont non nulles.
événement contraireComplémentaire d'un événement ; il hérite de l'indépendance de l'événement dont il provient.

Indépendance de deux événements

P_A(B) = P(B) \quad \Longleftrightarrow \quad P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

L'égalité de gauche exprime que conditionner par A ne change pas la probabilité de B ; celle de droite, symétrique en A et B, sert de critère de calcul.

Incompatibles n’est pas indépendants

A \cap B = \varnothing \;\text{ et }\; P(A) > 0,\; P(B) > 0 \;\Longrightarrow\; A \text{ et } B \text{ ne sont pas indépendants}

L'intersection vide donne une probabilité nulle, tandis que le produit P(A) × P(B) est strictement positif : les deux nombres diffèrent.

Exemple corrigé

Tester l’indépendance sur un lancer de dé

On lance un dé équilibré à six faces. Soit A l'événement « le résultat est pair » et B l'événement « le résultat est un multiple de 3 ». Ces deux événements sont-ils indépendants ?

Calculer les probabilités simples
A est réalisé par 2, 4 et 6 ; B est réalisé par 3 et 6. Le dé étant équilibré, chaque issue a pour probabilité 1/6.
$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \qquad P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Calculer la probabilité de l'intersection
L'intersection est réalisée par les résultats à la fois pairs et multiples de 3, c'est-à-dire par la seule face 6.
$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$
Comparer au produit
On calcule séparément le produit des deux probabilités simples et l'on compare à la valeur trouvée pour l'intersection.
$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Résultat : Les deux nombres coïncident : A et B sont indépendants. Ils ne sont pas incompatibles pour autant, puisque la face 6 les réalise tous les deux — l'exemple montre bien que les deux notions sont distinctes.

Erreurs fréquentes

Confondre indépendants et incompatibles : incompatibles signifie intersection vide, ce qui interdit précisément l'indépendance dès que les probabilités sont non nulles.
Affirmer l'indépendance parce que « les deux situations n'ont rien à voir » : la propriété se vérifie par le calcul, pas par l'intuition.
Écrire P(A ∩ B) = P(A) × P(B) avant d'avoir établi l'indépendance : cette égalité est la conclusion, pas le point de départ.
Croire que l'indépendance de A et B empêche celle de A et B barre : au contraire, elle l'entraîne.

Révision active

On lance un dé équilibré à six faces. On note A l'événement « le résultat est pair » et B l'événement « le résultat est un multiple de 3 ». Déterminer si A et B sont indépendants, puis dire s'ils sont incompatibles.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Successions d'épreuves et retour sur le sens du conditionnement#

~6 min de lectureApprofondissementBO-2019-spe-maths-terminale-§Succession-d-épreuves-indépendantes-schéma-de-Bernoulli

Le programme de terminale réinvestit ces outils dans une capacité attendue précise : « modéliser une situation par une succession d'épreuves indépendantes, ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques ; représenter la situation par un arbre ; calculer une probabilité en utilisant l'indépendance, des probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales ». Deux régimes coexistent donc, et le premier travail consiste à décider lequel s'applique. Épreuves INDÉPENDANTES : la pondération d'une branche ne dépend pas du chemin parcouru, et l'on multiplie des probabilités simples. Épreuves QUELCONQUES : les pondérations changent d'un nœud à l'autre, et ce sont des probabilités conditionnelles.

Le critère décisif est presque toujours la remise. Un tirage AVEC remise, ou une répétition d'expériences sans mémoire — lancers de pièce, de dé, prélèvements dans une population très nombreuse —, laisse le modèle inchangé d'une épreuve à l'autre : les événements portant sur des épreuves différentes sont indépendants, et l'arbre porte les mêmes pondérations à chaque niveau. Un tirage SANS remise modifie la composition : chaque branche du second niveau porte une probabilité conditionnelle différente, comme le montre l'exemple de l'urne traité plus haut. C'est cette distinction qui décide, au chapitre suivant, si la loi binomiale s'applique ou non.

Une même situation offre deux conditionnements opposés, et les confondre est une erreur de raisonnement, pas seulement de calcul. La probabilité qu'un test soit positif SACHANT que la personne est malade mesure la performance du test ; la probabilité qu'une personne soit malade SACHANT que son test est positif mesure ce que le résultat apprend au patient. Ces deux nombres sont en général très différents. On passe de l'un à l'autre par la définition du conditionnement, car les deux quotients partagent le même numérateur — la probabilité de l'intersection —, que l'arbre fournit directement ; le dénominateur de la seconde, lui, s'obtient par la formule des probabilités totales.

L'écart devient spectaculaire lorsque l'événement conditionnant est RARE (voir Fig. 4). Sur une population fictive de 10 000 personnes, avec une maladie touchant 1 % de la population et un test détectant 99 % des malades tout en se trompant sur 2 % des personnes saines : 100 personnes sont malades, dont 99 sont détectées ; 9 900 sont saines, dont 198 sont déclarées positives à tort. Le test signale donc 297 positifs, dont 99 vrais — soit une chance sur trois. Un test « fiable à 99 % » laisse ainsi deux positifs sur trois en bonne santé, non parce qu'il est mauvais, mais parce que les personnes saines sont cent fois plus nombreuses.

Pourquoi un test très fiable produit surtout des faux positifs

Fig. 4Exemple chiffré fictif, sur 10 000 personnes : une maladie touchant 1 % de la population, un test détectant 99 % des malades et se trompant sur 2 % des personnes saines. Le test signale 99 vrais positifs et 198 faux positifs : parmi les personnes déclarées positives, une seule sur trois est réellement malade.

Fig. 4 ↓

La leçon de méthode est générale : une probabilité conditionnelle ne se lit jamais isolément, elle dépend de la fréquence de base de l'événement conditionnant. Sur une copie, cela se traduit par une exigence de rédaction — écrire quel conditionnement on calcule, avec la notation P_A(B) ou P_B(A), et interpréter le résultat par une phrase en français. Répondre « la probabilité est de 0,33 » sans dire de quoi sachant quoi rend la réponse invérifiable, et c'est souvent la question d'interprétation, plus que le calcul, qui distingue les copies.

Vocabulaire

→ Cartes

succession d’épreuvesEnchaînement de plusieurs expériences aléatoires, indépendantes ou non, représenté par un arbre.
tirage avec remisePrélèvement où l'élément est replacé : le modèle reste identique à chaque épreuve, qui sont donc indépendantes.
faux positifRésultat de test positif chez une personne saine ; leur nombre dépend surtout de la taille de la population saine.
fréquence de baseProbabilité initiale de l'événement conditionnant, qui pèse lourdement sur le résultat d'un conditionnement inversé.

Retourner un conditionnement

P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{avec} \quad P(B) = P(A) P_A(B) + P(\overline{A}) P_{\overline{A}}(B)

Le numérateur P(A ∩ B) se lit sur un chemin de l'arbre ; le dénominateur P(B) s'obtient par la formule des probabilités totales sur la partition A, A barre.

Succession d’épreuves indépendantes

P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1) \times P(A_2) \times \dots \times P(A_n)

Chaque Ai porte sur une épreuve distincte ; l'indépendance, constitutive du modèle, autorise le produit des probabilités simples.

Exemple corrigé

Probabilité d'être malade sachant que le test est positif

Une maladie touche 1 % d'une population. Un test détecte 99 % des personnes malades et déclare positives 2 % des personnes saines. Une personne prise au hasard obtient un test positif : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Traduire les données
On note M l'événement « la personne est malade » et T l'événement « le test est positif ». Les deux pourcentages de performance du test sont des probabilités conditionnelles.
$P(M) = 0{,}01, \quad P_M(T) = 0{,}99, \quad P_{\overline{M}}(T) = 0{,}02$
Calculer la probabilité d'un test positif
Les événements M et son contraire forment une partition de l'univers ; la formule des probabilités totales additionne les deux chemins menant à T.
$P(T) = 0{,}01 \times 0{,}99 + 0{,}99 \times 0{,}02 = 0{,}0099 + 0{,}0198 = 0{,}0297$
Retourner le conditionnement
La probabilité cherchée est celle de M sachant T. Son numérateur est la probabilité du chemin « malade puis positif », déjà calculée à l'étape précédente.
$P_T(M) = \frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}0099}{0{,}0297} = \frac{1}{3}$

Résultat : Une personne dont le test est positif n'a qu'une chance sur trois d'être malade. Le test n'est pas en cause : comme les personnes saines sont 99 fois plus nombreuses, leurs 2 % de faux positifs dépassent en nombre les vrais positifs.

Erreurs fréquentes

Identifier P_A(B) et P_B(A) : ces deux nombres mesurent des choses différentes et ne coïncident que si P(A) = P(B).
Modéliser un tirage sans remise par des épreuves indépendantes : les pondérations du second niveau changent, et l'arbre le montre.
Donner un résultat numérique sans phrase d'interprétation : la question porte souvent sur le sens du nombre autant que sur sa valeur.
Conclure qu'un test est mauvais parce que la plupart de ses positifs sont sains : l'effet vient de la rareté de la maladie, pas de la qualité du test.

Révision active

Une maladie touche 1 % d'une population. Un test détecte 99 % des malades et déclare positives 2 % des personnes saines. Calculer la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif, puis commenter l'écart avec la fiabilité annoncée du test.

S’entraîner sur des exercices associés50 questions sur ce thème

Rappel actif

Rappelle-toi les points clés — puis révèle.

Vérifié · 08/2026Version complète via le réglage de profondeur — même endroit, mêmes ancres

Planifier une révision

Références et sources

Sources

Ministère de l’Éducation nationale — Bulletin officiel

Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques — classe terminale, voie générale (annexe de l'arrêté du 19-7-2019, NOR MENE1921246A)

Voir aussi

Probabilités conditionnelles et indépendance

4 sections~22 min de lecture4 compétencesVérifié · 08/2026

Probabilités conditionnelles et indépendance

Points clés

Lire un arbre pondéré et calculer une intersection

Points clés

Taux de défaut global d'une production

Points clés

Tester l’indépendance sur un lancer de dé

Points clés

Probabilité d'être malade sachant que le test est positif

Sources

Probabilités conditionnelles et indépendance

Points clés

Lire un arbre pondéré et calculer une intersection

Points clés

Taux de défaut global d'une production

Points clés

Tester l’indépendance sur un lancer de dé

Points clés

Probabilité d'être malade sachant que le test est positif

Sources